基本不等式及其应用（十大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第04讲基本不等式及其应用

目录

考情分析

网络构建

「基本不等式

夯基•必备基础知识梳理一-几个重要的不等式

-均值定理

-题型一：基本不等式及其应用

一题型二：直接法求最值

-题型三：常规凑配法求最值

一题型四：消参法求最值

-题型五：双换元求最值

提升•必考题型突破

—题型六：T的代换求最值

一题型七：齐次化求最值

-题型八：利用基本不等式证明不等式

-题型九：利用基本不等式解决实际问题

一题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值

真题感悟

第1页共20页

考点要求考题统计考情分析

（1）了解基本不等式的推导高考对基本不等式的考查比较稳定，考

过程.查内容、频率、题型难度均变化不大，

2022年II卷第12题，5分

（2）会用基本不等式解决简应适当关注利用基本不等式大小判断、

2021年乙卷第8题，5分

单的最值问题.求最值和求取值范围的问题.

2020年天津卷第14题，5分

（3）理解基本不等式在实际

问题中的应用.

基本不等式I：若a,beR,则a-2+b⑵2ab,

当且仅当a=b时取等号

基本不等式及其应用基本不等式基本不等式2：若a,b£R+,则a+b?2/ab,

K当且仅当a=b时取等号•

・夯基•必备基础知识梳理

1、基本不等式

如果°>0,匕>0,那么巴心，当且仅当4=6时，等号成立.其中，"叫作a,b的算术平均

22

数，而叫作。，的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1:若a,bwR,则。2+62、2“6,当且仅当a=b时取等号；

基本不等式2：若a,bwR*,则"*"4^（或a+bN2&i^）,当且仅当a=Z?时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积

为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（1）a2>0（aeR）,&i>0（a>0）,|a|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果则巴心之而（当且仅当=时取“=”）.

2

特例：a>0,a+—>2;—+—>2（a,Z?同号）.

aba

第2页共20页

（3）其他变形：

①/+/上+»（沟通两和4+6与两平方和"+廿的不等关系式）

2

②abM（沟通两积而与两平方和4+加的不等关系式）

2

③油（等）（沟通两积油与两和4+6的不等关系式）

④重要不等式串：［ZjV痣y（a,beR+）即

ab

调和平均值v几何平均值4算数平均值4平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已知x,y^R+.

（1）如果x+y=S（定值），则孙4苫上）=y（当且仅当“x=y”时取即“和为定值，积有最

大值”.

（2）如果q=尸（定值），则x+”2而=2再（当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最

小值”.

3、常见求最值模型

模型一：2^/mn（m>0,n>0）,当且仅当x="时等号成立；

xVm

模型二：mx-\———=m（x-a）——-——I-ma>2^l~mi+ma（jn>0,n>0）,当且仅当x-a=.—时等号成立；

x-ax-avm

模型二：——=-1——（a>0,c>0）,当且仅当x时等号成立；

ax+bx+c以+6+92^1ac+bNa

x

模型四：尤（"一•（”士竺）2=4（加>0,〃>0,0<x<‘），当且仅当x=2时等

mm24mm2m

号成立.

.提升•必考题型归纳

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验

证.

例1.（2023•辽宁•校联考二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图

第3页共20页

所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点。为斜边AB的中点，点。为斜边AB上异于顶点的一个动点,

设=BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

。A

a

A.~Y~-(a>0,Z7>0)B.-<y[ab(^>0,Z?>0)

C.*p^(a>0,b>0)

D./+/>2y[ab(a>0,&>0)

【答案】C

【解析】由图知：OC=^AB=^,OD=\OB-BD\=^-b

在加△OCD中,CD^yjoC2+OD-=

即哈月[（。>0i），

所以OCWOD,

故选：C

例2.（2023•全国•高三专题练习）已知尤，y都是正数，且x/y,则下列选项不恒成立的是（）

xy-

A.B.-+->2

yx

c.~^<y/xyD.xy+—>2

x+yxy

【答案】D

【解析】x,y都是正数，

由基本不等式，干上向，2+->2,受《苧=而，这三个不等式都是当且仅当x=y时等号成

2xyx+y2Vxy

立，而题中xHy,因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

孙+’22中当且仅当孙=1时取等号，如x=[,y=2即可取等号，D中不等式不恒成立.

xy2

故选：D.

例3.（2023•江苏•高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

①已知正。，求定的最小值；解答过程：>22卮=2；

②求函数>=声言的最小值；解答过程：可化得y=〃=+[±122；

第4页共20页

③设x>l,求〉=尤+二7的最小值；解答过程：y^x+—>2,P^,

x-1x-l\x-l

当且仅当x=々即X=2时等号成立，把X=2代入2、叵得最小值为4.

x-lVx-l

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

Z7h

【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当必<。，7与一均为负值,

ba

/7h

当且仅当f=即。=6<0时等号成立，故①的用法有误，故①错误;

ba

对②：J=y/x2+4+-j==>2,

VX2+4

当且仅当，Y+4=J1+4，即4r&=1时取等号，

但77工22,则等号取不到，故②的用法有误；

22

对③：x>l,x—1>0,y=x-i------=A—1H---------F122A/2+1,

x—1x—1

当且仅当％-1=近，即X=0+1时取等号，故③的用法有误；

故使用正确的个数是0个，

故选：A.

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

例4.（2023•河北•高三学业考试）若无，yeR+,且x+2y=3,则孙的最大值为

【答案】［9

8

【解析】由题知，无，yeR+，且x+2y=3

因为x+2y22yJx-2y,

所以3N2jx-2y,

9

所以928孙，即肛Vg,

8

33

当且仅当x=2y,即x=9，y=］时，取等号,

24

第5页共20页

Q

故答案为：—

O

例5.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）若“，b>0,且必=a+6+3,则仍的最小

值是.

【答案】9

【解析】因为a+6=-3W（当且仅当。=6时，等号成立），

所以（疯了-2而-320,

所以（dab—3）（Jab+1）2。,所以JabN3,所以

所以油的最小值为9.

故答案为：9

例6.（2023•天津南开•统考一模）已知实数。>0力>0,。+6=1,则2"+2"的最小值为.

【答案】20

【解析】:。〉。，b>0,a+b=l,

2"+2"N2也"x2"=2J2"+"=20，当且仅当2"=2"即。=b=g时取等号.

故答案为：20.

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

例7.（2023•全国•高三专题练习）若x>-2,则=X的最小值为.

【答案】0

【解析】由x>-2,得x+2>0,—1—>0,

尤+2

所以无）=尤+^~=彳+2+^——2N2\J（尤+2）x,-2=0,

X+2X+2yX+1

当且仅当x+2=一1即x=-1时等号成立.

故答案为：0

4

例8.（2023•全国•高三专题练习）已知x>0,则2X+；；~~；的最小值为_________.

2x+l

【答案】3

44I41

【解析】2x+-------=2尤+1+----------1>2.（2x+l）------------1=3,当且仅当2x+l=2,即苫=—时，等号成立.

2x+l2x+lV2x+l2

故答案为：3.

第6页共20页

例9.（2023•全国•高三专题练习）若尤>1,贝卜/+2「+2的最小值为

x-1

【答案】2遥+4/4+2出

【解析】由X>1,则x—1>O.

H^J%2+2X+2=（X-1）2+4（%-1）+5,

所以匕空工=（了-1）+2+4^2必-1>工+4=2岔+4,

x-1I7x-1V尤T

当且仅当x-l=即尤=«+1时等号成立，

x-1

故二匕+2的最小值为2君+4.

故答案为：2百+4.

例10.（2023•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式％2+以+CN03>1）的解

1+2b+4c

集为R，则的最小值为_________.

0-1

【答案】8

【解析】因为不等式必+法+003>1）的解集为R,贝必二/一船“二建幺，

因为b>l,所以6-1>0,

.l+26+4c、/+26+1(/?-1)2+4(&-1)+444

>•--------->---------=------------------=S-1)+~-+422J(b-1)x---+4=8.

b-1b-1b-1b-1vb-1

4

当且仅当人—1=「，即6=3时，取到等号.

b-1

故答案为：8

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解

题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例11.（2023•全国•高三专题练习）已知正实数°,。满足"+2a-2=0,则4a+6的最小值是（）

A.2B.40-2C.473-2D.6

【答案】B

2

【解析】由a6+2a—2=。，得a=,

b+2

所以4°+6=-^-+6=-^-+（6+2）-2..2/-^-.（6+2）-2=40-2,

b+2b+2\b+2

第7页共20页

当且仅当a=±,±=6+2,即°=也涉=2行一2取等号.

b+2b+22

故选：B.

例12.（2023•全国•高三专题练习）若x,yeR+,（x-y）2=（xy）3,则工+工的最小值为___________.

尤y

【答案】2

【解析】

因为（x-»=（盯了且x,yeR+,则两边同除以（xy）,,得（,」>=孙，

y%

又因为（2+工）2=（，-2）？+4-'-=孙+4-1-22」孙-4-1-=4,当且仅当孙=41，即x=2+0,y=2-0时

xyyxxyxyxyxy

等号成立，所以'+,26=2.

%y

故答案为：2

例13.（2023•全国•高三专题练习）已知兀>0,>>0,满足炉+2盯-2=0,则2x+y的最小值是.

【答案】V6.

［解析】由1+2孙一2=0,得'=^1=，_鼻，xe（0,V2）

所以2x+y=2x+^_±=在+色.工=2,口=&.

JC22JCV2xV2

当且仅当空」即工=包时等号成立，

2x3

所以2x+y的最小值是

故答案为：底.

题型五：双换元求最值

【解题方法总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的

分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.

1、代换变量，统一变量再处理.

2、注意验证取得条件.

例14.（2023•浙江省江山中学高三期中）设。>0,6>0,若片+〃一耳b=i,则、&2一油的最大值为（）

A.3+73B.20C.1+^/3D.2+石

【答案】D

【解析】解：法一：（基本不等式）

设c=6a—b,则6a?-ab=a（由a-b）=ac,

第8页共20页

条件一百+c2-y/3ac=1，

所以y/3ac+1=a2+c2>2ac，即QCW2+V3.

故选：D.

法二：(三角换元)由条件(a-也6)2+1〃=1,

回A

a----b=cosc/

2a=cos6+A/3sin0

故可设，即<

Z?=2sin6

—=sin6^

2

>

上十八,c辽cos6+V3sin6>>0»口八八5TT

由于〃>0,b>o,故〈，解得o<e<L

2sin6>>06

所以,卜普犷

所以6a2-的=6+25苗2642+6,当且仅当0=?时取等号.

故选：D.

4n+h

例15.(2023•天津南开•一模)若a>0,Z?>0,c>0,a+Z?+c=2,则-+----的最小值为

a+bc

【答案】2+20

【解析】由题意，a>Q,b>0,c>0,a+Z?+c=2得：a+b=2-c,

设2-c=m,c=〃,O>0,〃>0),则加+〃=2,

4Q+b42-c421421

a+bc2—cc2—ccmn

m+n42、<c2nmice2几mn；

=-------x(z—+-)-1=3+—+——1>2+2/-=2+2。2,

2mnmn\mn

当且仅当“二2",即相=4-2^^,几=c=时取得等号，

故」7+巴吆的最小值为2+2收，

故答案为：2+20

例16.（2023•全国•高三专题练习）已知。>0,/>0,。+26=1,则一二+二v取到最小值为

3a+46a+3b

【答案】?

2-1

34+〃=1s

【解析】令a+2b=X(3a+4b)+〃(a+3Z?)=(3%+〃)a+(42+3/z)〃,/.{=>{,

‘42+3//=22

第9页共20页

11/11231「2(〃+3份3〃+4。

-----------1------=--(----------+-------)•[-(3a+46)+—(〃+3b)]=-+-[—---------+---------]

3a+4ba+3b3〃+4。a+3b55553a+4ba+3b

厂a+2b=l

二+2卜(〃+3勿3〃+44士31,当且仅当｛2(〃+3勿3〃+4b时，等号成立,

55V3。+4ba+3b5-----------------------

3〃+48a+3b

即4r+T:的最小值是上还.

3a+4ba+3b5

题型六：“1”的代换求最值

【解题方法总结】

1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程

中要特别注意等价变形.

1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法.

2、注意验证取得条件.

例17.（2023•安徽蚌埠•统考二模）若直线2+==1（。>0,6>0）过点（2,3）,贝i]2a+b的最小值为______

ab

【答案】7+4用46+7

【解析】•••直线:+看=1（。>0力>0）过点（2,3）,

.,.24+6=(20+6)仕+3]=7+殳+”之7+4上网=7+4有,当且仅当6=岛，即a=2+G6=2用3

\ab)ab\ab

时取等号.

的最小值为7+4B

故答案为：7+4石.

4-2b1

例18.（2023•河北•IWJ二校联考阶段练习）已知a>0,〃>0,。+2〃=3,则-----H不■的最小值为__________.

a2b

【答案】|7

【角星析]a>0,〃>0,a+2b=3,

4-2/?11f.2ba

(〃+2〃)=1+-2+—+——

a2ba2b3a2b3alb33

34-2b17

当且仅当〃=2二时取等号，则丁+力勺最小值为.

,7

故答案为：—

例19.（2。23・湖南衡阳・高三校考期中）已矢2>>2,且标+尸7,则喜+£的最小值为一.

第10页共20页

【答案】1

【解析】因为3x+y=7,所以3x-l+y-2=4,

5g=1

即

44

13x-1v-2

因为y＞2,所以下＞。,2r＞。,

1111、/31丫-2、

-------+-------=(z--------+-------)(-------+-——)

3x-lj-23x-lv-244

,+上"+上7/+2Iy-2x31=1

44(31)4(y—2)42'4(3x-l)4(y—2)'

当且仅当一二2n二*

即尤=l,y=4时取等号.

4（3x-l）4（y-2）

11

所以=1+亦的最小值为1.

故答案为：1

41

例2。.（2。23.山东青岛.局三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数“少满足R+相=1,

则。+2）的最小值为

【答案】8

41

【解析】因为-T而

Br±：S+6)+(Hl)T]

所以a+26=

.114（Z?+1）a+b/4（Z?+1）a+b

=4+1-1+—-----L+------>4+2—------L-------=8，

a+bb+1Ava+bb+1

当且仅当险土D=",即。=43=2时，取等号，

a+b。+1

所以。+2）的最小值为8.

故答案为：8.

题型七：齐次化求最值

【解题方法总结】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进

行求解.

例21.（2023・全国•高三专题练习）已知正实数〃也c,a+A=3,则与ac+彳3c+'的3最小值为_______________

babc+1

【答案】2遥-2/-2+246

第11页共20页

【解析】由正实数a,b,a+b=3,可得3=丝土城

2(a+/?)

a+-....-Q

所以3c333

-----1-------1----c--x-(-+—)+—ex-------——+---

babc+1babc+labc+l

4/+2ab+Z??34〃+b3

=ex-------------1----=cx(---1---+—)+----

3abc+13b3a3c+1

"4〃b、c素54,当且仅当+5即“力4时取等号'

ffi]—+—>2

3b3〃

,,ac3c342、3c/1、3c

故一+—+---->(?(—+—)+---=2(c+l)+------2

babc+l33c+lc+l

>2^/6-2,

当且仅当2（c+l）=W时,即，邛T时取等号,

故答案为：22

例22.（2023•全国•高三专题练习）己知a,6为正实数，且2a+6=l,则^+三的最小值为

a2b

【答案】6

2a4a+2ba(lba\、与2ba,

【解析】由已知条件得,—l---=+——=——+——+4>2j-----+4A=6,

a2ba2ba2ba2b

当且仅当丝==,即a=],b=!时取等号.

a2b55

故答案为：6.

2孙孙

例23.（2023•天津红桥•高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知x>0,y>0,则X*2+4/+f+y了的最大值

是

【答案】名旦

3

2xyxy21

22+22H------x八

【解析】x+4yx+y2+-2十)，设£0),

y

y

2

212/3(7+2t)3(r+一)

所以原式=+—j-=--------卜一

/+4Z2+l/+5/+4r+5+g

tH—tH—

令〃=r+2«>o),〃z2V2.

第12页共20页

3u3/332A/2

所以原式=l?+l—f―r-r--9r--3

M+--A/23-

u2V24

(函数y="+，在[20,+oo)上单调递增)

U

故答案为：—

3

题型八：利用基本不等式证明不等式

【解题方法总结】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.

例24.(2023•全国•高三专题练习)利用基本不等式证明：已知。，瓦c都是正数，求证:

^a+b)(b+c)(c+a)>?>abc

【解析】〔a，b，c都是正数，:.a+b>2s[ab>0(当且仅当a=〃时取等号)；b+c>2sfbc>0(当且仅当b=

时取等号)；c+a>2s[ca>0(当且仅当c=。时取等号);

.■.(a+Z?)(Z?+c)(c+a)>2-Jab-Zsibc-2\[ca=8abe(当且仅当a=b=c时取等号),

即(a+b)(6+c)(c+a)>8abc.

例25.(2023•河南•高三校联考阶段练习)已知无，》z为正数，证明:

(1)若冷Z=2,则卓+；

xy"z2+2=2

(2)若2%+y+2z=9,则//+zz之9.

【解析】(1)因为孙z=2,所以4=*42二，

x2

同理可得"丁，》三

222,,111x2+y2+z2

所以—+_+一«

xyz222叱

当且仅当x=y=z时等号成立.

(2)x2+y2+z2+12+22)(x2+j2+z2)>-^(2x+y+2z)2,

因为2x+y+2z=9,所以Y+V+z?之9,当且仅当犬=2y=z时等号成立.

例26.(2023•四川广安•高三校考开学考试)已知函数/⑴=疝+1|+,+川，若/⑺<3的解集为[〃』.

⑴求实数加，及的值；

19

(2)已知。涉均为正数，且满足丁+丁+2冽=0,求证：16«2+Z?2>8.

2ab

【解析】(1)因为〃x)<3的解集为卜1],所以〃1)43,即3+|1+根区3,所以|1+〃40,

又|1+加|2。，所以1+m=0,即加=一1.

第13页共20页

所以/(x)=|2尤+1|+|尤—1|,

当—时，/(%)=—2%—1—x+1=—3%«3得入2—1,贝!J—1Vx<—,

22

当—《x«1时，f(x)—2x+1—x+1—x+2^3,—«xK1,

22

当x>l时，/(x)=2x+l+x-l=3x<3,得x<l,不成立，

综上所述：〃外<3的解集为［-1,1］,

因为"％)<3的解集为［九』.所以〃=-1.

1?

(2)由(1)知，m=—l所以--1—=2(ti>0,Z?>0),

92ab

所以2=工+222、^|=义，当且仅当。=(,6=2时，等号成立，

2ab\2abyfab2

所以出?21,

所以161+从上2加奇=8必28,当且仅当。=:,匕=2时，等号成立.

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【解题方法总结】

1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题.

2、注意定义域，验证取得条件.

3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等.

例27.(2023•全国•高三专题练习)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生

态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的

化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本丁(元)与月处理量x(吨)之

间的函数关系可近似的表示为y=gx2-200x+80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为

100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位

不亏损？

【解析】(1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为)=L+幽2-20022、除亚叵-200=200；

x2xV2x

当且仅当］x=,即x=400时等号成立，

2x

故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.

(2)不获利，设该单位每个月获利为S元，则

第14页共20页

S=1OOx-y=1OOx-]；尤2_200x+8OOOOj=-1x2+3OOx-80000=（尤_3ooj_35OOO,

因为xe[400,600],贝1JSe[-80000,-40000],

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

例28.（2023•贵州安顺•高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可

利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处

理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为/（x）=gx2-200X+80000.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？

（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？

【解析】（1）该单位每月的月处理成本：

/（尤）=万f-200x+80000=5（%-200）2+60000,

因100〈》工600,函数/（刈在区间[100,200]上单调递减，在区间（200,600]上单调递增，

从而得当x=200时，函数取得最小值，BP/（x）mta=/（200）=60000.

所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.

（2）由题意可知：/（尤）=gf-200x+80000（1004x4600）,

每吨二氧化碳的平均处理成本为：/区=-+幽2_200>202222_200=200

x2xV2x

当且仅当;=更侬，即x=400时，等号成立.

所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元.

例29.（2023•湖北孝感•高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破

44200000人•疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.

（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并己进入二期临床试验阶段•已知这种新药在

注射停止后的血药含量c（r）（单位：mg/L）随着时间f（单位：h）.的变化用指数模型。（"=?「如描述，

假定某药物的消除速率常数笈=0.1（单位：h-1）,刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L,且这

种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药,

求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01,参考数据：1112-0.693,ln3虫.099）

第15页共20页

(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48“平方米(。>0),

侧面长为x米，且%不超过8,房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计

房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？

h-lf

【解析】(1)由题意得，c(?)=coe~=2000e°,

设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L时需要是时间为％,

由c&)=2000e』s>1000,得,

故-O."2-ln2,等a6.93h.

该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h.

(2)由题意，正面长为玉米，故总造价y=400x4x/+2xl50x4x,即y=^^+1200x,(0<xV8).

XXX

由基本不等式有y=768°°。+1200XW2、陛也X1200X,当且仅当型％=1200x,即x=8夜时取等号.

xVxx

故当86<8,即x=86时总价最低；

当8夜>8,即时，由对勾函数的性质可得，%=8时总价最低；

综上，当0va<l时，x=86时总价最低；当时，尤=8时总价最低.

题型十：与平方和、ab有关问题的最值

【解题方法总结】

利用基本不等式变形求解

例30.(多选题)(2023•重庆•统考模拟预测)若实数。，6满足"+从二必+i,则()

A.a-b>-lB.a-b<^-

3

7171

C.ab>——D.ab<—

33

【答案】BC

【解析1a1+b2=ab+1,

当必>0时，a2+b2>lab^>ab+l>2ab当且仅当a=b=l或。=6=一1时等号成立，得。<"W1,

当"<0时，a2+b2>-2ab=>ab+\>-lab^ab>--,当且仅当“=迫/=一走或°=一走,》=立时等号

33333

成立，得-

当aZ?=O时，由=]〃+i可得々=0/=±1或少=o,a=±i

综合可得一：4必41,故C正确，D错误；

a~+Z?2—2ab=1—ab——(a—=1—ab——1—(a—b)2=ab,

第16页共20页

当时，1—（a_b）?2_；=>（q—b）?Vg=_2^Ma-bM2个,故A错误，B正确;

故选：BC.

例31.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）己知。>0,人>0,且。+5=1,贝U（）

A.一+6的最小值为4