2024年江苏省常州市多校联考中考二模考试数学试题（含答案解析）

2024年江苏省常州市多校联考中考二模考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.16的平方根是（）

A.256B.4C.±4D.-4

2.若代数式*有意义，则实数X的取值范围是（）

x-1

A.xwOB.xW1C.x>0D.x>1

3.下列整数中，与近最接近的是（)

A.1B.2C.3D.4

4.圆锥的侧面展开图是（）

A.三角形B.矩形C.扇形D.圆

5.一组数据：12,5,3,2,-1,6的中位数为（）

A.3B.4C.2D.2.5

2

6.已知两点/（。力）和3（c,d）在反比例函数y=—的图像上，且0<c<a则（）

A.0<d<bB.b<d<0C.d<b<0D.0<b<d

7.如图，C、D是AB为直径的半圆上的点，且。是5。弧的中点，44D=50。，贝！J

的度数为（）

D

I/\\

J

AB

A.115°B.105°C.100°D.95°

8.正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、D、E

为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论①/4=36。，

②PB=^^~PE,③PA=^^AD,④尸丁=三自尸4其中成立的结论是（）

222

试卷第1页，共6页

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

二、填空题

9.-2的相反数是.

10.分解因式：2x2-8y2=

11.计算：屏-&=.

12.2024年，“两湖”创新区总部经济和功能配套类项目包括南医大常州校区、华东师范大

学附属常州西太湖学校、常州大学三期等共21个项目，其中已开工项目4个，计划总投资

57.65亿元，即5765000000元，把5765000000用科学记数法表示为.

13.为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记

后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率

稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼_______条.

14.已知m为方程x2-3x-6=0的一个根，则代数式-苏+3加-6的值是.

15.古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里.鸳马日行一百五十里.弩马先

行一十二日，问良马几何追及之.意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走

150里.慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可

列方程为

16.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系

中的坐标分别为（3,6）,（-3,3）,（7,-2）,则“8C内心的坐标为.

17.如图，在矩形/8CD中，对角线/C、BD相交于点。，8c中点£与点。的连线

交NC于点?已知矩形N8CD的面积为20,则四边形08砂的面积为.

试卷第2页，共6页

AD

18.对于平面直角坐标系内的点尸和图形M,给出如下定义：如果点尸绕原点。顺

时针旋转90。得到点。，点。落在图形M上或图形〃围成的区域内，那么称点尸是图形初

关于原点。的“伴随点”.已知点4(1,6),3(5,5),C(5,§,如果M是双曲线y=5和线段、

8c围成的封闭区域(含边界线)，点P(。,3)是M关于原点。的“伴随点”，则。的取值范

围是•

三、解答题

19.先化间，再求值：m+----卜-----，其中„V2-3.

Imjm2=

x+4<3(x+2)

20.解不等式组：2x+l并写出该不等式组的最小整数解.

-------+1>x

[3

21.某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小组.要求每人必

须参加.并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全

体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形

统计图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题：

(1)求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);

(2)m=，n=；

(3)若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人?

50

40

30

20

10

22.有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2,-2,3后放入一个不透明的口袋搅

匀，任意摸出一个小球，记下数字。后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数

试卷第3页，共6页

字b.这样就得到一个点/的坐标S，b).

(1)点A落在坐标轴上的概率为」

⑵求这个点/(。，6)恰好在函数＞的图像上的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法

给出分析过程，并求出结果)

23.如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E,使DE=AD,

连接CE.

(1)求证：AABD=NECD

(2)若儿4AD的面积为5,求A4CE的面积.

24.某工厂生产某种产品，己知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的

原料成本为每件900元.

(1)写出每天的生产成本了元(包括固定成本与原料成本)与每天的生产量x件之间的函数关

系式；

(2)如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件

产品，该工厂才能不节楚？

25.如图，山顶有一塔AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF,从

与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27。、22°,从与F点相距50m的D处测得

A的仰角为45。.求隧道EF的长度.(参考数据：tan22%0.40,tan27%0.51)

26.如图，在平面直角坐标系xQy中，已知3(5,0),点/在以03为直径的半圆上，且

试卷第4页，共6页

(1)求点A的纵坐标；

(2)用直尺和圆规作一个OP,使它经过点M且与x轴相切(作一个即可，不写作法，但要

保留作图痕迹)；

(3)求满足(2)中条件的点尸纵坐标的最小值.

27.经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与

原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”.

⑴等边三角形存在“形似线段”吗？_(填“存在”或“不存在”)；

⑵如图①，在中，AB=2,AC=3,BC=4,若4D是的“形似线段”，

求4D的长；

(3)如图②，在AP九W中，PM=8,ZPMN=30°,ZMPN＞80°.当APMN有且只有

二条“形似线段”时，线段的取值是

28.【尝试】

如图，二次函数＞=。/+区+3的图象经过点/(1，0)和8(3,0),与y轴相交于点C.已知位

于点8右侧图象上有一动点P,并且射线尸4P8分别交y轴于点D、点£.

(1)求二次函数表达式；

(2)线段CD有什么数量关系？请说明理由.

【探究】

(3)若二次函数了=加/+加+。(加＞0)的图象经过上述/、8两点，其它条件不变，线段

DE、CD的以上数量关系还成立吗？说明理由.

试卷第5页，共6页

【拓展】

(4)若开口向上的二次函数的图象经过两点(。，0)和他，0),且他＞。＞0),其它条件不变,

请直接写出线段DE、CD的数量关系是一

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:

①被开方数。是非负数；②算术平方根。本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一

个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找.根据

平方根的定义即可得解.

【详解】解：：（±4）2=16,

二16的平方根是：士4.

故选：C.

2.B

【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0,

依据分母不能为。即可解答.

【详解】解：•.•代数式告有意义，

x-1

x-1w0,

解得：XW1,

故选：B.

3.C

【分析】本题考查无理数的估算，根据6.25<7<9可知2.5<力<3,从而得解.

【详解】解：：6.25<7<9,

/.4625<41<y/9,即2.5<0<3,

.••与否最接近的整数是3,

故选：C.

4.C

【分析】直接利用圆锥的侧面展开图是扇形得出即可.

【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形.

故答案选：C.

【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练的掌握圆锥的侧面展开图是扇形.

5.B

答案第1页，共22页

【分析】本题考查中位数，需要注意，偶数组数据，中位数为最中间2个数据的平均数.先

将数据进行排列，然后找出最中间2个数据，求解平均数即可.

【详解】先将数据从小到大排列为：-1，2,3,5,6,12,

:有6个数据

.••最中间的数据为第3个数据和第4个数据，分别为3和5

.♦•中位数为（3+5）+2=4

故选：B.

6.D

【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据反比例函数解析式得出当尤>0,y随着x的增

大而减小，据此得解.

2

【详解】解：在反比例函数—中，左=2>0,

x

2

・•・反比例函数》=—的图象经过第一、三象限，且在每个象限内图象下降，

x

・，・当x>0,歹随着x的增大而减小，

又<0<C<Q,

；・0〈b〈d,

故选：D.

7.A

【分析】本题考查圆周角定理，连接AD,由圆周角定理的推论推出4403=90。，

ZBDC=ZBAC=25°,即可得到=90。+25。=115。.解题的关键是由圆周角定理推出

/ADB=90°,NBDC=ABAC=25°.

【详解】解：连接

45是圆的直径，

/.ZADB=90。,

•••C是弧的中点，

ABAC=NCAD=-/BAD=-x50°=25°,

22

/.ZBDC=ZBAC=25°,

:.ZADC=90°+25°=115°.

故选：A.

答案第2页，共22页

D

AB

8.A

【分析】如图，连接48、BC、CD、DE、EA,令正五边形48CDE的外接圆为。。，由

五边形N3CDE是正五边形及弦弧的关系，得彘=前=①=立=位,从而得

I1

ZCOD=-x360°=72°,AC=DA>ZCAD=-ZCOD=36°,故①正确，同理可得：

ZCAD=ZBEC-ZBDA=ZACE=ZDBE-36°,AC=AD=BE=BD=CE,根据相似三

角形的判定及性质得粤=二，即祟,从而PB=@二〉E,故②正确，同理

PEPAPEfPB"2

可得R4=4T=SD=心二1~4S=^二^~DT,进而得=于是PA=AD,

2222

故③正确，由=/。=1上2尸/得8£=止土3取尸7=避二1尸/,故④错误.

222

【详解】解：如图，连接48、BC、CD、DE、EA,令正五边形4BC0E的外接圆为。。，

五边形ABCDE是正五边形,

AB=BC=CD=DE=EA,

•­AB=BC=CD=DE=EA，

ZCOr>=1x360°=72°,蕊+就=而+应即就=E1

AAC=AD,NCAD=L/COD=36°,故①正确,

2

同理可得：NCAD=NBEC=NBDA=NACE=NDBE=36。，AC=AD=BE=BD=CE,

答案第3页，共22页

/ABE=ZEBD=NDBC=ZBCA=/ACE=NECD=ZCDB=NBDA=NADE=NCED=NBEC

=NBEA=ZDAE=NCAD=ZCAB=36°，

：.BP=AP,ZPAE=72°=36°+36°=ZAPE,TA=TE,NAPE=NATP=720,

:・AE=PE,AP=AT=TE=PB,

•：/PAT=NPEA=36。，ZAPE=ZTPA,

AAPESRPA，

.PAPTPBPE-PB

•・———,BanP——----------，

PEPAPEPB

：.PB=^^-PE（负值舍去），故②正确,

2

同理可得尸N=/T=SD=@TuS=叵^,

22

/•AS=DT=^^PA，

2

:.TS=AS-^^AS=^^x^^PA=J^PA,

2222

**.AD=2PA+且匚尸N=在卫

PA

22

PA=上正血,故③正确，

2

BE=AD,AD='3PA

2

:.BE=^^~PA

2

；•PT^BE-PB-TE=BE-2PA=^^PA-2PA^^::^PA，故④错误,

22

故选：A.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正多边形的性质，圆弧弦之间的关系，相似三角形的

判定及性质，熟练掌握正多边形的判定及性质是解题的关键.

9.2

【分析】本题考查相反数定义.根据题意利用相反数定义即可得到本题答案.

【详解】解：：-2的相反数是2,

故答案为：2.

10.2(x+2y)(x-2y)

【分析】本题考查了因式分解.先提公因式再利用平方差公式继续分解即可，掌握因式分解

的基本方法是解题的关键.

答案第4页，共22页

【详解】解：2--8/=2(无2-4/)=2(》+2y)(＞一2历.

故答案为：2(x+2y)(x-2y).

11.V2

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】5-应=36-26=&.

故答案为：血.

【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及

同类二次根式的合并方法是解题关键.

12.5.765x10s

【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法.利用科学记数法的定义

解决.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1＜忖＜10,"为整数.确定〃的值

时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：5765000000=5.765xlO9.

故答案为：5.765x10s.

13.1000

【详解】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到四=2.5%,然后解方程即可.

X

【解答】解：设鱼塘中有鱼X条，

根据题意得丝=2.5%,

X

解得尤=1000,

经检验X=1000为原方程的解，

所以估计鱼塘中有鱼1000条.

故答案为：1000.

【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即为概率是解题的关

键.

14.-12

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于加

的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键.

【详解】；加为方程Y-3x-6=0的一个根，

答案第5页，共22页

m2-3m-6=0,

m2—3m=6,

-m2+3m-6

=一（〃/一3机）一6

=—6—6

=-12,

故答案为：-12.

15.240x=150x+12xl50

【分析】设良马x天能够追上弩马，根据路程=速度x时间结合二者总路程相等，即可得出

关于x的一元一次方程.

【详解】解：设良马X天能够追上弩马.

根据题意得：240x=150x（12+x）=150x+12xl50.

【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据路程=速度x时间结合

二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程.

16.（2,3）

【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出AABC各边的长度，易

得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b,求出BC与x轴的交点G的坐标,

证出点A与点G关于BD对称，射线BD是NABC的平分线，三角形的内心在BD上，设

点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作MEJ_AB,过点

M作MF_LAC,且ME=MF=r,求出r的值，在ABEM中，利用勾股定理求出BM的值，

即可得到点M的坐标.

【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，

根据题意可得：AB=，3?+62=3石,AC=V42+82=4A/5-BC=舟+10?=56,

'：AB2+AC2=BC2,

；.NBAC=90°,

设BC的关系式为：y=kx+b,

代入B（-3,3）,C（7,-2）,

3=-3斤+6

可得

-2=7k+b

答案第6页，共22页

k

~2

解得：，

3

b

2

.13

..BC：v=—xH—,

-22

当y=0时,x=3,即G(3,0),

.••点A与点G关于BD对称，射线BD是NABC的平分线，

设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作MELAB,过

点M作MFJ-AC,且ME=MF=r,

ZBAC=90°,

•*.四边形MEAF为正方形，

SAABC=-4Bx_AC=—ABxr-I—/CxrH—BCxF,

2222

解得：r=也,

即AE=EM=B

.*.BE=3V5-V5=275,

•**BM=>JBE2+EM2=5>

VB(-3,3),

AM(2,3),

故答案为：（2,3）.

【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的

判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求

解即可.

答案第7页，共22页

10

17.

T

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识,先证明△OBESADBC,

△OFEs^CFD,相似比是2：1,设＞5AOFE=a，推导=84即=2a,S&cFD=4a,继而推

导S四边形OECD=94,S^DBC=12〃,S^OBE=3a,利用S矩形/Be®=2S&=24。=20求出a,从

而得到S四边形OBEF=4。，继而得解.

【详解】解：连接。£,

在矩形28。中，对角线/C、BD相交于点O,

，。是AD的中点,

又：点£是8C中点，

：.OE\\CD,OE=-CD,

2

AOBEsADBC,AOFESACFD,

OEYOFEFOE

f

,•S.DBC\CD)4'SQD~CD)~4CF~DF~CD~2

・S四边形0E8=]_S4OBE_2S/^OFE_EF_S/\OFE

S^DBCS由BC4S^OFDDF2S^CEF

=

设S/\OFE=a，贝I^AOFD~SMEF2。,/\CFD~4”,

・•S四边形OEC。=S2OFE+S^OFD+SMEF+^ACFD=9a，

••S^DBC=12。，S丛OBE=3。,

S矩物lac。=?S4DBC=24。=20,

解得：”3

6

,,§四边形O8EE=S4OBE+S^OFE—4d!=4x—=—

故答案为：

答案第8页，共22页

18.--<a<-2

2

【分析】将“3C绕点。逆时针旋转90。得到根据河是双曲线y=°和线段48、

X

8C围成的封闭区域（含边界线），点/凡3）是M关于原点。的“伴随点”，得到点尸（凡3）在

反比例函数>时。有最大值，当点次见3）在线段时。有最小值，即可得解.

X

【详解】解：如图，过点工作轴，轴，垂足分别为M,N,

则ZAMO=ZA'NO=90°，

由题意得：OA—OA',Z.AOA'=90°,

，AAOM+ZA'OM=ZA'OM+ZA'ON=90°,

**-NAOM=ZA'ON>

/.AAOM2AA'ON,

OM=ON=6,AM=A'N=1,

：.4（-6,1）,

同理，AA8C绕点。逆时针旋转90。得到AHB'C',则9（-5,5）,C\-|,6）,

I2345x

设直线4®的表达式为：片履+6(左wO),代入H(-6,1),9(-5,5)

[-6k+b=\

得：IZ1＜，

[—5左+b=5

解得:I[k=*4，

，直线目"为P=4x+25,

答案第9页，共22页

设经过点4,C'的双曲线为：y=E（S*°），

代入4（-6,1）得：m=-6,

经过点4C'的双曲线为>=",

X

•.•"是双曲线>和线段N8、8C围成的封闭区域（含边界线），点口。,3）是M关于原点

。的“伴随点”，

，把y=3代入y=4x+25得，3=4x+25,解得尤=-，，

把P=3代入y=_Q得，3=--,解得x=_2,

a的取值范围是-曰<a<-2.

故答案为：<a<-2.

【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法

求一次函数，反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解并掌握“伴

随点''的定义，利用数形结合的思想进行求解.

19.m+3；6

【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算等知识，掌握相关运算法则是解题

的关键.

.、4&力（6加+9、m+3

【详解】解：rn+--------+-------

Imjm

m2+6m+9m

=---------------x-------

mm+3

_（m+3）2m

mm+3

=m+3,

当"一夜-3时，原式=（后-3）+3=近.

20.-l<x<4,不等式组的最小整数解为0

【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，运用解一元一次不等式组的一般步骤求

出解集，再求最小整数解即可.

【详解】解：解不等式x+4<3（x+2）,得：X>-1,

答案第10页，共22页

解不等式---+l>x,得：x<4,

不等式组的解集为-l<x<4,

则不等式组的最小整数解为0.

21.(1)150；补图见解析；(2)36,16；(3)选择“围棋”课外兴趣小组的人数为192人.

【分析】(1)利用书法兴趣小组人数为30人和书法占比为20%可直接求出总人数，然后利

用总人数求出航模兴趣小组人数，补充条形统计图；(2)利用摄影兴趣小组人数除以总人数

即可得到m,利用围棋兴趣小组人数除以总人数即可得到n；(3)直接用总人数乘以围棋兴

趣小组人数占比即可

【详解】⑴参加问卷调查的学生人数为30+(20%)=150(人)；

60

50

40

30

20

10

(3)选择“围棋”课外兴趣小组的人数为1200xl6%=192(人)

答:参加问卷调查的学生人数为150人，优=36,"=16,选择“围棋”课外兴趣小组的人数为

192人.

【点睛】本题考查统计图相关知识点，基础知识扎实是解题关键

22.(1)0

(2、；列表见解析

【分析】此题主要考查了列表法或树状图法求概率.注意用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

(1)由题意点/的坐标中，横纵坐标都不为0,得出结论即可；

(2)根据题意画出树状图或者列表，根据概率公式计算即可得到答案；

【详解】(1)解：由题意得：点N的坐标中，横纵坐标都不为0,

.•.点A落在坐标轴上的概率为0,

答案第11页，共22页

故答案为：0；

（2）解：列表得：

(%b)2-23

2。，2）(2,-2)。，3）

-2(-2-2)（一2,一2）(皿)

3（3,2）（3-2）（3,3）

•.•共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有2种，

*一2

，尸（点在函数图像上）=~,

.♦.点/伍，6）恰好在函数>的图像上的概率为1.

23.（1）详见解析；（2）10.

【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；

（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到其m='8、SABD=SECD,再结合

邑即=5以及SACE=SACD+/co解答即可.

【详解】证明：（1）・・・D是BC的中点，

・・・BD=CD

在aABD和4CED中，

BD=CD

<ZADB=ZCED

AD=ED

所以A45。二A£C。；

（2），••在aABC中，D是BC的中点

•c—c

••°ABD-^ACD

\ABD=\ECD

-SABD=SECD

■:SABD=5

答案第12页，共22页

^ACE=S/CD+^ECD=5+5=10.

答：三角形ACE的面积为10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等

三角形的判定与性质是解答本题的关键.

24.(l)y=900x+12000

(2)每天至少生产40件产品，工厂才能不亏损

【分析】(1)根据每天的生产成本=固定成本+所有产品的原料成本，可得出结论；

(2)根据每天产品的售价与每天产品生产成本之间的关系建立不等式，计算求解即可.

【详解】(1)解：由题意得y=900x+12000

(2)解：由题意得900x+12000V1200X,

解得：x>40,

,每天至少生产40件，该工厂才能不亏损.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用.解题的关键在于根据题意列

等式或不等式.

25.隧道E尸的长度约为323m.

【分析】延长AB交CD于H,利用正切的定义用CH表示出AH、BH,根据题意列式求出

CH,计算即可.

【详解】解：如图，延长AB交于点//,则

在RtA/CH中，ZACH=27°,

Vtan27°=—,

CH

AH=CHtanlT.

在Rt^BCH中，NBCH=22°,

Vtan22°=—,

CH

BH=CH-tan22°.

"：AB=AH-BH,

：.CH-tan27°-CH-tan22°=33.

C/7-300.

/.NX=CH•tan27、153.

答案第13页，共22页

在RS4DH中,ND=45",

・•'tan45'=需

：.HD=AH=153.

：.EF=CD-CE-FD

=CH+HD-CE-FD

=300+153-80-50

=323.

因此，隧道所的长度约为323m.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐

角三角函数的定义是解题的关键.

26.(1)2.4

（2）画图见解析

【分析】（1）如图，过A作于证明乙408=/A48,可得tan//（?//=tanN247,

可得言=/，再建立方程求解即可；

OHAH

（2）在。8上取点G,连接MG,作MG的垂直平分线，过G作QB的垂线，交MG的垂直

平分线于P,以尸为圆心，PG为半径画圆即可.

（3）如图，设尸（占了），由/］?，（］，M为。4的中点，可得"（|，'|］，结合PG=PM,

PGVOB,可得+）一2,在利用二次函数的性质可得答案.

【详解】（1）解：如图，过A作/〃于〃，

答案第14页，共22页

AB为直径，

NOAB=90°,而/AHO=/AHB=90°,

：.NAOH+NOAH=90°=NOAH+/BAH,

：.NAOH=/BAH,

tanZ.AOH=tanNBAH,

.AH_BH

•・而一初’

AH2=OHBH,

•••8(5,0),点N的横坐标为y,

:•点A的纵坐标为2.4；

(2)如图，。尸即为所求;

理由：在05上取点G,连接MG,作MG的垂直平分线,

过G作08的垂线，交MG的垂直平分线于P,

以尸为圆心，尸G为半径画圆，

贝1JPG=PM,PG1OB,

：.。尸符合要求.

(3)如图，设尸(x,y),

答案第15页，共22页

,:PG=PM,PGVOB,

Q3

・,•当％=《时，y最小值=~•

・••点尸纵坐标的最小值为3:

【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，二

次函数的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键.

27.(1)不存在

⑵2

2

⑶电1或

3

【分析】(1)根据定义运用反证法判断即可；

(2)①当/。的左边和A4BC相似，即/时和②当/。的右边和A/BC相似，

即AABCSANC时，两种情况讨论，理由相似三角形的对应边成比例即可得解；

(3)推导/MPNA/MPN,再分储当NMPN>NMPN>NM时,(〃)当

/AffW=/M=30。时，当/切科</河=30。时，(R)当/〃7科</加=30°时，三种情况

答案第16页，共22页

讨论，找出它们的“形似线段”，从而得解.

【详解】(1)解：不存在，理由如下：

如下图，是等边三角形，

则/B=NC=ABAC=60°,

假设等边存在“形似线段”，

在3C上取一点。，连接假设是等边的“形似线段”,

贝1|AABCSADBA,或者AA8CSAD/C,

当A/BCSA。"时，NC=/BAD,

：.ABAC=ABAD=60P,

ACAD=ABAC-ABAD=0°,

与图形矛盾，假设不成立，

当A4BCSAZ14c时，同理可得：ZBAD=0°,

与图形矛盾，假设不成立，

等边AABC不存在“形似线段”，

故答案为：不存在；

(2)①当/。的左边和A48C相似，即A/BCSAQB/时,

BCAC43

——=——，即Rn—=—,

BADA2DA

3

解得：AD=--

②当NO的右边和A/3C相似，即AABCSADIC时，

AB5cpm24

DAACDA3

3

解得：AD=—；

综上所述：的长为3;；

2

(3)解：:NPMN=3。。，ZMPN>80°,

答案第17页，共22页

ZPNM=180°-APMN-ZMPN=150°-ZMPN<70°,

：.ZMPN>NMNP,

(I)当4MPN>ZMNP>时，

如下图②-1所示，以点P为顶点在三角形内部作/儿。。=/尸尺取，点。在儿加上,

国2-1

•：ZMPQ=ZMNP,NM=NM,

：.AMPQs^MNP,PQ是APMN的一条“形似线段”，

如下图②-2所示，以点「为顶点在三角形内部作/收0=/屈=30。，点。在儿3上,

,/ZNPQ=ZM,ZN=ZN,

：.^PNQ^AMNP,PQ是APMN的一条“形似线段”，

如下图②-3所示，以点N为顶点在三角形内部作/PN0=/M=3O。，点。在MP上,

VZPNQ=ZM,/尸=/尸，

ANQPs丛MNP,NQ是&PMN的一条“形似线段”，

要使得APAW有且只有二条“形似线段”时，则只能是图②-1与图②-2中的P0重合，即既

满足2MPQ=NPNM,又满足NNPQ=NM=30。，

NM+NN+NMPN=180°,BPZM+ZN+AMPQ+ZNPQ=180°,

2x3(T+2/N=180。，解得NN=60。，

答案第18页，共22页

，/AffW=180°-/M—/N=90°,MN=2PN,

/.MP2=MN2-PN2=3PN2,即MP=^PN，

又：PM=8,

:.PN=华；2,

V3V33

/.MN=2PN=—,

3

(〃)当/MPN=/M=30。时，(I)中的情况三不存在，情况一和情况二不重合，符合条件,

两条“形似线段”如下图所示，

■:NMPN=NM,

.•.点£是的中点，MN=2EM,

VPM,NPMN=3。°,

•••PE=gpM=4,EM7PM?-PE?=4也，

：.MN=2EM=843,

(R)当/MPN<NM=30。时，(I)中的情况三不存在，情况一和二不重合,

但新增情况三：ZPMQ3=ZN,

此时03M是APMN的一条“形似线段”,

三种情况如下下图所示，故此时不符合题意,