2024年广东省深圳市福田区福田外国语教育集团中考三模数学试题

2023-2024学年度第二学期第三次调研考试九年级数学试卷说明：答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中．1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.2024的相反数是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键．根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解．【详解】解：2024的相反数是，故选B．2.新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意；B.不是轴对称图形，符合题意；C.是轴对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，不符合题意；故选B．3.港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．据统计，2024年3月28日至3月31日，经港珠澳大桥出入境的旅客累计超484900人次，将数据484900用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【详解】解：．故选B．4.党的十八大以来，我国建成覆盖全国、深入乡村、通达全球的世界规模最大的邮政快递网络，2023年，我国快递年业务量首次突破1200亿件大关，下表是2023年广东省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：亿件）：深圳市揭阳市东莞市佛山市惠州市汕头市珠海市63.68440.72334.30318.27111.50229.77712.563这七个地市邮政快递业务量的中位数是（）A.18.271亿件 B.29.777亿件 C.34.303亿件 D.63.684亿件【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数，能熟记中位数的定义（把一组数据从小到大或从大到小排列，处于中间的一个数或两个数的平均数叫这组数据的中位数）是解此题的关键．先把数据从小到大排列，再找出中间的数据即可．【详解】解：数据从小到大依次为：11.502，12.563，18.271，29.777，34.303，40.723，63.684，所以中位数是29.777亿件．故选：B5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定B；根据完全平方公式计算并判定C；根据单项式乘以单项式法则计算并判定D．【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；B、，原计算错误，故此选项不符合题意；C、，原计算错误，故此选项不符合题意；D、，计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查合并同类项，积的乘方和幂的乘方，完全平方公式，单项同式相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6.“抖空竹”经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，“裁竹成形腰鼓如，两端绳索弄徐徐．当风急转如流水，山寺闻钟韵有余．”就是对抖空竹的写照．某同学在研究“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延长交于点，根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质，可得．【详解】解：如图，延长交于点，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点，正确构造辅助线是解题的关键．7.如图，已知在中，，，根据图中尺规作图痕迹，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查基本作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握角平分线定义和线段垂直平分线的性质是解题的关键．首先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由作图得垂直平分，平分，根据角平分线定义和线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，由作图痕迹可知：是的平分线．，为线段垂直平分线，，，．故选：B．8.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，列方程求解即可．【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“总共饮19瓶酒”可得：根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：综上：，故选：A【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．9.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（）（精确到米，参考数据：，，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，过点作于，则，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，进而得米，米，即得米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：过点作于，则，，米，∴，在中，∵梯坎坡度，∴，∴，∴米，米，∴米，米，∴米，∴米，故选：．10.如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（）A.10 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点O作于点H，作于点I，连接，，∵点O为正方形的中心，∴，，∴四边形为正方形，为正方形的对角线，∴，∴，∴，∴，∴与都是等腰直角三角形，∴，，

∴E、I、O、P四点共圆，∴，∵，∴点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，过点作交延长线于点Q，同理得四边形为正方形，且边长为4，∴，，∴．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11.分解因式：2a2﹣8b2=________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．12.为积极响应“无偿献血，传递温暖”的号召，某高校一寝室的4个同学也用实际行动参与到爱心献血的活动中，他们其中有2个A型血，1个B型血，还有1个O型血，现从该寝室随机抽取两个同学参与第一批次献血，则两个同学都是A型血的概率为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了用列表法或树状图求事件概率；根据题意列表或画出树状图，得到所有可能结果数及两个同学都是A型血的可能结果数，由概率公式即可求解．【详解】解：记两个A型血分别为，列表如下：BOBO由表知，所有可能结果数为12，其中两个同学都是A型血的可能结果数为2，由概率公式，随机抽取两个同学参与第一批次献血，则两个同学都是A型血的概率为．故答案为：．13.已知不等式组的解集是则的值是________________．【答案】【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再由不等式组的解集为2＜x＜3得出a、b的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：，由①得，x＜2a－1，由②得，x＞1＋b，∴1＋b＜x＜2a－1，∵不等式组的解集为2＜x＜3，∴1＋b＝2，2a－1＝3，解得a＝2，b＝1，∴ab＝2×1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14.如图，平行四边形顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为__________．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案．【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8，，即，，，，即；点在函数的图象上，，即，，；故答案为：2．15.如图，四边形，连接，，，，若，若，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定性质，勾股定理，构造辅助线是关键；过A作于E，交延长线于F；由及，得，设，则，由勾股定理得；由辅助线作法及已知得四边形是矩形，则；设，则，，由内角和定理得，则有，在中由勾股定理即可求得k的值，再由勾股定理即可求得．【详解】解：如图，过A作于E，交延长线于F；，；，设，则，由勾股定理得；，，，四边形是矩形，；设，则，，，，，即，，即；在中，由勾股定理得：，解得：（舍去），则，由勾股定理得．故答案为：．三、解答题（共7小题，共55分）16.计算：．【答案】2【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及实数的绝对值、整数指数幂及特殊角三角函数的计算等知识，掌握它们是关键；依次计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂及特殊角三角函数值，最后加减即可．【详解】解：．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【详解】解：∵，∴原式．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18.某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°；（2）请补全条形统计图；（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．【答案】（1）200，72（2）补全的条形统计图见解析（3）估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名【解析】【分析】（1）利用选择乒乓球的人数÷所占百分比得到总人数，再利用选择跑步的人数÷总人数得到跑步所占的百分比，利用百分比即可得到圆心角度数；（2）先求出选择足球的人数，再补全条形图即可；（3）用总体数量×喜爱篮球项目的人所占的百分比即可得解．小问1详解】（名），在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是，故答案为：200，72；【小问2详解】选择足球的学生有：（人），补全的条形统计图如图所示：【小问3详解】（名），答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．从条形图和扇形图中有效的获取信息，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．19.如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D．过点C作，垂足为点F．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．（1）连接，，根据圆周角定理可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，即可求证；（2）根据角相等可得相等角的正切值也相等，即可求得，根据勾股定理求得，同理可求得，；连接，根据圆内接四边形的性质可得，故，根据等角对等边可得，根据等腰三角形的性质可得，求得，即可求得．【小问1详解】连接，∵点为的中点∴又∵是直径∴，∴∴，∴∴∵∴∴，点在上∴是的切线【小问2详解】∵∴∵且∴在中，由勾股定理得在中，故由勾股定理得连接∵，∴，又∴∴又∵∴∴∴．20.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？【答案】（1）甲型充电桩单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元（2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论；熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键．【小问1详解】设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；【小问2详解】设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，由题意得：，解得：，设所需费用为w元，由题意得：，∵，∴w随m的增大而增大，∴当时，∴w取得最小值为10万元，此时，，答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．21.设计喷水方案素材1图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米素材2如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为(如图4)．问题解决任务1确定水柱形状在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．任务2选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度．任务3选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围．【答案】任务1：任务2：的高度为米任务3：【解析】【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论；任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解．任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论．【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．∵，∴．∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，∴左侧抛物线顶点为，设抛物线解析式为，把代入得，∴即．任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．设的最高高度为．∴设图3中抛物线解析式为由（1）可得图2中的抛物线解析式为:令，得，解得（舍去），，∵，∴，