7.1随机事件及其概率

第7章概率初步

7.1随机事件及其概率

7.2随机变量及其分布

7.3随机变量的数字特征

第一节、随机事件及其概率

一、随机事件及其运算二、随机事件的概率三、条件概率与全概率公式第一节、随机事件及其概率

一、随机事件及其运算1.随机实验和随机事件

在自然界和人类生产活动中存在着两类不同的现象．比如当水加热到100℃时必然会沸腾．这类现象称为必然现象．另一类是在一定的条件下可能发生也可能不发生的现象，如买彩票可能中奖也可能不中奖．这类现象称为随机现象．为了研究随机现象的统计规律性，对随机现象的一次观察和试验，我们称之为试验如果试验满足：（1）可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果是已知的；（3）每次试验前不能确定哪个结果出现．这样的试验称为随机试验．随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件，简称为事件．用大写字母A，B，C……示．不能再分解的事件称为基本事件．2．事件间的关系和运算（1）事件的包含若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A．记作

AB.如图7．１．（2）事件的和（并）两事件A与B至少发生一个称为事件A与事件B的和（并）事件．记作A∪B或A+B如图7.２．（3）事件的交（积）事件A与事件B同时发生，这一事件称为事件A与B的交（积），记作A∩B或AB，表示．如图7．３．AB图7.1AB图7.2图7.3（4）事件的差事件A发生而事件B不发生，这一事件称为事件A与B的差，记作A-B，见图7．４（5）互斥事件若事件A与事件B不可能同时发生，即AB=Φ，则称与是互斥的，或互不相容，如图７．５．图7.4图7.5(6)逆事件事件A不发生的事件称为A的逆事件，或称A的对立事件，记作于是且如图７．６．事件的运算律①交换律：②结合律：③分配律：④摩根律：

二、随机事件的概率

1．古典概型与计算公式图7.6，，，．

．

，．

定义7．1如果某个随机试验的基本事件为有限数，并且它们是等可能出现的，我们把这种随机试验称为古典概型．对于任何事件A，它总可以表示为基本事件之和，因此定义事件A的概率为：其中n为所有基本事件的总个数，m为事件所包含的基本事件的个数．性质1对于任何事件A，有:性质2性质3

特别，若事件A和B互不相容时，有，若事件两两互不相容，则推论

设A为任意随机事件，则性质4

若事件A、B满足AB，那么有定理7．1（加法公式）对于任意两个随机事件A、B,有例１．３盒中有6张面值相同的债券，其中有两张中奖债券，现有放回地从中任取两次，每次取一张，求取到的两张都是中奖债券的概率．解从6张中，有放回地抽两次，第一次从6张中选取，第二次还是从6张中选取，因此基本事件总个数为6×6=36．设A表示“取到的两张都是中奖”事件．则两张都是中奖的的债券包含个2×2=4基本事件．所以例１．4

袋中有白球5只，黑球6只，依次取出三球，求顺序为黑白黑的概率．解

袋子中共有11只球，有顺序地取出3只，基本事件的总个数为设A表示“顺次取出为黑白黑”事件，则事件所包含基本事件的个数为

所以例１．５

某校有三个校区，其中的男女生人数分别为：第一校区男生4400人，女生1800人；第二校区男生3200人，女生1600人；第三校区男生900人，女生600人．现随机抽取一名学生，计算该学生为第二校区或第三校区的学生的概率．解三个校区的学生总数为12500人，所以事件总个数为12500．设A表示“抽取第二校区的一名学生”，B表示“抽取第三校区的一名学生”，因为所以例１．６设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%读两种报纸，问成年人中至少读一种报纸的概率是多少？解设A表示“读甲报纸”，B表示“读乙报纸”，则所以即成年人中至少读一种报纸的概率为28%．

，，．1．条件概率定义7．2

在同一随机试验的下的两个事件A和B，在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，我们称这种概率为条件概率，记作．例１．７

有圆形零件100个，其中有92个直径合格，有95个光洁度合格，两个指标都合格的有90个，从这100个零件中任意抽取一件，如果此零件光洁度合格，求该零件直径合格的概率．解

设A表示“任意抽取一件”，B表示“任意抽取一件”．由古典概率定义可知三、条件概率与全概率公式并且“光洁度和直径都合格”事件为AB，则由古典概型可得

2．乘法公式定理7．2

对任意事件A、B，有例１．8

设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，2件都是次品的概率是多少？解

设Ai表示“第i次抽到的是次品”，(i=1,2)所求概率为应用概率的乘法公式得

3．独立事件定义7．3

两个事件中不论哪一个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称这两个事件相互独立．因此，若事件A与B相互独立，则有例１．9

某工人同时看管三台机床，单位时间内甲机床不需要看管的概率为，乙机床为，丙机床为．若机床是自动机床且独立工作（三台机床能同时工作）．因为，．这时，

求（1）在单位时间内三台机床都不需要看管的概率；（2）在单位时间内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需要看管的概率．

解以Ai(i=1,2,3)分别表示“甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件”，则Ā3表示“丙机床需要看管的事件”．根据题意，这些事件A1,A2,A3是互相独立的，因此有（1）在单位时间内三台机床都不需要看管的概率为：（2）在单位时间内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需要看管的概率为：

4．全概率公式，定理7．3(全概率公式）设有个事件各互不相容，且满足对于任何事件，有．例1．11

假定一个年级甲、乙、丙班级同学参加一项技能测试，三个班级同学依次占全年级学生人数的20%，45%，35%，测试后各个班级的不及格率依次为5%，4%，2%，求该年级同学技能测试不及格率．解

设表示“甲班同学”，表示“乙班同学”，表示“丙班同学”．表示“测试不及格”．有

例1．12

10个考签中有4个难签，6个易签，甲先乙后不放回抽签．求

（１）甲抽到难签的条件下，乙抽到难签的概率；

（２）甲抽到易签的条件下，乙抽到难签的概率；

（３）乙抽到难签的概率．解设A表示“甲抽到难签”，B表示“乙抽到难签”，则Ā表示“甲抽到易签”，依题意得（１）甲抽到难签的条件下，乙抽到难签的概率为（２）甲抽到易签的条件下，乙抽到难签的概率为（３）乙抽到难签可以在（1）或（2）两种情况下出现，由全概率公式得四、独立试验概型定义７．４

在相同条件下进行n次重复随机试验，每次试验只有两种可能的结果A和Ā，在每次试验中事件发生的概率值不变，这种只有两个可能结果的试验称为n重独立试验．在n次重复进行独立的试验中，恰有k次发生的概率称为独立试验概型．次定理7．4（贝努力试验概型）设每次试验中事件A发生的概率为p（0<p<1)，则n重独立试验中，事件A恰好发生k的概率为其中

例１．13

某小学一年级有200名学生向保险公司投保“一年定期人身意外险”．每名学生应在一年的第一天向保险公司交付保险金10元．根据统计资料，该年龄段学生的死亡率为2‰，若有一名学生在当年死亡，

则其家属可从保险公司领取保险2000元，问该保险公司对这批学生进行保险，亏本的可能性有多大？解

假设这200名学生中当年死亡人数为．若保险公司亏本，则有下面式子显然当k>1时，即当年死亡学生超过1个时，保险公司就亏本．它是200次独立试验概型问题，其中每个学生死亡的概率为成立．因此保险公司亏本的概率为：即该保险公司对该批学生进行保险亏本的可能性约为6.14%.例1．14

某种商品的合格率为，一顾客从商店买了件该商品，试求下列事件的概率：(1)恰有两件合格商品的概率；

(2)6