2024年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷附答案解析

2024年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。

1.（3分）下列各数中最小的是（）

A.-1B.-2C.0D.y/3

2.（3分）下列四个图形中，是中心对称图形,但不是轴对称图形的是（）

工

万

3.（3分）下列运算正确的是（）

AA.m2•/?:3=/«6B.2m+3n=5mn

C.（-mV）2=-mVD.m84-/n2=m6

4.（3分）下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体,它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是

（）

/正面主视图

nE■

5.（3分）正八边形力BCQEFGH如图所示，4c与8”交于点O,则N//O。的度数为（)

AB

H

A.135°B.120°C.110°D.100°

6.（3分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上

6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x

人，则可列方程为（）

1040

A.10x=40（x+6）B.---=一

x-6X

1040

C.—=-----D.10（x+6）=40%

xx+60

7.（3分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对•从中随机抽取的

20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册12345

人数/人25742

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A.3,3B.3,7C.2,7D.7,3

8.（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在

液体中的高度力Cem）是液体的密度p（g/c/）的反比例函数，其图象如图所示（p>0）.下列说法正

确的是（）

A.当液体密度p21g/c“3时，浸在液体中的高度力220c7%

B.当液体密度p=2g/o/时，浸在液体中的高度力=40cm

C.当浸在液体中的高度0V人W25cm时，该液体的密度p20.8g/cm3

D.当液体的密度OVpW/g/c/时，浸在液体中的高度/?W20c〃?

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.（3分）利用量子模拟器将原子尽可能紧密地排列在一起，有助科学家探索奇异物质状态，构建新型量

子材料.据最新一期《科学》杂志介绍,研究人员已开发出••种技术,可以将原子排列间隔缩小到原来

1

的77,相距仅50纳米.50纳米用科学记数法表示是米.

10.（3分）计算：（g+6）xJ|=.

11.（3分）甲、乙两射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是8,8,8,9,8,9,10,9,9,9,乙的

成绩如图所示.则甲、乙射击成绩的方差之间关系是S北______氏（填“V”，"=

12.（3分）如图，以、P8是。。的切线，4、8为切点，点C、。在。O上.若NP=100°,则N4+NC

13.（3分）如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面史角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”A,B两点的坐

标分别为（-3,2）,（3,2）,则蝴蝶“翅膀尾部”点C的坐标为

14.（3分）若关于x的一元二次方程-2r+l=0有实数根，则m的取值范围是.

15.（3分）如图，在△ABC中，以BC为直径的。0,交AB的延长线于点D,交AC于点E,连接OD,

OE.若。。的半径为1,NA=a,则用含a的代数式表示弧OE的长度为

A

E

16.（3分）如图，矩形4B8中，AB=6,BC=8,点E、/分别是边AB、BC上的动点，在运动过程中

始终保持AE=CF,连接ER取E尸中点G,连接AG,则AG的最小值是.

三、作图题（本题满分4分）

17.（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示，现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在

8c边上，且面积最大.

请你在图中画出这个半圆形花坛.

18.（8分）（1）化简：（Q+网史）

al-a£

（x+5>4

（2）解不等式组；3x+l，并求出它的所有整数解.

z>2x-l

19.（6分）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转

盘（转盘被平均分成3份）的机会.为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：

方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；

方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品.（若指针指向分界线，则

重转）

（1）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为；

（2）若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；

（3）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由.

20.（6分）如图，一艘海轮位于灯塔户的北偏东66°方向，距离灯塔80海里的4处，它沿正南方向航行

一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

（结果精确到0.1海里

参考数据：sin66°«cos66°«tan66°«V2»1.41

北

21.（6分）为更好推动数字化教育，某校组织七、八年级的学生开展为期五天的信息素养提升实践活动,

计划开设五场主题活动.为了解学生的活动意向，学校在七、八年级各随机抽取40名同学进行问卷调

查（调查问卷如图，所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图

（均不完整）.

信息素养提升实践活动意向调查问

卷请在下列选项中选择一项活动意

向，并在其后“口”内打J（每位

同学必须且只能选择其中一项）.

A.创意编程口

B.30创念设计口

C.智能博物口

D.电脑绘图口

E.优创未来口

□七年级□八年级

图1图2

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图和扇形统计图空缺的部分；

（2）已知该校七、八年级学生共有1000人参加本次实践活动（每人只参加一场主题活动），活动地点

安排在两个多功能厅，学校根据调查结果给出五场主题活动的具体时间和地点的预案，其中主题活动C,

。的时间和地点已确定，请你合理安排A,B,E三场活动的时间和地点，补全活动安排表格（写出一

种方案即可），并说明理由.

时间星期一星期二星期三星期四星期五

地点南院多功能厅北院多功能厅南院多功能厅北院多功能厅北院多功能厅

（容纳350人）（容纳160人）（容纳350人）(容纳160A)（容纳160人）

主题一CD

22.（6分）间读下列材料并完成相应的任务.

阅读思考：四边形的中位线

我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线.如图1,在

四边形ABCO中，设ABVCO,A8与CO不平行，E,尸分别为AO,的中点，则有结论：|（CD-AB）

1

<EF<-(CD+AB)

图1图2

这个结论可以用下面的方法证明:

方法一：如图2,连接AC,取AC的中点M,连接ME,MF

•二点£点M分别是人力和AC的中点，

:.ME"CD.且=

同理：M尸〃A8,且MF=*A8.

•:ABVCD,：.MF<ME.

在△ME/7中，ME-MF<EF<MEE+MF.

11

即=.(CD-AB)<EF<1(CD+AB)

自主探究：请将方法二的证明过程补充完整；

方法二：如图3,连接4F并延长至点G,使FG=AF,连接CG,DG,

尝试应用：

如图4,在五边形ABCZ)七中，AE//CD,AB=AE=6,NA=120°,8=4,若点凡G分别是边8C,

OE的中点，则线段尸G长的取值范围是.

23.(8分)今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A,8两种跑鞋共80双

进行销售.已知9000元全部购进B种泡鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍.4种跑鞋的进价比8

种跑鞋的进价每双多150元，A,3两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元.

(1)求44两种跑鞋的进价分别是多少元？

(2)该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的|,销售时对8

种跑鞋每双降价25%出售.若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？

24.(8分)如图，在平行四边形A8CO中，点E是对角线BO上的一点，过点C作C/〃80,且CF=DE,

连接A£,BF、EF.

(1)求证：AAOEg

(2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形A8FE的形状，并证明你的结论.

条件①：NBFC-NABE=90°；

条件②：AF=F.F-

条件③：连接AF,AF±BD.

（注：如果选择条件①，条件②，条件③分别进行了解答，按第一个解答计分）

己知：（填写序号）

25.（8分）小明用相同的圆点按照一定的规律拼摆图案，图案由符合规律的图形组成.

图形序号n（号）012345

圆点总数m（个）01361015

（1）请你依据学习经验，将点（小加）绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线连接各点，根据图

象，你发现，机与〃之间的关系可能满足我们所学过的函数.（选填“一次”、“二次”、“反

比例”）

（2）请结合数据和图象，求m与〃之间函数关系的表达式，并写出自变量〃的取值范围；

0567890n/号

26.(12分)已知：如图，在△ABC中，ADLBC,AD=3cm,CD=4cm,8。=6c7”，将△ABD沿8c方

向匀速运动得到A4Aif)i,已知△A8D平移速度为卜切/$,AA分别与AD,AC相交于£G,Aih与

AC相交于尸，设运动时间为1(s)(0</<4).

解答下列问题：

(1)连接A4i,在运动过程中，是否存在某一时刻力使四边形AAl。。是正方形？若存在，请直接写

出，的值；若不存在，请说明理由；

(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，，使4E_LEQi?若存在，求f的值；若不存在，请说明理由：

2024年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。

1.（3分）下列各数中最小的是（）

A.-1B.C.0D.V5

【解答】解：•・•・1

・•・最小的数是：

故选:A.

2.（3分）下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

【解答】解：A.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意;

B.该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意：

C.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意;

D.该图形是轴对称图形，不是中心市称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.m2.m3=用6B.2m+3n=5mn

C.（-zn2n3）2=-/n4n6D./n8-i-/n2=m6

【解答】解：A、m2•〃户=〃孔故该项不正确，不符合题意；

B、2m与3〃不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意;

C、（-wV）2=机4〃6,故该项不正确，不符合题意；

D、/w8-r/w2=m6,故该项正确，符合题意;

故选：D.

4.（3分）下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是

（）

故选：A.

5.（3分）正八边形ABCDEFG”如图所示，AC与交于点0,则/"0C的度数为（）

t解答】解：.・"多边形ABCDE/P”是正八边形，

:"HAB=4ABC=（8-2918。°=[35°,AH=AB=BC,

/.ZAHB=ZABH=ZBAC=ZBCA=1800~135＜，=22.5°,

/.ZA0B=180°-22.5°-22.5°=135°,

故选：A.

6.（3分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元线，每人分得若干，若再加上

6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x

人，则可列方程为（）

1040

A.10x=40（x+6）B.——=—

x-6x

1040

D.10(x+6)=40%

xx+60

【解答】解：设第二次分钱的人数为“人，则第一次分钱的人数为（x-6）人,

故选：B.

7.（3分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的

20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册12345

人数/人25742

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A.3,3B.3,7C.2,7D.7,3

3+3

【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为二一=3（册），

故选：A.

8.（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在

液体中的高度（cm）是液体的密度p（g/s，）的反比例函数，其图象如图所示（p>0）.下列说法正

确的是（）

h(cm)

A.当液体密度疝时，浸在液体中的高度/?220cm

B.当液体密度p=2g/,〃3时，浸在液体中的高度力=40cm

C.当浸在液体中的高度0V力W25c机时，该液体的密度p20.8g心〃3

D.当液体的密度OVpW/g/aP时，浸在液体中的高度〃W20c〃?

【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：

A、当液体密度p21g/c/时，浸在液体中的高度"W20cm,故原说法错误，不符合题意；

B、当液体密度p=2g/c/时，浸在液体中的高度〃=10cm,故原说法错误，不符合题意；,

C、当浸在液体中的高度0V力W25。〃时，该液体的密度p20.8g/cm3,正确，符合题意；

D、当液体的密度OVpW，g/a/时，浸在液体中的高度〃220cm,故原说法错误，不符合题意；,

故选：C.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.（3分）利用量子模拟器将原子尽可能紧密地排列在一起，有助科学家探索奇异物质状态，构建新型量

子材料.据最新一期《科学》杂志介绍，研究人员已开发出一种技术，可以将原子排列间隔缩小到原来

的土，相距仅50纳米.50纳米用科学记数法表示是5X102米.

10-------------------

【解答】解：50纳米=50X1。"米=5X10-8米

故答案为：5X10-8

10.（3分）计算：（g+n）x电=3值+3.

【解答】解：（旧+遍）xJ|

=V27+V9

=3V3+3,

故答案为：35/3+3.

11.（3分）甲、乙两射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是8,8,8,9,8,9,10,9,9,9,乙的

成绩如图所示.则甲、乙射击成绩的方差之间关系是S；,<S：（填“V”，"=

【解答】解：甲成绩的平均数为工X(4X8+5X9+10)=8.7,

10

则方程S]=^x[4X(8-8.7)2+5X(9-8.7)2+(10-8.7)2]=0.41,

由折线统计图知，乙的成绩为7、7、7、8、8、9、9、10、10、10,

所以乙成绩的平均数为二X(3X7+2X8+2X9+3X10)=8.5,

10

则方差S：=^x[3X(7-8.5)2+2X(8-8.5)2+2X(9-8.5)2+3X(10-8.5)2]=1.45；

：S■甲VS%.

故答案为：V.

12.（3分）如图.PA.PA是0。的切线,A、R为切点，点C、力在0O卜.若/P=IOO°,则/A+/。

：.RA=PB,

VZP=100°,

/.ZB4B=ZPBA=1（180°-100°;=40°,

VZDAB+ZC=180°,

AZB4D+ZC=ZMB+ZDAB+ZC=180°+40°=220°,

故答案为：220°.

13.（3分）如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”A,B两点的坐

标分别为（-3,2）,（3,2）,则蝴蝶“翅膀尾部”点C的坐标为（-1,-2）

【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（-1,-2）,

故答案为：（-1,-2）.

14.（3分）若关于x的一元二次方程（皿+1）/-2x+l=0有实数根，则〃?的取值范围是mWO且mr

-1

【解答】解：由题意得，△=（-2）2・4X120且m+IWO,

解得〃?W0且mr-1.

故答案为：〃?W0且小#-I.

15.（3分）如图，在△4BC中，以8C为直径的。0,交48的延长线于点D,交AC于点E,连接。。,

90-a

0E.若OO的半径为1,NA=a,则用含a的代数式表示弧。石的长度为------------TT

90-

【解答】解：VZOBD=ZA+ZC=a+ZC,OB=OD,

・・・NO=NO8O=a+NC,

/.ZBOD=180n-2(a+ZC)=180A-2a-2ZC,

■:/B0E=2/C,

：.ZDOE=ZBOD+ZBOE=1800-2a-2ZC+2ZC=180°-2a,

(180-2a)7rxl90-a

工弧OE的长度为-------------=------TT

18090

故答案为：吟

16.（3分）如图，矩形ABC。中，AB=6,BC=8,点E、尸分别是边AB、8C上的动点，在运动过程中

7>/2

始终保持4E=CR连接EF,取EF中点G,连接AG,则AG的最小值是

2

【解答】解：取8”中点H,连接GH,

•・•四边形A8CO是矩形，

AZB=90o,

•；G是FE中点,

・・・G”是aEB/的中位线，

:,HG〃BF,HG=*F,

设AE=CF=x,

・W=8-x,

：•G7/=4-

•:BE=6-x

：.BH=聂E=3-%，

，AH=6-(3-=3+^x,

•・，AG=7AH2+UH=Jl(%-1)2+^

•••AGzJ^=孥,

JAG的最小值是当.

三、作图题（本题满分4分）

17.（4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示，现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在

8c边上，且面积最大.

请你在图中画出这个半圆形花坛.

四、解答题（本题满分68分，共有9道小题）

18.（8分）（1）化简：（a+的土与乂子一；

al-az

x+5>4

（2）解不等式组；3x4-1，并求出它的所有整数解.

>2x-l

Z

【解答】解：（1）（。+等）x恐

=Q2+2Q+1_____E_____

a（l+a）（l-a）

二（a+l）2.，

a（l+a）（l-a）

a+1

=宜；

x+5>4①

（2）—_,

>2x-l②

解不等式①，得：x>-1,

解不等式②，得：xW3,

・•・该不等式组的解集是-1V«W3,

・•・该不等式组的所有整数解是0,1,2,3.

19.（6分）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转

盘（转盘被平均分成3份）的机会.为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：

方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；

方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品.（若指针指向分界线，则

重转）

（1）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为:；

（2）若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；

（3）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由.

1

【解答】解：（1）•・•转动转盘一次，指针指向数字1的概率为3

・••转动转盘一次，领取到一份奖品的概率为;.

故答案为：

（2）画树状图如下：

转第二次123123123

两数之和234345456

共有9种等可能的结果.

（3）会选择方案二.

理由：由（2）可知，方案二中,共有9种等可能的结果，其中两次指针指向的数字之和为奇数的结果

有4种，

4

・,・方案二中，领取到一份奖品的概率为J,

41

V->一，

93

，选择方案二.

20.（6分）如图，一艘海轮位于灯塔尸的北偏东66°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行

一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

（结果精确到0.1海里.）

Qoq-

参考数据：sin660*而，cos66°*宁tan66°b,,V2«1.41

由题意得：PCLAB,DP//AB,

AZDM=ZA=66°,NEPB=N8=45°,

在Rtz2k4CP中，AP=80海里，

Q

：,PC=AP^in66°弋80xm=72（海里），

在Rl^PCB中，BP=左诲=《=72企到01.5（海里），

sin^bvz

T

，这时海轮所在的B处距离灯塔尸约有101.5海里.

21.（6分）为更好推动数字化教育，某校组织七、八年级的学生开展为期五天的信息素养提升实践活动,

计划开设五场主题活动.为了解学生的活动意向，学校在七、八年级各随机抽取40名同学进行问卷调

查（调查问卷如图，所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图

（均不完整）.

信息素养提升实践活动意向调查问

卷请在下列选项中选择一项活动意

向，并在其后“口”内打J（每位

同学必须且只能选择其中一项）.

4.创意编程口

B.3。创念设计口

C.智能博物口

D.电脑绘图口

E.优创未来口

活动意向调查结果统计图七、八年级学生活动意向分布情况统计图

人数

12----------------r—n—1-----------1—r

10

8—n----------------------

6------r-n-]-------pi-----

4—I—r------------------

2L

主芸、-------/》

ABCDE3

□七年级□八年级

请根据统计图提供的信息，解答下列问题:

（1）补全条形统计图和扇形统计图空缺的部分;

（2）已知该校七、八年级学生共有1000人参加本次实践活动（每人只参加一场主题活动），活动地点

安排在两个多功能厅，学校根据调查结果给出五场主题活动的具体时间和地点的预案，其中主题活动C,

。的时间和地点已确定，请你合理安排A,B,E三场活动的时间和地点，补全活动安排表格（写出一

种方案即可）,并说明理由.

时间星期一星期二星期三星期四星期五

地点南院多功能厅北院多功能厅南院多功能厅北院多功能厅北院多功能厅

（容纳350人）（容纳160人）（容纳350人）（容纳160人）（容纳160人）

主题EACBD

【解答】解：⑴八年级E主题的人数为40-8-6-12-2=12（人）.

6+612+12

扇形统计图中8的百分比为诉如。°%=15%'C的百分比为诉xl00%=3。％,E的百分比为

12+12

----------xl00%=30%.

40+40

补全条形统计图和扇形统计图分别如图1、图2所示.

□七年级□八年级

图1图2

（2）补全活动安排表格如下:

时间星期一星期二星期三星期四星期五

地点南院多功能厅北院多功能厅南院多功能厅北院多功能厅北院多功能厅

（容纳350人）（容纳160人）（容纳350人）（容纳160人）（容纳160人）

主题EACBD

或

时间星期一星期二星期三星期四星期五

地点南院多功能厅北院多功能厅南院多功能厅北院多功能厅北院多功能厅

（容纳350人）（容纳160A）（容纳350人）（容纳160人）（容纳160人）

主题EBCAD

理由：估计参加主题活动A的人数约为1000X15%=150（人），

估计参加主题活动«的人数约为I000X15%=150（人），

估计参加主题活动£的人数约为1000X30%=300（人），

，主题活动E只能安排在南院多功能厅星期一进行，主题活动4安排在北院多功能厅星期二进行，主

题活动B安排在北院多功能厅星期四进行，或主题活动4安排在北院多功能厅星期四进行，主题活动B

安排在北院多功能厅星期二进行.

22.（6分）间读下列材料并完成相应的任务.

阅读思考：四边形的中位线

我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线.如图1,在

四边形A8CD中，设4BVCD,48与CO不平行，E,尸分别为AD,8。的中点，则有结论：!（CD-AB）

1

<EF<-(CD+AB)

图1图2

这个结论可以用下面的方法证明：

方法一：如图2,连接AC,取AC的中点M,连接ME,MF

•・•点E,点M分别是4。和4c的中点，

：,ME//CD.且=

同理：MF//AB,且=

■:ABVCD,：.MF<ME.

在AMEF中，ME-MF<EF<MEE+MF.

11

即二1(CD-AB)<EF(CD+AB)

自主探究：请将方法二的证明过程补充完整；

方法二：如图3,连接AF并延长至点G,使FG=AA连接CG,DG,

如图4,在五边形4BCOE中，AE//CD.AB=AE=f>,NA=120°,CD=4,若点凡G分别是边BC,

OE的中点，则线段尸G长的取值范围是36-2<FG<3而+2.

【解答】自主探究：证明：・・/G=A尸，AE=DE,

:・EF〃DG,DG=2EF,

•:FB=FC,NAFB=/GFC,

：.AAFB^AGFC(SAS),

,CG=AB,

在/\OCG中.CD-CG<DG<CD+CG,

11

即5(CO-AB)<EF<-(CD4-AB)；

尝试应用：解：连接BE,作于”，如图:

9：AB=AE,ZBAE=\20°,

，”是BE中点，ZAEH=30°,

••・A〃=/A£=3,EII=y/3AH=3>/3,

:・BE=2EH=63

•・•尸是BC中点，G是OE中点，

1I

A-（BE-CD）<FG<4（BE+CD）,

22

即3V3-2<FG<3V3+2.

故答案为：3V3-2<FG<3V3+2.

23.（8分）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A,8两种跑鞋共80双

进行销售.已知9000元全部购进8种泡鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍，A种跑鞋的进价比B

种跑鞋的进价每双多150元，A,8两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元.

（1）求A,6两种跑鞋的进价分别是多少元？

（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进4种跑鞋的数量不多于8种跑鞋的|,销售时对8

种跑鞋每双降价25%出售.若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双8种跑鞋的进价是（x・150）元.

根据题意，得"嘿；=L5x噌，

x-150x

解得x=450,

经检验，x=450是所列分式方程的根，

450-150=300（元），

・♦.每双4种跑鞋的进价是450元，每双B种跑鞋的进价是300元.

（2）设购进4种跑鞋。双，则购进8种跑鞋（80-a）双.

根据题意，得，区,（80-a）,

解得。<32.

设这批跑鞋全部售完获利W元，则W=（550-450）«+[500X（1-25%）-300]（80・a）=25a+6000,

V25>0,

・・・W随。的增大而增大，

•・・aW32,

.••当a=32时，W值最大，卬堀大=25X32+6000=6800,此时购进8种跑鞋80-32=48（双），

・•・购进A种跑鞋32双、B种跑鞋48双才能获利最大，最大利润是6800元.

24.（8分）如图，在平行四边形4BCO中，点E是对角线3。上的一点，过点C作。尸〃8D,且C尸=£）E,

连接AE,8尸、EF.

（1）求证：△4OE丝。

（2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形4BFE的形状，并证明你的结论.

条件①：ZBFC-ZABE=90°；

条件②：AE=EF；

条件③：连接4F，AF1BD.

（注：如果选择条件①，条件②，条件③分别进行了解答，按第一个解答计分）

已知：①或②或③（填写序号）

【解答】（1）证明：•・•四边形ABCO为平行四边形,

：.\D=BC,AD//BC,

:"ADE=NCBD,

*：CF//BDf

:・/BCF=NCBD,

:・/ADE=NBCF,

在△AOE和OZXBCF中

AD=BC

£ADE=乙BCF,

CF=DE

:.RADEmRBCF(SAS)；

(2)解：已知①，四边形48FE为矩形，证明如下:

,:CF〃BD,KCF=DE,

・•・四边形CDE尸为平行四边形，

J.CD//EF,CD=EF,

•・•四边形ABC。为平行四边形，

C.CD//AB,CD=ABf

:.EF//AB,EF=AB,

・•・四边形为平行四边形，

由(1)可知：MADEmXBCF,

:・NBFC=NAED,

又丁ZAED=^BAE+ZABE,

/.ZBFC=ZBAE+ZABEt

*：ABFC-ZAB£=90°,

：.ZBAE+ZABE-ZABE=90°,

即NR4E=90°,

・•・平行四边形ABFE为矩形；

已知②，四边形ABFE为菱形，证明如下：

,:CF〃BD,KCF=DE,

・•・四边形CQE尸为平行四边形，

J.CD//EF,CD=EF,

•・•四边形ABCD为平行四边形，

：.CD//AB,CD=AB,

：.EF//AB,EF=AB,

・・・四边形A8FE为平行四边形，

,:AE=EF,

•・•平行四边形A8FE为菱形；

已知③，四边形48叫为菱形，证明如下:

,:CF〃BD,CF=DE,

・•・四边形67）7?尸为平行四边形.

:・CD〃EF,CD=EF,

•・•四边形ABCD为平行四边形，

：.CD//AB,CD=AB,

:.EF//AB,EF=ABt

・•・四边形48FE为平行四边形，

•:AF1BD,

•・•平行四边形A8FE为菱形.

故答案为：①或②或③.

25.（8分）小明用相同的圆点按照一定的规律拼摆图案，图案由符合规律的图形组成.

图形序号〃（号）012345……

圆点总数m（个）01361015……

（1）请你依据学习经验，将点（〃、，〃）绘制在平面直角坐标系中，并用平滑