第十二章静电场教材

上一学期，还有哪些常见现象未被我们研究？我们研究了发生在我们周围的、为我们所司空见惯的和最容易被我们所感知到的两种最简单的现象：

物体位置的移动物体冷热的变化视觉触觉建立了物理学的两个分支理论：力学和热学力学热学物理学源于人类对于其自身周围常见现象的观察光现象视觉光学电磁现象电磁学古代并不常见的现象现代，冬天脱毛线衣时出现的现象丝绸摩擦的玻璃棒吸引轻小物体磁矿石吸引碎铁屑从注意到电、磁现象到建立统一的电磁理论2500年：正电和负电

1747年B.Franklin

通过粒子衰变过程在物质的基本组成层次上定义“正”和“负”

公元前600年公元1905年公元前约600年琥珀吸屑磁石吸铁公元1600年W.Gilbert区分磁石和琥珀现象他还创建了新拉丁语术语“electricus”（似琥珀的，从“ήλεκτρον”，“elektron”，希腊文的“琥珀”），意指摩擦后吸引小物体的性质。这导致产生英文词语“electric”和“electricity”，最先出现于ThomasBrowne在1646年的一本著作中。18世纪初法国C.F.duFay把电区分玻璃电和树脂电1785年

Coulomb定律风筝实验

1791年L.Galvani发现生物电

1800年A.Volt发明电池1820年Osted发现电流的磁效应1831年Faraday发现电磁感应1835年Gauss得到Gauss定理1865年Maxwell得到Maxwell方程组1888年Hertz实验证实电磁波1905年，Eistein建立狭义相对论，揭示出电磁场的变换规律2750B.C发电鱼1851年Faraday提出电场线的概念电磁场电荷静止静电场空间分布不随时间变化有源无旋电荷运动电场磁场稳恒电流稳恒电场稳恒磁场与静电场相同永久磁铁（分子电流）空间分布不随时变无源有旋空间分布随时间变化变化的电场、磁场相互激发变化电磁场一般运动电磁波光波特殊情况特殊情况电磁学是关于电磁场的理论电磁学是经典物理学的主要部分之一，为人类认识场物质形态提供了范例和基础，曾为人类社会带来了第二次工业革命，是学习和理解大多数理工科专业相关后续课程的重要基础经典物理学：经典力学经典电磁理论热力学和经典统计物理世界著名的理论物理学家、1979年Nobel物理学奖得主SheldonL.Glashow

在为《你错了，爱因斯坦先生！》（邢志忠、邢紫烟译自《Youarewrong,Mr.Einstein！》）所作序言中的一段话：尽管引力在这四种力中最弱，但它的效应却最显而易见。引力解释了地球上和天空中的运动现象。它把属于我们的大气和海洋挽留了下来，并让我们站在地面上。然而，与其他几乎所有现象有关的却是电磁力：它使原子结合在一起．然后使它们组合成诸如分子、老鼠和山脉等。我们自己本质上是电磁生物，我们所看到的、感觉到的、听到的、品尝到的、触摸到的或者制造出来的一切东西也都是电磁力作用所致。引力和电磁力合起来解释了这个世界的几乎所有特性，不管是大尺度的还是小尺度的。这样看来，爱因斯坦忽视核力或许是有道理的。下面，我们就来研究电磁现象从而建立电磁理论第三部分电磁学第十二章真空中的静电场第十三章静电场与物质的相互作用第十六章电磁感应第三部分电磁学第十五章磁场与物质的相互作用第十四章电流和磁场稳恒磁场静电场第十七章电磁场与电磁波变化电磁场由简单到复杂由特殊到一般静电现象是人类首先注意到的简单电磁现象之一。静电学既是关于静电现象的理论，也在日常生活和工业生产中有重要的应用，还是学习其他电磁理论的基础课后请进入到本校图书馆网络主页利用主题词“静电”搜索一下！第十二章真空中的静电场§12.1基本电现象§12.2电场与场强§12.3Gauss定理是什么电场本质及刻画为什么基本规律§12.4环流定理电势§12.5电势与场强静电场的描述量§12.1基本电现象不同物质的物体相互摩擦后就可能发生静电现象一、电是什么1、静电现象：毛皮摩擦过的琥珀、橡胶棒及丝绸摩擦过的玻璃棒能够吸引轻小物体

这种产生静电的方法叫做摩擦起电这样，称摩擦过的橡胶棒、玻璃棒等物体带上了电或电荷电有两种：玻璃电和树脂电分别叫做正电和负电同种电荷相斥，异种电荷相吸关于静电现象的思考：为何摩擦能使物体带电？如何理解带电体之间的排斥和吸引？并称带电的物体为带电体电是什么？自然界中的电现象：闪电动物体内的动作电位指实物的具有电相互作用的基本属性§12.1基本电现象一、电是什么1、静电现象：2、电相互作用：带电体之间的排斥和吸引说明带电体之间存在着与电相联系的相互作用。3、电荷：电相互作用有何规律？带电体间如何发生电相互作用？为何摩擦能使物体带电？如何理解带电体之间的排斥和吸引？电是什么？是实物的组成粒子如电子、质子的基本属性之一有的粒子如电子带负电，有的粒子如质子带正电。通常，物体不带电，呈电中性本质上，摩擦使某些带电粒子离开或进入物体，从而使物体带电。原子、分子呈电中性称这种相互作用为电相互作用中子不带电带电体为何能吸引轻小物体？乃静电现象中的本质表现指实物的具有电相互作用的基本属性§12.1基本电现象一、电是什么1、静电现象：2、电相互作用：带电体之间的排斥和吸引说明带电体之间存在着与电相联系的相互作用，称这种相互作用为电相互作用3、电荷：电相互作用有何规律？带电体间如何发生电相互作用？是实物的组成粒子如电子、质子的基本属性之一有的粒子如电子带负电，有的粒子如质子带正电。通常，物体不带电，呈电中性本质上，摩擦使某些带电粒子离开或进入物体，从而使物体带电。原子、分子呈电中性物体的电中性和带电体间的电作用力有强有弱说明物体带电有多少的问题。电量:描述物体带电多少SI单位：库仑（C）1C

=1A·s乃导出单位：电量有正负常用q表示乃静电现象中的本质表现1911年，密立根用液滴法首先从实验上证明了，微小油滴带电量的变化不连续。

基本电荷量：实验证明：讨论1）、Quark带分数电荷:二、电荷量子化但是：至今未能发现自由的quark。电量可通过实验测量。Faraday首先在电解实验中注意到物质所带电量的不连续性。质子电量与电子电量大小的相对误差为上夸克

下夸克

奇异夸克电量似乎可为任意值。但是，实际上，物质微观结构的事实证实了和说明了电荷的量子化质子=uud中子=udd费尔坂克(B.Fairbank)等

(1965,1977-1981)在实验中发现超导铌球上存在分数电荷

e/3他们用的铌球直径约

280mm，质量约

10–7kg,??“...Ihavediscardedoneuncertainandunduplicatedobservationapparentlyuponasinglychargedrop,whichgaveavalueofthechargeonthedropsome30percentlowerthanthefinalvalueofe.”1909年密立根在一篇论文的结论段中写道

:3)、当物体带电量较多时，如宏观带电体，电量可以按连续量处理。4)、有电荷就有质量，换言之，零静止质量的粒子只能是电中性的。2)、粒子、带电体的电量与其运动速度无关，是相对论不变量。三、电荷守恒定律在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律电中性-物体带等量的正负电荷讨论物质的原子构成与带电—原子的电中性、离子等电荷可以成对产生或湮灭，保持代数和不变电荷守恒定律是迄今为止最为精确的实验定律之一，后面我们还将会给出其数学表达式电荷守恒律在任一惯性系成立，且满足Lorentz不变性四、

点电荷模型当带电体的大小和形状可以忽略时，将带电体看作点—点电荷—与带电体电量相同且标志带电体位置点电荷的实验基础：（1）质子的散射实验表明质子线度<10-15m（2）CERN的电子对撞实验表明电子线度<10-18m.Plr(b)实际带电体，可以看作无限多点电荷的集合为研究带电体间的电相互作用规律的方便，我们得首先分析带电体带电体间的电相互作用是静电现象中的本质表现带电体各种各样在带电体间距远大于各带电体的形状大小的情形，带电体的形状和大小将对带电体间的电相互作用影响甚微球体型带电体任意形状带电体某些情况下.Plrl<<r(c)lrl<<r(a)l点电荷的适用情形：点p为与带电体发生电相互作用的某一点电荷其他带电体模型：线电荷面电荷五、

Coulomb定律在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。1785年，Coulomb通过扭称实验得到。1、表述电相互作用有何规律？带电体间的电相互作用是静电现象中的本质表现英J.Priestley较早提出电力与距离有关，1772年H.Cavendish已发现电力同时与距离和电量有关，但未发表。矢量式：或：O.比例常数ke叫做Coulomb（力）常数点电荷2对1的力同号指向受力电荷，异号指向施力电荷高斯单位制令

ke=1SI中库仑定律的常用形式令2、ke

的取值国际单位制(SI)真空介电常量Coulomb常数与电量和点电荷间距无关，可实验测定之1)、基本实验规律，定量反映了静电现象的本质表现；讨论3)、乃自然界中第二强的基本相互作用，且长程作用力2)、十分精确：1971年的实验：空间尺度范围：常规实验室实验，地磁实验及正负电子的弹性散射实验4)、平方反比律的电力叫Coulomb力，又叫静电力，遵从Newton第三定律相对强度作用程（米）基本力强电磁弱万有引力长长5)、Coulomb力是负责原子组成分子、原子和分子组成固体和液体的力，是支持力、压力、摩擦力等力的起源6)、静电荷间距r可趋于零吗？与我们生活的空间是三维有关在氢原子玻尔模型中库仑作用占绝对优势。在原子核中Z(atomicnumber)+N=A(massnumber)要能形成原子核，必定存在一种强的吸引力。

r

p–p

4.0

10–15m六、电力叠加原理当空间中存在多个静止点电荷时，其中任一点电荷所受的静电力等于所有其它点电荷在其各自位置分别单独存在时对该电荷的静电力的矢量和。实验表明：此即电力叠加原理。例如，若空间中存在n个静止点电荷qi，i=1，2，…，n，及另一静止点电荷q，则点电荷q所受静电力为其中，在两个以上的点电荷存在的情形下，如何计算静电力？六、电力叠加原理当空间中存在多个静止点电荷时，其中任一点电荷所受的静电力等于所有其它点电荷在其各自位置分别单独存在时对该电荷的静电力的矢量和。实验表明：此即电力叠加原理。例如，若空间中存在n个静止点电荷qi，i=1，2，…，n，及另一静止点电荷q，则点电荷q所受静电力为若把点电荷系换为连续带电体q′，则有在两个以上的电荷存在的情形下，如何计算静电力？无限细分为荷电微元六、电力叠加原理例如，若空间中存在n个静止点电荷qi，i=1，2，…，n，及另一静止点电荷q，则点电荷q所受静电力为若把点电荷系换为连续带电体q′，则有体电荷分布面电荷分布线电荷分布第一次平时作业PZ1：习题12:12-1。共1题PZn：表示第n道平时作业题各次所布置的平时作业题将连续排序可自行考虑的思考题：第30页思考题12-1§12.2电场与电场强度早期：电磁理论是超距作用理论后来:法拉第提出场的概念一、电场施力电荷电场电荷电荷周围存在电场。相对于观察者静止的电荷产生的电场-静电场当电荷相对于观测者运动时，电场是变化的注意：带电体间如何发生电相互作用？电力的本质静电现象的本质电相互作用力电荷相斥、相吸接触作用观点电场一种不是由原子组成的物质相互作用机制？？？十九世纪末，迅变场情形实验验证从而普遍接受无论电荷静止与否，电荷间均可能存在电场力无论电荷静止与否，其周围均存在电场。受力静电现象静电力静电场静电现象源于静电场，静电力是电场力空间中电场存在与否的判据就是看静止电荷受力与否Coulomb力与电场力电力就是电场力实物物质场展布于整个位置空间既然静电现象源于电荷周围的电场，带电体之间的电相互作用力乃电场所施那么对于静电现象的研究就应该以电荷周围的静电场为研究对象静电场的本质是什么？描述静电场的基本物理量是什么？对处于其中的任何电荷都施以电场力电场的本质表现：于是，我们自然会问如何刻画静电场？静电场有何性质和规律？静电场与物质怎样相互影响作用？（下一章）须逐步认识下面，通过分析电场的本质表现，步步深入逐个解决上述问题试验电荷条件电量小到不影响原电场试验电荷放到电场中点P处，试验电荷受力为实验表明：在任一场点定义电场强度二、电场强度描述场中各点电场性质的物理量—电场强度与试验电荷无关（2）比值（1）受力与场点、q0均有关线度小到可看作几何点描述静电场的基本物理量是什么对处于其中的任何电荷都施以电场力电场的本质表现：电量q0为正（为了确定性）说明此比值表征了所研究的静电场本身在该场点的性质电场中被研究的点叫做场点（包括大小和方向）单位正电荷在场点受到的电场力仅与静电场本身在场点的性质有关乃静电场的基本描述量与场点有关简称场强源电荷讨论

矢量场国际单位制或点电荷（q，正或负）在外场中受的电场力单位静电场中不同场点的场强的大小和方向一般各不相同，场强是空间位置的矢量函数确定静电场中各个不同场点的场强叫做确定场强在空间各点的分布场强在空间各点的值又叫场强分布对于空间中分布确定的电荷，确定了场强分布也就确定其静电场这给出了通过确定电场分布来计算电场力的方法，在Coulomb定律适用的情形给出与之相同的结果。

建立直角坐标系与时间无关三、电场强度的计算1、点电荷的场强

球对称库仑定律场强定义讨论

为从源电荷指向场点的单位矢量场强方向-正电荷受力方向由上述两式得根据库仑定律和场强的定义可用球坐标系圆对称圆柱对称平面对称2、点电荷系的场强如果带电体由n

个点电荷组成，如图由电力叠加原理由场强定义或—场强叠加原理！3、连续带电体电场强度为无限细分为荷电微元电场场强叠加原理点电荷电场场强连续带电体周围的场强Coulomb定律电力叠加原理场强定义公式3、连续带电体电场强度为无限细分为荷电微元连续带电体周围的场强Coulomb定律电力叠加原理场强定义建立直角坐标系常矢变化3、连续带电体电场强度为无限细分为荷电微元连续带电体周围的场强Coulomb定律电力叠加原理场强定义若取电荷元到场点的有向线段则电场强度可写为与教材P7式（12-8）一致有限大小的连续荷电体的远场或单极场+偶极场+四极场+八极场+…多元函数的Taylor展开带有规则缺陷的规则形状的连续带电体带有缺口的带电环内有球形空洞的带电球带有规则缺陷的带电直线、球面、无穷大平面、圆盘、柱面、柱体等典型的连续带电体带电均匀或有特殊规律的直线、圆环、圆盘、长柱面、长柱体、球面、球体、平面、无穷大板等计算办法：无限细分场强叠加原理元荷场积分讨论利用对称性利用规则荷电场补缺场强叠加原理规则荷电场几何形状规则的连续带电体补偿法在坐标y处取一个电荷元dq′电荷线密度为[例12-1]求无限长均匀带电直线的电场分布。.P解：电荷线密度为.P电荷线密度为.P另，可利用电荷分布对称性a<0的结果亦如此圆柱对称性无限长带电线讨论（1）场分布有柱对称性（2）电场强度垂直于带电线（3）对有限长度带电直导线.P<<若大小反比于r如何计算？在坐标y处取一个宽为dy的无限长线电荷.P与场点到带电平面的距离无关！（4）无限大均匀带电平面的电场分布（5）无限大均匀带电柱面的电场分布可同理计算柱轴上的场强不计算能给出结果吗？略细分为无穷多根平行带电窄条平面对称x的正负号a平可正可负[例12-2]半径为R的均匀带电圆环轴线上的场强。解：在圆环上任取电荷元电量Q。>>若——点电荷场若1）、场点为轴线上的无穷远点时讨论2）、半径为R的均匀带电圆盘轴线上的场强。细分为无限多根同心窄带电圆环取一个半径为r宽为dr的窄带电圆环，带电dq′x的正负号对

R

,无穷大薄板与前面的计算结果相同±12）、半径为R的均匀带电圆盘轴线上的场强。细分为无限多根同心窄带电圆环取一个半径为r宽为dr的窄带电圆环，带电dq′x的正负号对x>>R则——点电荷场3）、均匀带电球面、半球面以及球体、球冠等在对称轴线上的场强。±1四极单极4）、对任意场点可利用前面所介绍的近似方法推导之。解：在坐标（y,z)处取一个电荷元dq′[例12-3]求无限大均匀带电平板的电场分布。.P电荷面密度为解：在坐标（y,z)处取一个电荷元dq′[例12-3]求无限大均匀带电平板的电场分布。.P电荷面密度为.P无限大带电平板！讨论（1）场分布有平移不变性（3）电场强度沿垂直于平板的方向（4）对有限大带电平板若（2）场分布有反演不变性平面对称（5）有限厚度大带电平板可当作由无限多带电平平面组成第二次平时作业PZ2：习题12:12-4;共4题PZn：第n道平时作业题可自行考虑的习题：PZ3：习题12:12-6;PZ4：习题12:12-8;PZ5：习题12:12-11。习题12:12-2、12-7、12-9;（2）电力线数密度：§12.3Gauss定理一、电力线用布满于场空间区域的有向曲线来形象地描述场强分布通常把这些有向曲线称为电场线或电力线（1）方向：如何刻画静电场？静电场有何性质和规律？静电场是展布于整个位置空间的矢量场要求这些电场线满足如下规则以能描述静电场：若建立直角坐标系，电力线满足怎样的方程？对过电力线上任一点的面元矢电力线数、场强和面元矢为何关系？回忆：浅水的流动或水从出口流出的情形每根电力线上每一点的切线与该点场强方向重合并指向场强方向；在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的大小。§12.3Gauss定理一.电力线如何刻画静电场？静电场有何性质和规律？静电场是展布于整个位置空间的矢量场电力线数、场强和面元矢为何关系？若面积元不垂直于电场强度，电场强度与电力线条数、面积元的关系怎样？由图,通过和电力线条数相同匀强电场面积元垂直于电场强度:对任一静电场中任一点处的任一面元矢在微面元上可近似为匀强电场对过电力线上任一点的面元矢几种常见的电场线：+–点电荷的场强+++–电偶极子教材P11图12-12有带电金属平板的电力线图2)两条电力线不会相交；不能相切！*由静电场的基本性质及电力线的引入规则，可知电力线有如下特点*1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷(或无穷远处)，不会在没有电荷处中断；3)电力线不会形成闭合曲线。静电场是矢量场，其电力线描述可推广到一般矢量场而引入矢量场的几何描述即矢量线描述场：空间某区域中每一点都对应着一个标量或矢量，就称在该区域上给定了一个标量场或矢量场。数学概念物理上，场指场形态的物质，如静电场、引力场，它们可用数学意义上的场来描述。如，温度场是标量场，而速度场是矢量场。静电场的电力线描述使得我们可把静电场想象成布满电力线的空间。这使我们联想到湖中或河中流动的水。湖中或河中流动着的水可看着是充满水流线的空间。由于流速的不同，有的区域水流急促，流线密集，有的区域水流缓慢，流线稀疏，有的地方水从各个方向集中流入同一处而象有个无底洞，流线汇聚一处，有的地方水从一处上冒发散流向四面八方而象湖底有喷泉，流线从一处向各个方向发出，有的地方流水旋转而形成漩涡，流线形成同心圆。如何刻画静电场？湖中流水的这些特点使我们可以想象静电场及一般的矢量场的场线描述可能会有类似的特征，因而对于静电场及一般的矢量场的刻画只需要找到如何描述矢量线的疏密、汇聚与发散和漩涡矢量线存在与否等特征即可。这些刚好通过利用多元积分学即可实现。二、梯度、散度和旋度1、《高等数学》多元微积分学中的三个重要定理：2）、Ostrogradsky－Gauss定理3）、Stokes定理在上面三个定理中1）、关于方向导数的定理方向的单位矢沿着第二型曲面积分微面元正法向与坐标轴正向夹锐角时在相应的坐标面上的投影为正曲面外侧为正侧第二型曲线积分微线元与坐标轴正向夹角为钝角时在相应的轴上的投影为负曲面S的正侧与曲线正向按右手法则定双侧封闭曲面封闭曲线二、梯度、散度和旋度2、梯度方向导数定义oxyz引入微分算子关于方向导数的定理可写为梯度：梯度的数学意义：f在点p的最大变化率及对应的方向对微面元,二、梯度、散度和旋度3、散度oxyz有若令则可表为散度：，其表面为S对含p的微体积元oxyz由O-G定理有矢量场散度不为零时，称为有源场，否则叫无源场。+–矢量场考虑矢量场对双侧封闭曲面的点积积分可描绘矢量线的聚散与否如果在矢量场中取一双侧曲面⊿S，⊿S那么矢量场中对曲面⊿S的点积积分将能粗略反映矢量线分布的稀疏与否称之为矢量场对于该曲面的通量称之为矢量场对于该闭曲面的通量如，静电场矢量场如果在矢量场中取一双侧曲面⊿S，那么矢量场中对曲面⊿S的点积积分将能粗略反映矢量线分布的稀疏与否称之为矢量场对于该曲面的通量又如，考虑矢量线管若则dS1处的矢量线比dS2处的矢量线要密二、梯度、散度和旋度4、旋度对积分路径微元,oxyz规定则，Stokes定理可表为旋度：，其边界为l对含p的微面元oxyz由Stokes定理有矢量场旋度不为零时，称为涡旋场，否则叫无旋场。矢量场考虑矢量场对封闭曲线的点积积分可描绘矢量线漩涡存在与否称之为矢量场沿该曲线的环量或环流来刻画描绘矢量线的聚散情况这样，我们可以通过考察矢量场穿过任意曲面S的通量来刻画矢量线分布的稀疏情况矢量场穿过闭曲面S的通量来刻画矢量线漩涡的存在情况矢量场沿该曲线的环量或环流下面，我们就来考察静电场的通量和环量，并进一步进行研究可得到静电场的性质和基本规律矢量场的通量和环量分别从两个不同方面刻画了在大范围内的不同场点的矢量场之间的联系。关于这种联系的研究可以得到矢量场在大范围内的性质及规律，进而可通过通量和环量分别与散度和旋度间的关系可以确定矢量场的散度和旋度，即得到在邻近场点的矢量场之间的联系的性质和规律。关于矢量场的散度和旋度的规律能够完全确定和反映矢量场的性质和规律。三、电通量匀强电场通过任意面积元的电通量通过任意曲面的电通量怎么计算？把曲面分成许多个微小面积元，每一微面元上各处场强相等电通量的绝对值为穿过面元的电力线的条数对曲面S积分即可电通量是电场强度对于某一曲面S的通量，其定义为乃电场强度对曲面S的点积积分下面具体讨论之非匀强电场在微面元上场强处处相等电通量的绝对值为穿过曲面S的电力线的条数选择各面元的正向顺着曲面连续变化通过dS⊥的电通量等于通过dS的电通量通过闭合曲面的电通量讨论

正与负取决于面元的法线方向的选取如图所示若如红箭头所示S规定闭合曲面法线方向向外为正！S电力线穿入电力线穿出通过闭合曲面的电通量S规定闭合曲面法线方向向外为正！+静止点电荷q的电场中穿过以点电荷位置为球心的球面的电通量S另：S1图中S1为一平面被S所截出的一个圆形平面区域，其边界半径为a，其距q的距离为b，问穿过S1的电通量为何？电通量整体地刻画静电场的分布，它从静电场的一个方面刻画了大范围内不同场点的场强之间的联系。任一场点的电场强度由整个空间中的静电荷分布确定不同场点的电场强度之间的联系是否也与电荷分布有关?那么，不同场点的场强之间的联系与什么有关?我们已经知道下面我们来研究这个问题，我们将得到最早为Gausss给出的称为Gauss定理的结论。四、静电场的Gauss定理显然，为研究这个问题，对于所研究的电荷分布确定的静电场，我们应将任一场点电场强度的上述公式代入穿过电场中任一曲面的电通量来进行探索。是否也与电荷分布有关?那么，不同场点的场强之间的联系与什么有关?四、静电场的Gauss定理考虑曲面S设电荷分布于t′交换积分顺序与电荷分布无关，但不知其等于什么电通量整体地刻画静电场的分布，它从静电场的一个方面刻画了大范围内不同场点的场强之间的联系。是否也与电荷分布有关?不同场点的场强之间的联系与什么有关?四、静电场的Gauss定理设电荷分布于t′表达式仅与曲面S、元电荷dq′的位置及其相对位置关系有关应该是一个纯粹的几何量与电荷分布无关立体角电通量整体地刻画静电场的分布，它从静电场的一个方面刻画了大范围内不同场点的场强之间的联系。由一点发出的两条射线之间的夹角单位：弧度*立体角的概念*为半径的弧长取当然也有一般的定义：射线长为线段元对某点所张的平面角平面角：平面角立体角对比平面角，取半径为球面面元定义式面元dS

对某点所张的立体角：锥体的“顶角”球面度^弧度*计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角平面*计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度与我们正在讨论的电通量表达式比较*计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度如果将S取为包含元电荷dq′所在位置的封闭曲面，那么，我们所考察的几何量立体角可能就是一个常数4p了表达式立体角与我们正在讨论的电通量表达式比较（由里向外）是否也与电荷分布有关?不同场点的场强之间的联系与什么有关?四、静电场的Gauss定理任选一包含有电荷的封闭曲面S设电荷分布于t′考虑穿过S的电通量电通量整体地刻画静电场的分布，它从静电场的一个方面刻画了大范围内不同场点的场强之间的联系。outin（由里向外）是否也与电荷分布有关?不同场点的场强之间的联系与什么有关?四、静电场的Gauss定理任选一包含有电荷的封闭曲面S设电荷分布于t′考虑穿过S的电通量S对t′中元电荷dq′所在位置所张的立体角电通量整体地刻画静电场的分布，它从静电场的一个方面刻画了大范围内不同场点的场强之间的联系。outin（由里向外）是否也与电荷分布有关?不同场点的场强之间的联系与什么有关?四、静电场的Gauss定理任选一包含有电荷的封闭曲面S设电荷分布于t′考虑穿过S的电通量S对t′中元电荷dq′所在位置所张的立体角对在曲面S内的元电荷dq′，有电通量整体地刻画静电场的分布，它从静电场的一个方面刻画了大范围内不同场点的场强之间的联系。outin（由里向外）四、静电场的Gauss定理S对t′中元电荷dq′所在位置所张的立体角对在曲面S内的元电荷dq′，有对不在曲面S内的元电荷dq′，则对图中的面积元dS和dS1，有显然，曲面S刚好由无穷多对面积元dS和dS1组成所以，对不在曲面S内的元电荷dq′，有out（由里向外）四、静电场的Gauss定理S对t′中元电荷dq′所在位置所张的立体角dq′在

S内dq′在

S外其中从物理上看乃元电荷dq′产生的电场场强在S上的面积分实乃元电荷dq′产生的电场穿过S的电通量dq′产生的电场穿过S的电通量为0（由里向外）四、静电场的Gauss定理S对t′中元电荷dq′所在位置所张的立体角dq′在

S内dq′在

S外其中从物理上看乃元电荷dq′产生的电场场强在S上的面积分实乃元电荷dq′产生的电场穿过S的电通量dq′产生的电场穿过S的电通量为0穿过S的电通量等于其穿过心在dq′半径为R的球面的电通量，为（由里向外）四、静电场的Gauss定理S对t′中元电荷dq′所在位置所张的立体角dq′在

S内dq′在

S外其中电荷体密度为r闭曲面S所围体积为V点荷系若在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合面所包围的电量代数和的倍点电荷系连续分布带电体——任一闭曲面S

称为

Gauss面四、静电场的Gauss定理（由里向外）由静电场场强对Gauss面的点积积分所刻画的不同场点场强之间的联系仅与Gauss面内的总电荷有关，与Gauss面外的电荷无关。1、闭合面内、外电荷的贡献讨论都有贡献对S上各点的对电通量的贡献有差别只有闭合面内的电荷对电通量有贡献2、此Gauss定理反映静电场在大范围内的性质Gauss定理3、相邻场点的场强之间的联系S任意，因而，V任意,故有1、闭合面内、外电荷的贡献讨论都有贡献对S上各点的对电通量的贡献有差别只有闭合面内的电荷对电通量有贡献Gauss定理3、相邻场点的场强之间的联系Gauss定理的微分形式称为电场强度的散度。积分形式Gauss定理源于库仑定律，比库仑定律更普遍反映静电场随位置变化规律的基本方程之一Newton第二运动定律2、此Gauss定理反映静电场在大范围内的性质1、闭合面内、外电荷的贡献讨论都有贡献对S上各点的对电通量的贡献有差别只有闭合面内的电荷对电通量有贡献Gauss定理3、相邻场点的场强之间的联系Gauss定理的微分形式称为电场强度的散度。积分形式4、静电场是有源场，源为电荷电场线出发于正电荷、汇聚于负电荷2、此Gauss定理反映静电场在大范围内的性质四.高斯定理的应用利用高斯定理求解较为方便常见的电荷分布的对称性：球对称柱对称平面对称均匀带电球体、球面、点电荷无限长的柱体、柱面、带电直线无限大平板、平面、的分布具有某种对称性的情况，对[例题补1]均匀带电的无限长的直线，线密度对称性的分析取合适的高斯面计算电通量利用高斯定理解出何以能够计算出场强的呢？[例12-4]求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为R，带电量为q，电荷密度为

）

R解：根据对称性分析，电场分布应具有球对称性。且电场强度方向应沿径向！我们可以选择以带电球球心为球心的球面为Gauss面。对任一场点，考虑将带电球体看作由盘心在该场点与球心连线上的无穷多彼此平行的薄圆盘，可得此结论

R（1）球外某点的场强r(r>R)选以带电球球心为球心的球面为Gauss面

R（2）求球体内一点的场强r（r<R）rER不如此选Gauss面，能否计算出场强？选择以球心为中心的球面为Gauss面。r→

R时，（r<R）均匀带电球面的场强分布？[例12-5]计算无限大均匀带电平面的场强分布。（电荷面密度为）

解：EE电场分布的对称性分析与Gauss面选择什么情况下能利用Gauss定理计算场强利用Gauss定理计算场强的步骤为何在电荷分布具有一定对称性的情况下，任选Gauss面均一定能用Gauss定理计算出场强吗？习题12-8，12-9[补充例题]金属导体静电平衡时,体内场强处处为0求证:体内处处不带电证明：在导体内任取体积元由高斯定理

体积元任取证毕END第三次平时作业PZ9：习题12:12-12;共4题PZn：表示第n道平时作业题各次所布置的平时作业题将连续排序PZ10：习题12:12-25;PZ11：习题12:12-21;PZ12：习题12:12-13。前面通过考虑电场强度对曲面S的点积积分而引入电通量整体地刻画静电场的分布和不同场点的场强之间的联系，并找到了静电场场强随位置变化的一个基本规律。下面，我们就来研究电场强度对静电场中任一曲线l的点积积分。§12.4环流定理电势另一方面，我们也可通过考虑电场强度对静电场中任一曲线l的点积积分来刻画静电场的分布和在大范围内不同场点的场强之间的联系。也许，这一考虑会导致我们找到静电场场强随位置变化的另外的基本规律。一、静电场场强的第二类曲线积分badr设电荷分布于空间区域t′极坐标系§12.4环流定理电势考虑有向曲线LL场强的第二类曲线积分为此结果仅与曲线初、末位置有关交换积分顺序一、静电场场强的第二类曲线积分badr§12.4环流定理电势L此结果仅与曲线初末位置有关场强的第二类曲线积分的物理意义由场强定义，单位正电荷在场点受到的电场力可知具有电场力对沿此有向曲线运动的单位点电荷所做的功的涵义如果考虑某点电荷q0沿此有向曲线运动，qo则电场力对此电荷所做的功为结论：电荷在静电场中移动时，电场力所做的功只与电荷的初、末位置有关，而与路径无关。

电场力是保守力。静电力场是保守力场。一、静电场场强的第二类曲线积分ba,dr§12.4环流定理电势L此结果仅与曲线初末位置有关若有向曲线是封闭曲线，则有这就是说，静电场强沿任一闭曲线的环量或环流为零此即静电场的环流定理。qo这说明：静电场的环流与电荷无关，从与Gauss定理不同的角度揭示了静电场的性质及在大范围内不同场点的场强之间的联系。电荷在静电场中移动时，静电场力对沿场中闭合路径运动一周的电荷做功为零。一、静电场场强的第二类曲线积分ba,dr§12.4环流定理电势L此结果仅与曲线初末位置有关若有向曲线是封闭曲线，则有此即静电场的环流定理。qo电荷在静电场中移动时，静电场力对沿场中闭合路径运动一周的电荷做功为零。此环流定理刻画了静电场的在大范围内的性质。由Stokes定理相邻场点的场强之间的联系：而得故L任意因而S任意，故得静电场为无旋场静电场的电通量、环量均大范围地刻画静电场的分布，分别从两个不同方面刻画了在大范围内不同场点的场强之间的联系。这种联系的性质和规律为静电场Gauss定理静电场环流定理静电场散度和旋度均刻画静电场的局域分布，分别从两个不同方面刻画了在邻近场点的场强之间的联系。静电场的这种局域联系的性质和规律为上述静电场场强的散度和旋度的规律表现为偏微分方程组。由电荷分布加上边界条件求解它们就可确定空间中的静电场场强分布。静电场有源无旋静电场场强的散度和旋度的规律是静电学中的“Newton”运动定律。静电场的性质和规律如何由静电荷分布确定任一场点的电场强度不同场点的电场强度之间有何联系?电场强度的空间积分面积分线积分高斯定理环路定理两个方面整体性质电场强度的空间微分局域性质一般规律场分布关于静电场的研究小结这就需要确定不同场点的场强之间的联系与质点和热力学系统不同，静电场展布于全空间，所以，研究静电场的关键问题就是如何确定静电场的分布从静电学理论的逻辑结构来看，与力学、热力学一样，静电学基本理论也就是回答了是什么、怎么样和为什么的三个基本问题bLqoa二、电势能与电势静电场场强完全描述了静电场，但它是矢量场，用起来不太方便。能否用一个标量来完全描述静电场？为此，从电场力的功出发考虑静电场力的功静电场力做的功只与电荷的初末位置有关。静电力场是保守力场。由力学知，称之为电势能，W，按如下方式定义即定义在电荷运动过程中电势能的增量的负值等于静电场力的功和分别代表电荷q0在a、b两个空间位置处的电势能。显然，这个定义实际上定义了电荷q0分别处于电场中两点时的电势能之差，即电势能有一个相加常量不定性，我们只有任意规定电荷处于电场中任一给定点的电势能为某个确定值比如0时，电荷处于电场中任意点时的电势能的值才唯一确定。比如，取Wb=0，则

这说明存在仅与电荷在场中位置有关的标量函数，即势能bLqoa二、电势能与电势静电场场强完全描述了静电场，但它是矢量场，用起来不太方便。能否用一个标量来完全描述静电场？为此，从电场力的功出发考虑静电场力的功静电场力做的功只与电荷的初末位置有关。静电力场是保守力场。即定义在电荷运动过程中电势能的增量的负值等于静电场力的功和分别代表电荷q0在a、b两个空间位置处的电势能。比如，取Wa=0，则对于电荷分布区域有限的静电场，常取如此则有进而，有两个点电荷的电势能由力学知，称之为电势能，W，按如下方式定义

这说明存在仅与电荷在场中位置有关的标量函数，即势能否则bLqoa二、电势能与电势静电场场强完全描述了静电场，但它是矢量场，用起来不太方便。能否用一个标量来完全描述静电场？为此，从电场力的功出发考虑静电场力的功静电场力做的功只与电荷的初末位置有关。静电力场是保守力场。电势能，W，按如下方式定义电势能与电场和处于场中的电荷q0均有关，但是此结果仅与场中的两个位置有关，而与连接它们的积分曲线无关这说明此积分完全决定于静电场在那两点的属性，也说明存在仅与场点位置有关的标量函数，该函数反映静电场在场点的相关属性称该函数为电势，其定义如下：bLqoa二、电势能与电势静电场场强完全描述了静电场，但它是矢量场，用起来不太方便。能否用一个标量来完全描述静电场？为此，从电场力的功出发考虑静电场力的功静电场力做的功只与电荷的初末位置有关。静电力场是保守力场。电势能，W，按如下方式定义电势能与电场和处于场中的电荷q0均有关，但是称该函数为电势，其定义如下：和分别代表场点a、b处的电势。此给出了静电场中两点电势之差，电势有一个相加常量不定性。选定电势零点：Vb=0，则电势单位为：V=J/C，叫伏特场强单位为：N/C=V/mbLqoa二、电势能与电势静电场场强完全描述了静电场，但它是矢量场，用起来不太方便。能否用一个标量来完全描述静电场？为此，从电场力的功出发考虑称该函数为电势，其定义如下：和分别代表场点a、b处的电势。选定电势零点：Va=0，则电荷分布区域有限时，常取则有此给出了静电场中两点电势之差，电势有一个相加常量不定性。点电荷q的静电场的电势Pq电势叠加原理：也常取大地或仪器外壳等电势为零电势单位为：V=J/C，叫伏特由电势的定义式，知仅在电场力作用下，正电荷加速度由电势高处指向电势低处，负电荷的加速度则反之球对称标量、正负静电场中带电体的电势能bLqoa二、电势能与电势静电场场强完全描述了静电场，但它是矢量场，用起来不太方便。能否用一个标量来完全描述静电场？为此，从电场力的功出发考虑电势定义如下：选定电势零点：Va=0，则电荷分布区域有限时，常取有Pq电势叠加原理：也常取大地或仪器外壳等电势为零电势单位为：V=J/C，叫伏特电势是仅与场点位置有关的标量函数，反映静电场在场点的相关属性，是电场强度的曲线积分，与静电场中的场点一一对应鉴于电势与场强的联系，既然电场强度完全描述了静电场，故，电势也完全描述静电场，是静电场的不同于电场强度的另一等价描述量。如此，电势的计算也是很重要的。电场分布：场强分布电势分布[例12-6]计算均匀带电球面的电势如图解：<> （1）场点在球面内即，如图均匀带电球面电场的分布为取无穷远点为电势零点球面处场强不连续理解为趋近于球面（2）场点在球面外，即><电势分布>与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同图示等势体球面处电势连续[例题补2]半径为R的均匀带电球体，带电量为q。求电势分布。qRr解：已知球内外的电场分布球外一点的电势qR球内一点的电势：注：也可以用电势叠加原理求球内外的电势分布r′利用均匀带电球面的结果[例12-7]在原来不带电的导体球外放置一点电荷q，如图，求静电平衡后导体球球心处的电势解：在导体球达到静电平衡后，导体球内场强处处为零，从而可由Gauss定理证明导体球中只有表面有电荷分布，设其电荷面密度为s。取无穷远点电势为零，则由电势叠加原理，可有由电荷守恒定律，导体球的净电量为零，即所以，静电平衡后导体球球心处的电势为将球面无限细分点电荷的电势òò+导体球面RSdsp410e（因点而异，不均匀）[例12-8]求无限长均匀带电直线的电势分布。已知电荷线密度为l。对无限长均匀带电直线，只能选有限远点为电势零点；电场强度解：r0Pr按定义：选有限远点为电势零点对无限大均匀带电平面，也只能选有限远点为电势零点。[例题补3]求均匀电场解：在电场中任意选定一点为电势参考点，规定其电势为j0，并取该点为坐标系原点。考虑对原点o的位矢为由电势的定义，有所以，P点处的电势为的电势的场点P若建立直角坐标系若取场强方向为Ox轴正向若取则有若电荷为q的粒子在P点处，则粒子的电势能为见下一页[例题补3]求均匀电场解：在电场中任意选定一点为电势参考点，规定其电势为j0，并取该点为坐标系原点。考虑对原点o的位矢为由电势的定义，有所以，P点处的电势为的电势的场点P若建立直角坐标系若取场强方向为Ox轴正向若取则有若电荷为q的粒子在P点处，则粒子的电势能为[补充例题]电荷密度分别为+

和-的两块无限大均匀带电平行平面，坐标分别为a和-a。设坐标原点o处的电势为零，求电势分布，并画出电势分布曲线。-aao+

-x解：(-a<x<a)

(x<-a,x>a)电场强度分布

-aao+

-xEND[例题五]均匀带电圆环，带电量为q，半径为a，求轴线上任意一点的P电势。解：Pxxar方法二：两种方法结果相同！END第四次平时作业PZ14：习题12:12-15;共4题PZn：表示第n道平时作业题各次所布置的平时作业题将连续排序PZ15：习题12:12-31;PZ16：习题12:12-32。PZ13：习题12:12-17;一、等势面由电势相等的点组成的面叫等势面满足方程当常量C取等间隔数值时可以得到一系列的等势