2024届山东省淄博市桓台县中考数学四模试卷含解析

2024届山东省淄博市桓台县中考数学四模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）

2.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,BC=6,将ABC沿AC折叠，使点3落在点E处，CE交AD于点F,

则。尸的长等于（）

3.若m,n是一元二次方程x2-2x-1=0的两个不同实数根，则代数式n?-m+n的值是（)

A.-1B.3C.-3D.1

4.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

6.如图，水平的讲台上放置的圆柱体笔筒和正方体粉笔盒，其左视图是（）

B.

c.D

7.如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞

的是()

OC

A.正方体B.球C.圆锥D.圆柱体

2x+1

8.方程一一=3的解是()

x—1

A.-2B.-1C.2D.4

9.如图，在四边形ABCD中，NA+ND=a,NABC的平分线与/BCD的平分线交于点P,则NP=()

a

C.1D.360°-a

2

10.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180。后，C点的坐标

是()

A.(2,0)B.(3,0)C.(2,-1)D.(2,1)

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.若点M(1,m)和点N(4,n)在直线y=-；x+b上，则m_n(填＞、＜或=)

12.已知边长为2的正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿

x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60。，经过2018次翻转之后，点B的坐标是.

13.长、宽分别为a、6的矩形，它的周长为14,面积为10,则a?加而2的值为.

14.若4a+3b=1,则8a+6b-3的值为.

3

15.如图，在RSABC中，ZACB=90°,D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=-,则

DE=.

_一1〃一

16.已知M=——,N=——，P=----,则M、N、P的大小关系为______________.

71-1nn+1

17.如图，已知圆锥的母线SA的长为4,底面半径OA的长为2,则圆锥的侧面积等于

18.（10分）如图是一副扑克牌中的四张牌，将它们正面向下冼均匀，从中任意抽取两张牌，用画树状图（或列表）

的方法，求抽出的两张牌牌面上的数字之和都是偶数的概率.

19.（5分）已知，抛物线y=ax2+c过点（-2,2）和点（4,5）,点尸（0,2）是y轴上的定点，点3是抛物线上除顶

点外的任意一点，直线/：y=fcr+Z（经过点5、F且交》轴于点A.

(2)①如图1,过点5作轴于点C,连接FC,求证：PC平分NRFO；

②当k=时，点下是线段A3的中点；

(3)如图2,M(3,6)是抛物线内部一点，在抛物线上是否存在点5,使AM3F的周长最小？若存在，求出这个

最小值及直线/的解析式；若不存在，请说明理由.

20.(8分)先化简，再求值：(x-2y)2+(x+y)(x-4y),其中x=5,y=g.

21.(10分)反比例函数y=&(k/0)与一次函数y=mx+b(m#0)交于点A(1,2k-1).求反比例函数的解析式；

x

若一次函数与x轴交于点B,且AAOB的面积为3,求一次函数的解析式.

22.(10分)如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别交BC,AC于点D,E,DGLAC于点G,交

AB的延长线于点F.

(1)求证：直线FG是。O的切线;

(2)若AC=10,cosA==,求CG的长.

23.(12分)P是。O内一点，过点P作。O的任意一条弦AB,我们把PA・PB的值称为点P关于。。的“幕值”

(1)。。的半径为6,OP=1.

①如图1,若点P恰为弦AB的中点，则点P关于。。的“塞值”为；

②判断当弦AB的位置改变时，点P关于。O的“塞值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P

关于。。的“募值”的取值范围；

(2)若。。的半径为r,OP=d,请参考(1)的思路，用含r、d的式子表示点P关于。O的“塞值”或“嘉值”的取值

范围_____;

(3)在平面直角坐标系xOy中，C(1,0),。(：的半径为3,若在直线y=J^x+b上存在点P,使得点P关于。C的

“塞值”为6,请直接写出b的取值范围____.

24.(14分)如图1,在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，

已知OA=6,OB=L点D为y轴上一点，其坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC

-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒.

(1)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；

(2)如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B，恰好落在AC边上，求点P的坐标.

(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1,B

【解析】

考点：概率公式.

专题：计算题.

分析：根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数,

共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，

故概率为2/6="1/”3.

故选B.

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

那么事件A的概率P(A)="m"/n.

2、B

【解析】

由折叠的性质得到AE=AB,ZE=ZB=90°,易证RtAAEF^RtACDF,即可得到结论EF=DF；易得FC=FA,设FA=x,

则FC=x,FD=6-x,在RtACDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=4?+(6-x)2,解方程求出x即可.

【详解】

•.,矩形ABCD沿对角线AC对折，使4ABC落在△ACE的位置，

，AE=AB,NE=NB=90°,

又•.•四边形ABCD为矩形，

/.AB=CD,

.\AE=DC,

而NAFE=NDFC,

\•在AAEF.^ACDF中，

ZAFE=ZCFD

<ZE=ZD,

AE=CD

AAAEF^ACDF(AAS),

；.EF=DF；

•.•四边形ABCD为矩形，

；.AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

/.FC=FA,

设FA=x,贝!|FC=x,FD=6-x,

13

在RtACDF中，CF2=CD2+DF2,即x2=42+(6-x)2,解得x=—,

3

贝！JFD=6-x=-.

3

故选B.

【点睛】

考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与

性质以及勾股定理.

3,B

【解析】

把机代入一元二次方程f—2x-1=0,可得机2—2〃/—1=0,再利用两根之和利+〃=2,将式子变形后，整理代

入，即可求值.

【详解】

解：...若九是一元二次方程x2—2x-1=0的两个不同实数根，

m2—2m—1=0,m+n=2>

m2—m=l+m

m2—m+n=l+m+n=3

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，及一元二次方程的解，熟记根与系数关系的公式.

4、C

【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

详解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：C.

点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后

可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

5、B

【解析】

【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案.

【详解】A、兀是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；

B、0是有理数，故本选项正确；

C、是无理数，故本选项错误；

D、狗是无理数，故本选项错误，

故选B.

【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键.

6、C

【解析】

根据左视图是从物体的左面看得到的视图解答即可.

【详解】

解：水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其左视图是一个含虚线的

长方形，

故选C.

【点睛】

本题考查的是几何体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图.

7、D

【解析】

本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞.

【详解】

根据三视图的知识来解答.圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可

以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项.

故选D.

【点睛】

此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实

并不难.

8、D

【解析】

按照解分式方程的步骤进行计算，注意结果要检验.

【详解】

2x+l=3(x-l)

2x+1=3x—3

2x—3x=—1—3

一x=T

x=4

经检验x=4是原方程的解

故选：D

【点睛】

本题考查解分式方程，注意结果要检验.

9、C

【解析】

试题分析：,••四边形ABCD中，NABC+NBCD=360。-(ZA+ZD)=360°-a,

VPB和PC分别为NABC、ZBCD的平分线，

/.ZPBC+ZPCB=(ZABC+ZBCD)=-(360。-a)=180°--a,

22

贝！|NP=180。-(ZPBC+ZPCB)=180°-(180°--a)=-a.

22

故选C.

考点：1.多边形内角与外角2.三角形内角和定理.

10、B

【解析】

试题分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180。后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中

点，据此即可求解.

试题解析：AC=2,

则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180。后C的对应点设是O,则AC=AC=2,

贝！IOC=3,

故C，的坐标是(3,0).

故选B.

考点：坐标与图形变化-旋转.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、>

【解析】

根据一次函数的性质，k<0时，y随x的增大而减小.

【详解】

因为k=-所以函数值y随x的增大而减小，

因为1<4,

所以，m>n.

故答案为：>

【点睛】

本题考核知识点：一次函数.解题关键点：熟记一次函数的性质.

12、(4033,6)

【解析】

根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2018除以6,根据商和余数的情况确定出点B的位置，经过

第2017次翻转之后，点B的位置不变，仍在x轴上，由A(-2,0),可得AB=2,即可求得点B离原点的距离为4032,

所以经过2017次翻转之后，点B的坐标是(4032,0),经过2018次翻转之后，点B在B，位置(如图所示)，则4BBC

为等边三角形，可求得BN=NC=LB，N=&,由此即可求得经过2018次翻转之后点B的坐标.

然后求出翻转前进的距离，过点C作CGJ_x于G,求出NCBG=60。，然后求出CG、BG,再求出OG,然后写出点

C的坐标即可.

【详解】

设2018次翻转之后，在卬点位置，

,/正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°,

.•.每6次翻转为一个循环组，

；2018+6=336余2,

经过2016次翻转为第336个循环，点B在初始状态时的位置，

而第2017次翻转之后，点B的位置不变，仍在x轴上，

VA(-2,0),

；.AB=2,

.•.点B离原点的距离=2x2016=4032,

,经过2017次翻转之后，点B的坐标是(4032,0),

经过2018次翻转之后，点B在B，位置，则ABB，C为等边三角形,

此时BN=NC=LB，N=6,

故经过2018次翻转之后，点B的坐标是：(4033,6).

故答案为(4033,73).

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，涉及到坐标与图形变化-旋转，正六边形的性质，确定出最后点B所在的位置是解题的关

键.

13、1.

【解析】

由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab(a+b),代入可求得答案

【详解】

•••长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14,面积为10,

14

..a+b=——=7,ab=10,

2

a2b+ab2=ab(a+b)=10x7=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab(a+b)是解题的关键.

14、-1

【解析】

先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解.

【详解】

V4a+3b=l,

；・8a+6b=2,

8a+6b-3=2-3=-l；

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键.

15

15、

T

【解析】

3

•在RtAABC中，BC=6,sinA=—

5

，AB=10

•*-AC=V102-62=8-

1

；D是AB的中点,AAD=-AB=1.

2

,/ZC=ZEDA=90°,ZA=ZA

/.△ADE^AACB,

DEAD

BCAC

即手

解得：DE=g

16、M>P>N

【解析】

Vn>l,

・・・M>l,OvNvl,OvPvl,

・・・M最大；

八2nn-11八

P-N=----------------=—-------->0,

n+1n+

:・P>N,

：.M>P>N.

点睛：本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小.作差法比较大小的方法是:如果>0,那么a>b;

如果〃/=0,那么a=b;如果alvO,那么另外本题还用到了不等式的传递性，即如果那么a>b>c.

17、87r

【解析】

圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半.依此公式计算即可.

【详解】

侧面积=4x4k+2=87t.

故答案为87r.

【点睛】

本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面积的计算可以转化为扇形的面积的计算，理解圆锥与展开图之间的

关系.

三、解答题(共7小题，满分69分)

1

18、—

3

【解析】

根据列表法先画出列表，再求概率.

【详解】

解：列表如下：

2356

2(2,3)(2,5)(2,6)

3(3,2)(3,5)(3,6)

5(5,2)(5,3)(5,6)

6(6,2)(6,3)(6,5)

由表可知共有12种等可能结果，其中数字之和为偶数的有4种，

所以P(数字之和都是偶数)=--

3

【点睛】

此题重点考查学生对概率的应用，掌握列表法是解题的关键.

19、(1)v=-x2+l；(2)①见解析；②土且；(3)存在点5,使AM5尸的周长最小.尸周长的最小值为11,

43

直线/的解析式为y=，x+2.

【解析】

(1)用待定系数法将已知两点的坐标代入抛物线解析式即可解答.

(2)①由于BC〃/轴，容易看出N。尸C=N3CF,想证明N5尸C=N。尸C,可转化为求证尸C=N5CF,根据“等

1,

边对等角”，也就是求证3c=8歹，可作轴于点。，设3(m,-m2+l),通过勾股定理用心表示出8歹的长

-4

度，与相等，即可证明.

②用机表示出点A的坐标，运用勾股定理表示出AF的长度，令AF=BF,解关于加的一元二次方程即可.

(3)求折线或者三角形周长的最小值问题往往需要将某些线段代换转化到一条直线上，再通过“两点之间线段最短”

或者“垂线段最短”等定理寻找最值.本题可过点M作MNJ_x轴于点N,交抛物线于点过点3作BEJLx轴于点E,

连接81尸，通过第(2)问的结论

将△MB尸的边5歹转化为此，可以发现，当3点运动到与位置时，△M3尸周长取得最小值，根据求平面直角坐标

系里任意两点之间的距离的方法代入点"与歹的坐标求出旅的长度，再加上MN即是△MB户周长的最小值；将点

M的横坐标代入二次函数求出B一再联立与F的坐标求出I的解析式即可.

【详解】

(1)解：将点(-2,2)和(4,5)分别代入丁=。必+。，得：

4。+c=2

V

16a+c=5

.1

ci——

解得：<4

c=1

1

・••抛物线的解析式为：>=:一0+1.

4

(2)①证明：过点5作轴于点。，

1

设b(m,—m9+1)f

4

•・・3CJ_x轴，轴，F(0,2)

121

・・i5C=—m+1,

4

12i

BD=\m\DF=-m-\

94

BF=^m2+(^m2-l)2=^m2+l

：.BC=BF

：.ZBFC=ZBCF

又3C〃y轴，:.NOFC=/BCF

：.ZBFC=ZOFC

...尸C平分尸O.

②土旦

3

(说明：写一个给1分)

(3)存在点B,使4MBF的周长最小.

过点M作轴于点N,交抛物线于点Bi,过点5作轴于点E,连接

由(2)知BiF=5iN,BF=BE

：.AMBiF的周长=MF+M8i+5/=MF+M5i+5iN=M尸+MN

AMBF的周长="尸+M8+8F=MF+M3+3E

根据垂线段最短可知：MN<MB+BE

当点B在点Bi处时，尸的周长最小

,：M(3,6),F(0,2)

•••MF=732+(6-2)2=5，MN=6

：.AMBF周长的最小值=M/+MN=5+6=11

将x=3代入y=—Y+1,得：

-4

13

.,.5i(3,—)

4

13

将歹(0,2)和31(3,—)代入产质+方，得：

4

解得：彳k=—12

b=2

，此时直线/的解析式为：y=^x+2.

【点睛】

本题综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，动点与最值问题等，熟练掌握各个知识点,

结合图象作出合理辅助线，进行适当的转化是解答关键.

20、2x2-7xy,1

【解析】

根据完全平方公式及多项式的乘法法则展开，然后合并同类项进行化简，然后把x、y的值代入求值即可.

【详解】

原式=x2-4xy+4y2+x2-4xy+xy-4y2=2x2-7xy,

当x=5,y=g时，原式=50-7=1.

【点睛】

完全平方公式和多项式的乘法法则是本题的考点，能够正确化简多项式是解题的关键.

21、(1)y=—；(2)y=-1x+|^y=-x+-

x5577

【解析】

试题分析：(1)把A(1,2k-l)代入y=4即可求得结果；

X

(2)根据三角形的面积等于3,求得点B的坐标，代入一次函数y=mx+b即可得到结果.

试题解析：

(1)把A(1,2k-1)代入y=&得,

X

2k-l=k,

:.k=l,

...反比例函数的解析式为：y=L；

X

(2)由(1)得k=l,

AA(1,1),

设B(a,0),

1

ASAAOB=—*|a|xl=3,

••a=±6,

AB(-6,0)或(6,0),

把A(1,1),B(-6,0)代入y=mx+b得：

l=m+b

0=—6m+b

，1

m--

7,

b=g

[7

...一次函数的解析式为：y=gx+g,

把A(1,1),B(6,0)代入y=mx+b得：

1=m+b

V9

0=6m+b

一1

m-——

6

b7=—

[5

...一次函数的解析式为：y=-gx+《.

所以符合条件的一次函数解析式为：y=-或y=；x+3.

22、(3)证明见试题解析；(3)3.

【解析】

试题分析：(3)先得出OD〃AC，有NODG=NDGC,再由DG_LAC,得至!)NDGC=90。，ZODG=90°,得出OD_LFG,

即可得出直线FG是。O的切线.

(3)先得出△ODFs4AGF,再由COSA=：,得出COSNDOFY；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值.

33

试题解析：(3)如图3,连接OD,VAB=AC,.,.ZC=ZABC,VOD=OB,ZABC=ZODB,/.ZODB=ZC,/.OD/ZAC,

/.ZODG=ZDGC,VDG1AC,/.ZDGC=90°,.,.NODG=90。，.,.OD1FG,；OD是。。的半径，,直线FG是

。。的切线；

(3)如图3,VAB=AC=30,AB是。O的直径，.*.OA=OD=30-r3=5>由(3),可得：OD±FG,OD/7AC,.*.ZODF=90°,

ZDOF=ZA,在AODF和AAGF中，VZDOF=ZA,ZF=ZF,/.AODF^AAGF,.•.三二兰，；cosA千，

，cosNDOF==,/.OF=-=^,.•.AF=AO+OF=f+二=二，；.二=-,解得AG=7,，CG=AC-AG=30-7=3,

，---————*DO

92

即CG的长是3.

考点：3.切线的判定；3.相似三角形的判定与性质；3.综合题.

23、(1)①20；②当弦AB的位置改变时，点P关于。。的“幕值”为定值，证明见解析；(2)点P关于。O的“幕值”

为F-cP；(3)-3V3<b<73.

【解析】

【详解】(1)①如图1所示：连接OA、OB、OP.由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后

依据勾股定理可求得PB的长，然后依据塞值的定义求解即可；

②过点P作。O的弦A，B」OP,连接AA\BB\先证明△APA^ABTB,依据相似三角形的性质得到PA«PB=PA,«PB,

从而得出结论；

(2)连接OP、过点P作AB±OP,交圆O与A、B两点.由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB,然后在RtAAPO

中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2,然后将d、r代入可得到问题的答案；

(3)过点C作CPLAB,先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的

塞值为6,半径为1可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可

确定出b的取值范围.

【详解】(1)①如图1所示：连接OA、OB、OP,

VOA=OB,P为AB的中点，

AOP1AB,

•.•在APBO中，由勾股定理得：PB=7OB2-OP2=A/62-4=2A/5，

.,.PA=PB=275.

二OO的“嘉值”=24X2君=20,

故答案为：20；

②当弦AB的位置改变时，点P关于。。的“嘉值”为定值，证明如下：

如图，AB为。O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作。。的弦A'B'LOP,连接AA，、BBS

图2

•.•在。O中，ZAAT=ZBrBP,ZAPA^ZBPB%

/.△APA^ABTB,

.PAPA'

••雨一记’

.,.PA«PB=PAr«PBr=20,

当弦AB的位置改变时，点P关于。O的“募值”为定值；

(2)如图3所示；连接OP、过点P作ABLOP,交圆O与A、B两点,

；AO=OB,PO±AB,

/.AP=PB,

，点P关于。O的“塞值”=AP・PB=PA2,

在RtAAPO中，AP2=OA2-OP2=r2-d2,

关于。O的"塞值”=d-d2,

故答案为：点P关于。O的“塞值”为r2-d2；

(3)如图1所示：过点C作CP_LAB,

VCP1AB,AB的解析式为y=Gx+b,

二直线CP的解析式为y=-x+•

33

y=y/3x+b

联立AB与CP,得＜

y

・・・点p的坐标为「;一手b,乎+小),

•・•点P关于。C的“塞值”为6,

/.r2-d2=6,

/.d2=3,即(-3-走b)2+(^l+-b)2=3,

4444

整理得：b?+26b-9=0,

解得b=-36或b=G，

Ab的取值范围是-3出球也,

故答案为：-3G＜b＜百.

【点睛】本题综合性质较强，考查了新定义题，解答过程中涉及到了塞值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相

似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式等，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从

而求得b的极值