2023年香港大湾杯八年级竞赛决赛数学试卷

2023年香港大湾杯初二竞赛决赛数学试卷一、甲部：第1至10題（每題4分）甲部：第1至10题（每题4分）SectionA:1stto10thQuestion(Eachcarries4marks)1、【来源】求2000位數20232023⋯2023除以7時的餘數．求2000位数20232023⋯2023除以7时的余数．Findtheremainderof2000-digitnumber20232023⋯2023dividedby7.2、【来源】求正整數n的數量使得n2+2023被求正整数n的数量使得n2+2023被Findthenumberofallpositiveintegersnsuchthatn2+2023isdivisibleby3、【来源】求2023求2023Findthevalueof20234、【来源】已知正整數N被2023除時餘數為2019．求N被289除的餘數．已知正整数N被2023除时余数为2019．求N被289除的余数．GiventheremainderofpositiveintegerNdividedby2023is2019.FindtheremainderofNdividedby289.5、【来源】ABCD為邊長16的正方形．若M、N、O和P為ABCD上的點使得MNOP為正方形，求MNOP面積的最小值．ABCD为边长16的正方形．若M、N、O和P为ABCD上的点使得MNOP为正方形，求MNOP面积的最小值．ABCDisasquarewithsidelength16.IfM,N,OandParethepointslyingonthesidesofABCDsuchthatMNOPisasquare,findthesmallestareaofMNOP.6、【来源】假設a為合成數，p和q為質數使得5a−p=q，且p>q．求q的最小可能值．假设a为合成数，p和q为质数使得5a−p=q，且p>q．求q的最小可能值．Supposeaisacompositenumber,pandqareprimenumberssuchthat5a−p=q,andp>q.Findthesmallestpossiblevalueofq.7、【来源】若三角形的三邊為45、60和75，求三角形三個高之和．若三角形的三边为45、60和75，求三角形三个高之和．Ifthethreesidesofatriangleare45,60and75,findthesumofthreealtitudesofthetriangle.8、【来源】求方程x3求方程x3Findthenumberofintegralsolutionsofx3求剛好有3個因數的兩位數的數量．求刚好有3个因子的两位数的数量．Findthenumberof2-digitnumber(s)suchthatthenumberhasexactly3factors.10、【来源】求方程x+y+z=24的解的數量，當中正整數x、y與z大於3．求方程x+y+z=24的解的数量，当中正整数x、y与z大于3．Findthenumberofsolution(s)ofx+y+z=24forpositiveintegersx,yandzgreaterthan3.二、乙部：第11至20題（每題5分）乙部：第11至20题（每题5分）SectionB:11thto20thQuestion(Eachcarries5marks)11、【来源】求3336除以求3336除以Findtheremainderof3336dividedby12、【来源】若直角三角形的周界和面積分別為70和105，求三角形斜邊的長度．若直角三角形的周界和面积分别为70和105，求三角形斜边的长度．Iftheperimeterandtheareaofaright-angledtriangleare70and105respectively,findthelengthofthehypotenuseofthetriangle.13、【来源】若長方形的面積和對角線為188和182若长方形的面积和对角线为188和182Iftheareaandthediagonalofarectangleare188and18214、【来源】若(a2−11a+29若(a2−11a+29If(a2−11a+2915、【来源】投擲4顆六面骰子，請問其骰子面熟字總和為12的機率是多少？投掷4颗六面骰子，请问其骰子面数字总和为12的机率是多少？Whatistheprobabilityofrollingasumof12with4six-sideddices?16、【来源】定義n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1，若2023!能被2k整除，求正整數k定义n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1，若2023!能被2k整除，求正整数kDefinen!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1,if2023!isdivisibleby2k,findthemaximumpossiblevalueofpositiveintegerk17、【来源】定義n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1．已知(p−1)!除以質數p的餘數為p−1，求28!除以31的餘數．定义n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1．已知(p−1)!除以质数p的余数为p−1，求28!除以31的余数．Definen!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1.Giventhattheremainderof(p−1)!dividedbyaprimenumberpis(p−1).Findtheremainderof28!dividedby31.18、【来源】求最小正整數n使得13+2求最小正整数n使得13+2Findthesmallestpositiveintegernsuchthat13+219、【来源】已知正整數x、y及z使得xyz+xy+xz+yz+x+y+z=428,求x+y+z的值．已知正整数x、y及z使得xyz+xy+xz+yz+x+y+z=428,求x+y+z的值．Givenpositiveintegersx,yandzsatisfyxyz+xy+xz+yz+x+y+z=428，findthevalueofx+y+z.20、【来源】若x、y和z為正整數使得x3+2y若x、y和z为正整数使得x3+2yIfx,yandzarepositiveintegerssuchthax3+2y三、丙部：第21至30題（每題6分）丙部：第21至30题（每题6分）SectionC:21stto30thQuestion(Eachcarries6marks)21、【来源】平面上方程3x2−1219x−2023=0的曲線被平移向右3單位而成方程ax2+bx+c=0的曲線，當中a、平面上方程3x2−1219x−2023=0的曲线被平移向右3单位而成方程ax2+bx+c=0的曲线，当中a、Thecurveofequation3x2−1219x−2023=0onthecoordinateplateisshiftedby3unittotherighttoobtainthecurveofequationax2+bx+c=0forrealnumbera,22、【来源】若a、b為正整數使得a2和b3的最小公倍數為2700，求若a、b为正整数使得a2和b3的最小公倍数为2700，求Ifa,barepositiveintegerssuchthattheLeastCommonMultiple(L.C.M.)ofa2andb3is2700,findthesumofallpossiblevalue(s)of23、【来源】對於所有正整數n，S(n)為n的數位和．定義n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1，求S(S(S(2023!)))的值．对于所有正整数n，S(n)为n的数位和．定义n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1，求S(S(S(2023!)))的值．LetS(n)denotesthesumofalldigitsinnforallpositiveintegersn.Definen!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1,findthevalueofS(S(S(2023!))).24、【来源】求2023求2023Findthelasttwodigitsof202325、【来源】已知對ΔABC，AB=BC=85且AC=80．求△已知对ΔABC，AB=BC=85且AC=80．求△For△ABC.AB=BC=85andAC=80.Findtheradiusoftheinscribedcircleof△26、【来源】求x3求x3Findthesumofallrealrootsofx327、【来源】求20232022+202求20232022+202Findtheremainderof20232022+20228、【来源】對正整數a與b，求a的所有可能值之和使得1a对正整数a与b，求a的所有可能值之和使得1aForpositiveintegersaandb,findthesumofallpossiblevalue(s)ofasuchthat1a29、【来源】對正整數n，整数d為n的末值且整數k滿足n=10k+d．求最小正整數m使得若n能被29整除，mk+6d能被29整除．对正整数n，整数d为n的末值且整数k满足n=10k+d．求最小正整数m使得若n能被29整除，mk+6d能被29整除．Forpositiveintegern,integerdisthelastdigitofnandintegerksatisfiesn=10k+d.Findthesmallestpositiveintegermsuchthatifnisdivisibleby29,mk+6disdivisibleby29.30、【来源】對正整數a和b使得23a+29b=2023，求a2对正整数a和b使得23a+29b=2023，求a2Forpositiveintegersaandbsatisfy23a+29b=2023,findthemaximumvalueofa21、【答案】0;【解析】2023≡0【标注】2、【答案】15;【解析】n∴n+1>1∵∵2024=∴∴(3+1)×(1+1)×(1+1)−1=15【标注】3、【答案】1;【解析】a=202320234+20232+14、【答案】285;【解析】N≡2019(mod2023)⇒N=2023k+2019∴N≡2023k+2019≡289×7k+2019≡2019≡285(mod289)【标注】5、【答案】128;【解析】1【标注】6、【答案】2;【解析】a=9=3×3【标注】7、【答案】141;【解析】∵4∴1⇒ℎ=45×6075【标注】8、【答案】6;【解析】x⇒0≤x3≤199【标注】9、【答案】2;【解析】N=10≤N≤100⇒3<p<10⇒p=5/7∴2【标注】10、【答案】91;【解析】x+y+z=24⇒(x−3)+(y−3)+(z−3)=15∴【标注】11、【答案】666;【解析】333【标注】12、【答案】32;【解析】a+b+c=70ab2=105a2+b2=c13、【答案】64;【解析】ab=188【标注】14、【答案】20;【解析】a【标注】15、【答案】125;【解析】C【标注】16、【答案】2014;【解析】2023【标注】17、【答案】18;【解析】N=28!30×29×N≡30(mod31)29×N≡1(mod31)(−2)×N≡−30(mod31)N≡15(mod31)【标注】18、【答案】34;【解析】1⇒n2(n+1)2∴k4:7|nand17|(n+1)⇒7|(17k−1)⇒7|(3k−1)∴k∴n【标注】19、【答案】24;【解析】(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1=428+1=42