广东省惠州市惠城区马安中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）广东省惠州市惠城区马安中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知x＜﹣2，则下列哪个选项是不等式的解（）A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣33．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为（）A．30° B．30°或75°或120° C．30°或120° D．60°4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若BC＝6cm，BD＝4cm．则DE的长是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5．（3分）若x＞z，y＞z，则下列各式中一定成立的是（）A．x+y＞4z B．x+y＞3z C．x+y＞2z D．x+y＞z6．（3分）如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上，若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm7．（3分）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（）A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%）8．（3分）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（）A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定9．（3分）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣1，0），与y轴交于点（0，﹣2），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＞﹣2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣210．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）“x与1的和不大于5”用不等式表示为．12．（3分）如图，△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，则点A1的坐标是．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，使点B′落在边AB上，则旋转角为度．14．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AB＝，点D在BC上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则线段BD的长为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，点P的对应点为P'，连接CP，CP'，PP'，则△CPP'周长的最小值为．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解不等式：．17．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，点D是AB的延长线和AC的垂直平分线的交点．联结CD，这时BC恰好平分∠DCA，求∠A的度数．18．（8分）请补充完成以下证明过程：如图，已知在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD＝CE．求证：CD＝BE．证明：∵△ABC为等边三角形，（已知），∴∠A＝∠BCE＝60°（）．AC＝BC（）．∵AD＝CE（已知），∴△ADC≌△CEB（）．∴CD＝BE．19．（9分）小明、小华、小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组．小明：它的所有解为非负数；小华：其中一个不等式的解集为x≤8；小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组．20．（9分）如图，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇P，Q的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，请问发射塔应该建在什么位置？请用尺规作图在图中标记出发射塔所在的位置．21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为3的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．（1）求证：OC＝AD；（2）求OC的长．22．（12分）甲、乙两家品质相同的红心蜜柚园，销售价格都是每千克12元．国庆节期间，两园均推出销售方案，甲收费方案是：游客进园需购买30元的门票，采摘红心蜜柚按原价的七折收费；乙收费方案是：游客进园不需购买门票，采摘超过10千克后，超过部分按六折收费．设某游客的采摘量为x千克，甲采摘园所需总费用为y1元，乙采摘园所需总费用为y2元．（1）当采摘量超过10千克时，求y1，y2与x的关系式；（2）若要采摘30千克，去哪家比较合算？请计算说明．23．（12分）在△ABC中，∠B＝90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当∠BAC＝40°时，则∠AED＝°；（2）当∠BAC＝60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD＝∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE﹣PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为，并证明．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．2．解：由题可知，x＜﹣2．﹣3＜﹣2，故x的解只有D项符合．故选：D．3．解：如图，∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝×（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故选：B．4．解：∵∠C＝90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，∴DE＝DC，∴BD＝4cm，BC＝6cm，∴DC＝BC﹣BD＝6﹣4＝2（cm），∴DE＝2cm．故选：D．5．解：∵x＞z，y＞z，∴x+y＞2z，故选：C．6．解：∵AD⊥BE，BD＝DE，∴AE＝AB＝6，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴DC＝DE+EC＝AB+BD＝9（cm），故选：C．7．解：按标价打x折出售，根据题意得：：．故选：B．8．解：如图对称中心是AB的中点，故选：C．9．解：根据题意，kx+b＜0，即函数y＝kx+b的函数值下于0，图象在x轴下方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣1，故不等式kx+b＜0的解集是：x＞﹣1．故选：A．10．解：分三种情况：当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交x轴于点P1，P2；当AO＝AP时，以点A为圆心，以OA长为半径作圆，交x轴于点P3；当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交x轴于点P4；综上所述：符合条件的点P有4个，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：由题意可得：x+1≤5．故答案为：x+1≤5．12．解：将△ABC向右平移4个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，∵A（﹣3，2），∴点A1的坐标为（﹣3+4，2），即（1，2）．故答案为：（1，2）．13．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，使得点B′恰好落在AB上，∴CB′＝CB，∠BCB′等于旋转角，∴△BCB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，即旋转角度为60°．故答案为：60．14．解：如图，∵∠B＝∠C＝30°，∴AB＝AC．当∠ADB＝90°时，∵AB＝AC，AD⊥BC，AB＝2，∴AD＝AB＝．∴BD＝＝3．当∠BAD＝90°时，∵AB＝AC，AD⊥AB，AB＝2，∴BD＝2×＝4．故答案为：3或4．15．解：由旋转可知：∠CPP'＝90°，CP＝CP'，∴△CPP'是等腰直角三角形，∴当CP的长度最小时，△CPP'周长即可取得最小值，∵边AB上有一动点P，∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝，∵当CP⊥AB时，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，∴AC•BC＝AB•CP，∴2×＝×CP，∴CP＝1，∴CP＝CP'＝1，∴PP'＝＝，∴△CPP'周长的最小值为：1+1+＝2+．故答案为：2+．三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：去分母，得：2（2x﹣1）≥3（5x+1）+6，去括号，得：4x﹣2≥15x+3+6，移项，得：4x﹣15x≥3+6+2，合并同类项，得：﹣11x≥11，系数化为1，得：x≤﹣1．17．解：∵∠ABC＝150°，∴∠A+∠ACB＝180°﹣∠ABC＝30°，∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠A＝∠DCA，∵BC平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠A＝2∠ACB，∴3∠ACB＝30°，∴∠ACB＝10°，∴∠A＝20°．18．证明：∵△ABC为等边三角形，（已知），∴∠A＝∠BCE＝60°（等边三角形的性质）．AC＝BC（等边三角形的性质）．∵AD＝CE（已知），∴△ADC≌△CEB（SAS）．∴CD＝BE．故答案为：等边三角形的性质；等边三角形的性质；SAS．19．解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，∴其中一个不等式的解集必为x≥0，∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，∴其中一个不等式中x的系数为负数，∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）．解不等式①，得：x≤8，结合不等式②的解集知0≤x≤8．20．解：如图，点A即为发射塔所在的位置．21．（1）证明：∵△AOB是边长为3的等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝3，∠AOB＝∠BAO＝∠OBA＝60°，又△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，∴△DCB也是边长为3的等边三角形，∴∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝AB，BC＝BD，又∠OBC＝∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC＝∠ABD＝120°，∴△OBC≌△ABD（SAS），∴OC＝AD（全等三角形的对应边相等）；（2）解：△OCB中OB＝OC，∠OBC＝120°，∴∠BOC＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝90°，在Rt△ODC中，由勾股定理得：OC＝．22．解：（1）y1＝30+12x×0.7＝8.4x+30；y2＝12×10+12（x﹣10）×0.6＝7.2x+48，∴y1与x的关系式为y1＝8.4x+30；y2与x的关系式为y2＝7.2x+48；（2）当x＝30时，y1＝8.4×30+30＝282；y2＝7.2×30+48＝264，∵282＞264，∴去乙家比较合算．23．解：（1）如图1中，∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA＝EC＝ED，∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝260°，∴∠AED＝360°﹣260°＝100°，故答案为：100．（2）①结论：△ADE时等边三角形．理由：如图2中，∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA＝EC＝ED，∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝300°，∴∠AED＝360°﹣300°＝60°，∴△ADE是等边三角形；②结论：PE﹣PD＝2AB．理由：如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．当点P在ED′的延长线上时，PE﹣PD的值最大，此