2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷

2022・2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(5分)设集合A={(x,y)|y=2x},B={(x,y)|y=W},则4CB的元素个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）欧拉公式/e=cos6+isin。由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e,虚数单位i与三角函

数cos®,sin。联系在一起，被誉为“数学的天桥“，若复数z=濠，则2的虚部为（）

V2V2

A./B.1C.-iD.——

22

3.（5分）已知圆M：（4-2）2+（y・]）2=],圆M（x+2）2+（y+l）2=],则下列不是M,N两圆公切

线的直线方程为（）

A.y=0B.4x-3j=0C.%—2y+V5=0D.x4-2y—V5=0

4.（5分）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，A8为底面直径，/A尸8=120°,以=2,点。在底面圆

周上，且二面角P-AOO为45°,则△B4C的面积为（）

A.V3B.2C.2V2D.2,

5.（5分）在数列｛“”｝中，。1=1,且函数/（x）=/+。”+了武-（2a”+3）x+3的导函数有唯一零点，则。9

的值为（）

A.1021B.1022C.1023D.1024

AC-BC

6.（5分）△ABC中，sin（^7r~=cos2A,则的取值范围是（）

A.（一1，1B.（卜1I1）C.61，令7D.辞1令2

/y2

7.（5分）已知椭圆/+会=1（。＞匕＞0）的两焦点为尸1,尸2,x轴上方两点A,3在椭圆上，A力与8尸2

平行，A尸2交于P.过P且倾斜角为a（aWO）的直线从上到下依次交椭圆于S,T.若俨S|=B|P7],

则“a为定值”是邙为定值”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不必要也不充分条件

8.（5分）在同一平面直角坐标系中，P,。分别是函数/（外-In（ar）和g（%）=弛*久图象上

的动点，若对任意。>0,有IPQI2加恒成立，则实数m的最大值为（）

A.V3B.-VzC.V2D.—

22

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知向量：=（1,3）,b=（2%,2-x）,其中xWR,下列说法正确的是（）

A.若；1b,则x=6

B.若［与］夹角为锐角,则％V6

C.若x=l,则：在1方向上投影向量为了

D.若向=4

（多选）10.（5分）己知函数/（x）=j^+ax2+bx+c（a,h,<?ER）,则下列说法正确的是（）

A.若函数f（%）的图象关于点（1,/（I））中心对称，则。=-3

B.当c=0时，函数/（%）过原点的切线有且仅有两条

C.函数/（%）在［-1,1］上单调递减的充要条件是2a・623

D.若实数XI,也是/（x）的两个不同的极值点，且满足X1+^=X1X2,则。>0或。<・6

（多选）11.（5分）已知函数/（X）=2sinx+|sin2r|,则（）

A./（x）的最小正周期为2n

B./（x）的图象关于％=*对称

C./（x）在［0,2汨上有四个零点

D./（x）的值域为［-2,竽］

（多选）12.（5分）已知抛物线C：y2=4x,过焦点尸的直线/与。交于4（xi,yi）,B（r,"）两点,

”>2,E与尸关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是a与0,则（）

A.sina>tanpB.NAEF=/BEFC.ZAEB<90°D.a<2g

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.（5分）（鱼工一、/展开式中//的系数为（用数字作答）

14.（5分）已知某批零件的质量指标D单位：亳米）服从正态分布N（25.40,。2）,且P（E225.45）

=0.1,现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值,不位于区间（25.35,25.45）

的产品件数，则。（X）=.

15.(5分)已知/(x)为奇函数，当尤(0,1],f(x)=lnx,且/(%)关于直线％=1对称.设方程f(x)

=r+l的正数解为xi,.m…，x”.…，且任意的〃£N,总存在实数M,使得成立，则实数

M的最小值为.

16.(5分)在平面四边形A8CO中，乙408=90。，/48C=90。，BD=BC=2,沿对角线40将△ABQ

折起，使平面AOB_L平面BDC,得到三棱锥4-BCD,则三棱锥A-BCD外接球表面积的最小值

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知数列｛的｝的各项均为正数，前〃项和为S“，且满足%=(竽＞.

⑴求am

(2)设％=(〃―匚4设数列｛为｝的前〃项和为若与之对一彻〃WN*恒成立，求

实数机的取值范围.

18.(12分)记锐角△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知竺纥?=则"0.

cosBcosC

(1)求证：B=C；

11

(2)若asinC=2,求-7+77的最大值.

a2b2

19.(12分)如图4,在三棱台ABC-481。中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面4CC1A1为等

腰梯形，且4Ci=A4i=l,。为4C的中点.

(1)证明：AC-LBD；

(2)记二面角4・4C・B的大小为仇给时，求直线A41与平面856。所成角的正弦值的

取值范围.

20.(12分)已知函数/(％)=rv+cosx-2,f(x)为/(x)的导数.

(1)当x20时，求/(x)的最小值；

(2)当X2-鄂寸，M+xcosx-a?-2xN0恒成立，求a的取值范围.

21.(12分)甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给

对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结

果可知.在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为02

(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；

(3)若Pi(i=0,1,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率“，则Po=O,P6=l.证

明：(Pi+i-Pi}(Z=0,1,2,5)为等比数列.

22.(12分)已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线M4与直线y=x垂直，A为垂足且位于第三象

限；直线MB与直线y=・%垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(。为原点)的面积为2,

记动点M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)点E(2VL0),直线PEQE与C分别交于P,。两点，直线PE,QE,尸。的斜率分别为力,公，

k3,若心+芬•七=一6,求△PQE周长的取值范围・

2022・2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

x

1.（5分）设集合A={（x,y）\y=2}fB={（x,y）|y=/},则AGB的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如图，集合A为函数），=2、图象的点集，

集合8为函数），=/图象的点集，

两函数的图象有三个交点，

所以ADB的元素个数为3个.

故选：C.

2.（5分）欧拉公式网=cose+isine由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e,虚数单位i与三角函

数cose,sine联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=Q,则2的虚部为（）

V2V2

A./B.IC.—iD.——

22

【解答】解：Z=屈2=典=C0S今+5加刍二孝+孝i,其虚部为号.

故选：D.

3.（5分）己知圆M：（X-2）2+（y-1）2=],圆N：（彳+2）2+（＞1）2=],则下列不是N两圆公切

线的直线方程为（）

A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y4-V5=0D.x+2y-V5=0

【解答】解：如图，圆心M（2,1）,N（・2,-1）,半径川=废=1,两圆相离，有四条公切线.

y

Vs

，1，I———\~

两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O,

设切线/：y=kx,则圆心到直线的距离隼粤=1,解得％=0或k=/

另两条切线与直线MN平行且相距为1,lMN：y=1x,

设切线，：y=：%+/）,则j=\=L

解得b=土坐（或通过斜率排除）.所以。项不正确.

故选：D.

4.（5分）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,48为底面直径，ZAPB=120°,以=2,点。在底面圆

周上，且二面角P-AC-O为45°,则△以C的面积为（）

A.V3B.2C.2\/2D.2V5

【解答】解：如图所示，・・・AB为底面直径，NAP8=120°,PA=2,

:ZAB是等腰三角形，

由余弦定理可得AB2=AP2+BP2-2AP-BP-cosl200=12=>=2V3=20A,P0=

\/PA2-OA2=1,

由圆锥的特征易知附=PC、OA=OC,尸。_L0O,

取AC中点。，连接PD、OD,

显然有OO_LAC,PDLAC,即二面角P-AC-O为NPOO=45°,

：.P0=0D=1,PD=V2,则4c=2AD=2>JPA2-PD2=2yf2,

,,SAPAC=24。，PD=2.

故选：B.

5.（5分）在数列｛〃”｝中，山=1,且函数f（x）=/+a”+isinx-（勿〃+3）x+3的导函数有唯一零点，则〃9

的值为（）

A.1021B.1022C.1023D.1024

4

【解答】解：f(x)=5x4-67/f+lCOSX-(2。“+3),

易知函数，(X)为偶函数，

又/(X)有唯一零点，

则必有/(0)=〃“+[-(2如+3)=0,

即a”+i=2。“+3,

则有an+1+3=2(an+3),

所以数列｛。〃+3｝是以2为公比的等比数列，

又41=1,

贝|」册+3=4x2n-1,

所以09=4x28-3=1021.

故选：A.

6.(5分)/XABC中，s讥$-8)=cos2A,则的取值范围是()

1111912

A.(-1，之)B.(可,力C.(2>可)D.⑦3)

【解答】解：由题意，sing-B)=cosB=cos2A,

在△ABC中，A,BE(0,IT),故2A=8或24+B=2TG

R

当24+B=2n时，/I4-j=7T,故A+8>n,不合要求，舍去，

所以2A=B,C=n-A-B=ir-A-2A=n-3A,

因为4,BE(0,K),所以2A€(0,ir),即46(0,分

因为C=n-3A£(0,n)»所以4e(0,卷,

ACABBC

由正弦定理得

sinBsinCsinA"

，AC-BC，—sinB-sinA,—sin2A-sinA,—2sinAcosA-sinA,2sinAcosA-sinA

ABsinCsin(n-3A')sin(2A+A)sin2AcosA+cos2AsinA

因为AW(0,IT),所以sinA#0,

AC-BC2cosA-l2cosA-l2cosA-l

故

AB2COS2A+COS2A4COS2A-1(2cosA-l)(2cosA+iy

因为AE(0,电，所以2cosA-1>0,

,,AC-BC1

故------=---------,

AB2COSA+1

因为46(0,亨)，所以cosAW1),2cosAG(1,2),2cosA+lG(2,3),

AC-BC111

故Lt------=---------€(一，-)•

AB2cos4+1T

故选：B.

42y2

7.(5分)己知椭圆后+瓦=l(a>b>0)的两焦点为为，放，x轴上方两点4,8在椭圆上，4a与8放

平行，AB交BF1于P.过P且倾斜角为a(aWO)的直线从上到下依次交椭圆于S,T.若|PS|=0|P71，

则“a为定值”是“B为定值”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不必要也不充分条件

【解答】解：不妨设M(X,y)为椭圆/+会=l(a>b>0)上的动点，c为椭圆的半焦距，

此时Fi(・c,0),

所以|MFJ=V(x+c)2+y2=J(x+c)2+炉(1-金

(x4-c)2+b2(l一韵=J冬+2cx=I。+润,

不妨设直线％x=-y,

则点M到直线1的距离为d=|x+能|,

所以

设直线的倾斜角为丫，过M作/的垂线，垂足为S,

X

此时叫2

\MFA\cosy+—■一c

ex成

所以IMF心

h2

不妨设P=—，

此时|M0|=ep

1—ecosy"

同理的1“尸21=讦斯,

设AQ的倾斜角为仇

可得%，眼初=并斯，

因为AQ"尸2,

田吃1l£z£l

所以=

LI一~\AP\

.,bt,,\BF2\IF2Pl尸2PlIF2Pl

\AF1\+\BF2\~\AP\+\F2P\~\AF2\"Za-IAF^

\BF\(2a-\AF\)

则F2Pl=2x

MZI+IBFzl'

|仍|(『附

同理,21)

I”=_iwnw",

2|FF2|X|/IF.|

所以同P|+|F〔P|=2a-wn+wr2a-ep,

詈=喈，短半轴长为3+02)2_次一。2

则P的轨迹为以A,尸2为焦点的椭圆，长半轴长为a

/y2

则P的轨迹方程为M+c?+a2-C2=1,其中y>0,

(aMyCt_\2

I2a，I2a/

nIPSy=(ys-yp)2=喷-A?

2'而F=(ys+yp)2=(答+1)2

a4+Za2c2+c4

因为a2H

4a2

所以IP鼎S不I2是定值'

即即B不是定值,

故“当a取定值，0是定值”不符合条件,

又直线盯的参数方程为修：煞然;

设S(AX)+/icosa»jo+fisina),T(Ax)+Z2cosa,>,o+Z2sina),

2

E、..（％o+tcosa）2（yo+tsina）

因为一我一十一记一二1'

整理得（啥+啥*+2（曙+誓）£+和军一1=0,

因为|PN=0|P7],

2（y十空得）

（1-«^2=一"丁了

（£os^a+stn^）

此时＜

奈绿T

-阳=（》•；$历

jocosa।功形或了

(1-0)2

整理得

(1-6)2

若B为定值，则为定值,

一40

^XQCOsaysina^

22tQ2

因r,小(1-6于)2kcosa+wsina=

xo.yo21

滔+k]

,x0cosaypsina.2

—^一始终为定值,

所以当P（刈，加）变化时,

222

.XQCOsay()sinay2Xgcosacosasina.yosina

_F—+2%oycQ2b2

岳警T)-

_2K2-2.2.2

X.[cos，a_bsma]+2%,cosasm。十bsma

.0d(a2+c2)200a2b24a2

庐h2

碍一

17]+-27-1

（。2+。2）2」4a

cos2ab2sin2ab2s讥2a

则Y-(Q2+C2)2"—『cosasina,

b2—T2----且----=0,但aKO,ae(0,n),

2___11a?匕"

a2(a2+c2)24Q2

解得a=去

所以(1-0)2_学)2_yo^.

——L^+M1

yp2___________

一29

学-1+“-3

但此时史绊随北2的变化而变化，不是定值，

-4p

则“当p取定值，a是定值”是错误的.

故选：D.

8.(5分)在同一平面直角坐标系中，P,。分别是函数/(x)=axex-In(ax')和g(%)=>"："图象上

的动点，若对任意。>0,有伊。|2机恒成立，则实数〃，的最大值为()

I—3[-f—V5

A.V3B.~\2C.V2D.一

22

【解答】解：因为点P,。分别是函数/(x)=axex-ln(ar)和g(x)=弛字口图象上的动点，

不妨设PCk,akek-In(ak)),(a,k>0),QCt,----------)♦(r>1)>

可得|PQF=(z-n2+[(成环—加(射))_21n(；-l)]2

[■型严+欧小一加(砒)一灯2

-2'

不妨设"(r)=t-2ln^~1\函数定义域为(1,+8),

可得〃⑴=-237(1)]=『产I),

不妨设〃⑺=产-令+2/〃(/-I),函数定义域为(1,+8),

可得u'(£)=2t-+£=2t(产-2/2)>0

(ifI(1)2

所以函数w(/)在定义域上单调递增，

因为〃(2)=0,

所以函数/?(力在f=2时取得极小值却最小值，

此时力(2)=2,

不妨设y(k)=akek-In(ak)-匕函数定义域为(0,+°°),

可得v'(k)=a(k+l')ek-—1=(k+l)(ae"—

易知函数、=Q4在区间(0,+8)上单调递增，

所以存在外>0,

-1

使得ae"。一而=0,

即那。=嬴

解得ko=-In(ako),

所以函数y(k)在.k=ko时取得极小值即最小值，

此时u(如)=1+Ax)-Ao=l>

则|PQF之色肛=参

解得|PQ|N岁，

因为对任意a>0,都杓恒成立，

所以mW挈，

即tn的最大值为^

故选：B.

二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.(5分)己知向量3=(1,3),b=(2%,2-x),其中xWR,下列说法正确的是()

A.若；1b,则x=6

B.若之与芯夹角为锐角，则％V6

C.若x=l,则；在了方向上投影向量为了

D.若同=4

【解答】解：2=(1,3),1=(2%,2-x),

若；_Lb,则；•b=2%+3(2-%)=0,解得x=6,故A正确；

若£与Z夹角为锐角，则％•1=2%+3〔2-％)>0,解得xV6,

2TA17T7TTT

又当％=,b=g,—),此时Q=,b,a与b夹角为0,

故X的取值范围为(-8,12)ug2,+8),故8错误;

若x=l,则b=(2,1),

TT—L

7ta*b2+3ltb2v5

因为a在b方向上投影为r-=—T=-=V5»与b同向的单位向量为=(—―

闻V5闻5

TTyfsbT

所以a在b方向上投影向量为r-=(2,1)=b,C正确;

闻

：a=(1,3),

：.\a\=Vl2+32=V10,故。错误.

故选：AC.

(多选)10.(5分)已知函数f(x)=xi+ax1+bx+c(«,b,cGR),则下列说法正确的是()

A.若函数/CO的图象关于点(1,/(I))中心对称，则a=-3

B.当c=0时，函数/(x)过原点的切线有且仅有两条

C.函数f(x)在［-1,1］上单调递减的充要条件是2。-623

D.若实数加，X2是/(X)的两个不同的极值点，且满足X1+X2=XLX2,则4>0或4V-6

【解答】解：A.函数/(x)=x3+axj2+/?x+c,f(x)=3x1+2ax+b,f(x)=6x+2a,

令/(x)=6x+2a=0,解得

•・•函数/(x)的图象关于点(1,/(D)中心对称，・・・一号=1,解得。=-3,因此A正确.

B.C=0时，原点(0,0)在函数/(.E)=/+纨2+6工的图象上，因此过原点有一条切线；

若切点不是原点时，设切点为尸(冲，f(xo))(刈声0),

则切线方程为y-(需+a就+/?xo)=(3就+2aw+。)(x-冲)，

把(0,0)代入可得：刈=一黑若。=0,则函数/(x)过原点的切线有且仅有一条；

若则函数/(x)过原点的切线有两条.因此B不正确.

C.函数f(x)在［-1,1］上单调递减u/(x)=31+2*+力=3(%+犷+〃一与=g(x)CO(不恒等

于0)在［-1,1］上恒成立，其对称轴为工=一号

(-IV<1

1—2vs-11

分类讨论:或.3或g(-l)=3-2a+/)<0=2a-623,

3-2a+b<0^g⑴=3+2a+b<0

、g⑴=3+2a+d<0

因此C正确.

D.f(x)=3』+2or+A由实数xi,X2是f(x)的两个不同的极值点，贝U△=4?-12方>0,即d-

3h>0.

,.2ab

.»Xl+X2=-丁,X\X2=g,

**X\+X2=X\X2f

A-y=1,化为b=・2d代入/-36>o,可得。2+6心0,解得心0或aV-6,因此。正确.

故选：ACD.

(多选)11.(5分)己知函数/(X)=2siru+|sin2x|,则()

A.f(x)的最小正周期为2n

B./(x)的图象关于％=*对称

C./(x)在［0,2狙上有四个零点

D./(x)的值域为［一2,孥］

【解答】解：对于A,函数y=2sinx的最小正周期为2m函数y=|sin2v|的最小正周期为半

所以函数/(x)=2sinx+|sin2r|的最小正周期为2TT,选项4正确；

对于B,f(-X+TT)=2sin(-X+H)+|sin2(-x+n)|=2sinx+|sin(-2x)|=2sinx+|sin2x|=/(x),

所以f(x)的图象关于直线x=%对称，选项8正确；

对于C,当0<x<5时，f(x)=2sinx+sin2r=2sinx+2situcosx=2siiu(1+cosx),易知此时/(x)有唯

一零点x=0;

当一<x<7T时，f(x)=2siar-sin2r=2sin.v-2sinxcosx=2sinx(1-cosx),易知此时f(x)有唯一零

点x=n；

当TTVXW当时，f(x)=2sinx+sin2K=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),易知此时/(x)无零点；

37r

当<x<2兀时，f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2siarcosx=2siitr(1-cosx),易知此时f(x)有唯一

零点X=2TT,

所以/(x)在［0,2m上有三个零点，选项C错误；

对于D,当％=半时，y=2sinx取得最小值-2,此时y=|sin2x|恰好取得最小值0,故/(x)的最小值

为-2；

由选项C的分析可知，当.诧(m2n］时，/(x)<0,当在［0,n］时，f(x)>0,而fCr)关于直线％=*对

称,

故可考虑0<x<当时，,f(x)=2sinx+sin2;v的取值情况，f(x)=2COS.¥+2COS2A=2(2COS2A--1)+2cosx

=4COS2X+2COSX-2,

令/(x)=0,解得cosx=-1(舍)或COST=｝则x=条

易知当ovxv*时，/(x)>0,/(x)单调递增，当时，/5)<0,/(x)单调递减,

所以此时，f(x)max—f急=2sin^+sin=V3+^=

综上，函数/G)的值域为［-2,等］.

故选：ABD.

(多选)12.(5分)已知抛物线C：丁=44，过焦点尸的直线/与。交于4(xi,ji),B(孙”)两点,

yi>2,E与尸关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是a与％则()

A.sina>tanpB./AEF=NBEFC.NAE8V90°D.aV20

【解答】解：作AO_Lx轴于O,作BC_Lx轴于C,

)?=4x的焦点尸(1,0),

因为yi>2,所以川>1,即a<90°,所以直线/的斜率存在设为A,

y=k(x—1)

可得直线/的方程为y=&(x-1),与抛物线方程联立

y2=4x

2

整理得必,-(29+4)x+必=0,所以xi+xa=,xix2=l,yl=4xi,

"kz尸

对于A,sina=**=37ptan0=|^4=37P所以sina=tan0,故4错误;

|/1F|XjT1|£/L/|XjTl

对于8,因为kAE=,k,BE=,

Xj+l欠2十人

所以…施+品=仁一”(潦蓝制"小)=kx2安小:1为、产=。

所以直线AE与BE的倾斜角互补，即故8正确;

对于C,因为xi>l,所以tan0=/二=皂鲁V垓r=1，即N4E£>V45°,

|匕L/|Xj-riXJTIcqx、

因为NAEr=NBEF,所以NAE8V90°,故。正确;

对于。，因为NAE8V90。，所以0°<2p<90°,

tana-幽一2-tanR-l^i-

tan。一尸D|一々一1，3»一但叫一勺-1'

2tanR二晶

2yl(巧+1)

所以tan2p=

1-〃俏?一百资(5)2'

力_2%(修+})=一2y妤1-2yl一力工「斗

所以tana-tan2p==<0,

M+「(4-1)2-(Xi-1)2-(Xi-1)2

所以tana<tan2P，即aV2B，故。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.(5分)(&%—y)5展开式中打的系数为-20(用数字作答)

【解答】解：gx-y)S的展开式的通项为Tr+1=吗(四为5f.(_y)r=.(一劫〃.好一，。

取厂=3得到A=C1(V2)2•(一1)3•x2y3=一20/y3

故答案为：-20.

14.(5分)已知某批零件的质量指标fl单位：亳米)服从正态分布N(25.40,。2),且尸(石225.45)

=0.1,现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值《不位于区间(25.35,25.45)

的产品件数，则。(X)=0.48.

【解答】解：由正态分布的对称性可知，P(25.35VfV25.45)=1-2P(-25.45)=1・02=0.8,

故1件产品的质量指标值f不位于区间(25.35,25.45)的概率P=0.2,

则X〜B(3,0.2),

故。(X)=3X0.2X(1-0.2)=0.48.

故答案为：0.48.

15.(5分)已知/(x)为奇函数，当尤(0,1J,/(x)=lnx,且/(%)关于直线x=1对称.设方程/(%)

=x+l的正数解为加，X2,…，X",且任意的胫N,总存在实数何，使得卬T+[-X〃|VM成立，则实数

M的最小值为2.

【解答】解：因为f(%)为奇函数，所以/(1=・/(-x),且f(0)=0,

又，(外关于直线X=1对称，所以，(1+外=/(1-X),

所以f(2+r)=f(-x)=-f(x),

则f(4+x)=-/(2+x)=f(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期因数，

作出函数)，=/(%)和y=x+l的图像如图所示：

由f(x)=x+l的正数解依次为XI,X2,•»Xn,

则2i7n(%n+l-f)的几何意义为函数/(%)两条渐近线之间的距离为2,

n->oo

所以Um(x-x)=2.

n-*oon+1n

所以得任意的〃£N,|x”+i-词V2,

已知任意的〃6N,总存在实数M,使得卬t+i-x〃|VM成立，

可得M22,即M的最小值为2.

故答案为：2.

16.(5分)在平面四边形ABCO中，ZADB=90°,ZABC=90°,BD=BC=2,沿对角线将△ABD

折起，使平面BDC,得到三棱锥A-BCD,则三棱锥4-BCD外接球表面积的最小值为

(2遮十2)，.

【解答】解：在平面四边形中，设NC8D=e(0<6<^),ZABD=^-0f

在RlZXAOB中，可得/朋。=6,AD=

iCulu

0n

在△8CO中，CO=2BCsin—=4sin^.

22

设△BC。外接圆圆心为M,外接圆半径为r,

由正弦定理可得2r=J七=4s,2@即r=二3.

sine2sinlcos^cos|cos*

设三棱锥4-BCD外接球球心为0,则OM_L平面BCD.

又•・•平面平面4QC,平面A。8G平面5OC=3£>,ZADB=90°,

，A£>_L平面B。。则AO〃OM,得四边形0MD4为直角梯形.

设外接球的半径为R在平面四边形OMOA中.过。作。用1人力于此

在△40。中，AO=DO=R,E为A。的中点，OM=OE=%Z)=高，

LICulU

由DO2=DE2+OE2,得R2=DE1+I2=+-4^,

tan2gcos2f

.p2_co/B2_co岸6+2-ZcosB_3-2cos8

,,sin201+cos61-COS261—cos2O"

令3-2cos0=f,l</<3,则cos8=竽，

：.R2=-1+—=-1+———,

—5+6t—(t+1)+6

•；什卜2代,当且仅当/=",即/=通时(满足1VY3)等号成立.

，外接球表面积的最小值为4TTR2=4兀x缘i=（2A/5+2）71.

故答案为：（26+2）TT.

A

E……/K

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列｛如｝的各项均为正数，前"项和为S“，且满足又=（竽/.

⑴求an；

（2）设1=*―匚E设数列｛瓦｝的前〃项和为若与工CnV:对一物〃WN*恒成立，求

（即十D（an+1十U45

实数机的取值范围.

【解答】解：（1）当〃=1时，出=S：=（町；1）2,/.67|=1,

当〃22时，an=Sn-Sn_i=（^2±1）2_（。*+1）2=成-限号（即*］）,

即磷—W―1—2（册+Qn-l）=°，：•（an+an1）Can-an\-2）=0>

由已知，数列｛a“｝各项均为正数得9・a〃一1=2,

・•・("”｝是首项为1,公差为2的等差数列，，a“=2〃-l；

(2)由(1)知,an=2n-1,

则匕=(Qn+I)(a〃+1+1)=2n(2n+2)=4(元-n+1)，

•»T=J(1-J+J+...+L---^77)=7(1TT)=4/2i、，

n4v223nn+r4、n+174(n+l)

.TT_n+1n_1

••O+i-in-4(n+2)―4(n+l)—45+1)5+2)々必

・,・{%}单调递增，；・7；271=看

nil1

Vrn=40H4)<4*

LV组

5

^Z21，解得:w?nv|.

(-3一

5

-

所以实数m4/

sinQ4-£)_sin(/l-C)

18.(12分)记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,=

仁川cosBzcosCz

(1)求证：B=C；

(2)若asinC=2,求f+77的最大值.

sin(4-B)sin(A-C')sinAcosB-cosAsinBsinAcosC-cosAsinC

【解答】解：(1)证明：由于，所以

cosBcosCcosBcosC

整理的cos4(sinBcosC-cosSsinC)=0,即cosAsin(B-C)=0,

因为A为锐角，所以cosA>0,

故sin(B-C)=0,由B,。为锐角可得B=C；

(2)由<1)得b=c,

因为〃sinC=2,且由正弦定理得asinC=csinA=bsinA=asinB=2f

所以Q=嬴，b=J^Af

111,1?1j11-COS2B

则-7+yr=-(sinA+sin7B)=-[sin25+sin7(B+C)1=-[sin725+sin2B]=-(-------