江西省高中数学青年教师业务能力竞赛(解题)试题

江西省高中数学青年教师业务能力竞赛〔解题〕试题[命题：张园和]本试卷分第=1\*ROMANI卷〔选择题〕和第=2\*ROMANII〔非选择题〕两局部，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回．第=1\*ROMANI卷(选择题共60分)考前须知：1．答第=1\*ROMANI卷前，参赛选手务必在试卷及答题纸上将自己的单位、姓名、准考证号填在指定的位置．2．所有试题的答案均应填入答题纸上的相应位置,不能答在试卷上。未填入答题纸的局部一律按零分计．一、本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合,那么实数a的取值范围是 A． B． C．(－1,+∞)D．(－∞,－1)2．假设都是实数，i是虚数单位，那么= A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i3．的值应是 A． B． C． D．4．假设函数的反函数为,那么满足的x的集合是 A．(0,+∞) B．(1,+∞) C．(－1,1) D．(0,1)5．变量满足约束条件,那么的取值范围是A．B．C．D．6．设随机变量服从标准正态分布，，那么=A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．7．两个等差数列和的前项和分别为A和，且,那么使得为整数的正整数n的个数是A．2 B．3 C．4 D．58．椭圆有相同的准线,那么动点P(n,m)的轨迹为 A．椭圆的一局部 B．双曲线的一局部 C．抛物线的一局部 D．直线的一局部9．半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点,那么与两点间的球面距离为A. B. C.D.10．如图,设P为△ABC内一点,且那么 A．B．C．D．11．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．那么使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于A. B. C. D.12．定义域为R上的函数单调递增，如果的值 A．可能为0B．恒大于0C．恒小于0D．可正可负第=2\*ROMANII卷(共90分)考前须知：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的工程填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在答题纸中的相应位置上．13．在的展开式中，x5的系数为.14．当时,不等式恒成立,那么的取值范围是．15．假设函数=.16．对于函数,存在一个正数,使得的定义域和值域相同,那么非零实数的值为__________.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解容许写出必要的文字说明,演算步骤或证明过程．2,4,617．(本小题总分值12分)定义域为R的函数是奇函数．2,4,6(1)求的值；(2)假设对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.18．(此题总分值12分)在九江市教研室组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节．主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否那么终止答题．假设你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、．(1)记先答复下列问题A的奖金为随机变量,那么的取值分别是多少？(2)你觉得应先答复哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由．19．(本小题总分值12分)函数(R,且)的局部图象如下图．(1)求的值；(2)假设方程在内有两个不同的解,求实数m的取值范围．20．(本小题总分值12分)如图,在四棱锥中,底面，,,是的中点．(1)证明；(2)证明平面；(3)求二面角的大小.21．(本小题总分值12分)设不等式组表示的平面区域为,区域内的动点到直线和直线的距离之积为2,记点的轨迹为曲线.是否存在过点的直线l,使之与曲线交于相异两点、,且以线段为直径的圆与y轴相切？假设存在,求出直线l的斜率;假设不存在,说明理由．22．(本小题总分值14分)函数及正整数数列.假设,且当时,有;又,,且对任意恒成立.数列满足:.(1)求数列及的通项公式;(2)求数列的前项和；(3)证明存在，使得对任意均成立．参考答案命题：张园和题号123456789101112答案BCBAACDACADC题号13141516备注答案1[1]解:画出数轴,由图可知,选B.[2]解:由得,所以.[3]解:,应选B.[4]解:因为,所以,于是原不等式为,解得.[5]解:画出可行域(图略),为一个三角形区域,顶点分别为.表示可行域内的点与原点连线的斜率,当时取最大值6,当时取最小值.应选A.[6]解:服从标准正态分布，[7]解:由等差数列的前项和及等差中项，可得，故时，为整数。应选D[8]解:由得:,化简为,轨迹为椭圆的一局部.应选A.[9]解:半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，那么OB=1，OP=，BP=a，由解得，∴由余弦定理得∠AOB=arcos(－)，∴与两点间的球面距离为，选C。[10]解:设.那么.所以,解得.于是.[11]解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故根本领件总数为92=81个.由不等式a−2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，那么共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为.[12]解:由题设知,的图象关于点对称.又由,且,由在时单调递增知,.应选C.[13]解:.[14]解:由题设得,故只需求.由单调性知,在时,,所以.[15]解:易知为奇函数,所以.[16]解:假设，对于正数，的定义域为，但的值域，故，不合要求.假设，对于正数，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以.17、解：(1)因为是奇函数,所以=0,即又由知(2)解法一：由(1)知,易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：等价于.因为减函数,由上式推得:．即对一切有：,从而判别式解法二：由(1)知．又由题设条件得：即：整理得:.上式对一切均成立,从而判别式18、解：(1)题意，的取值可以为0元，1000元，3000元(2)设先答A的奖金为元,先答B的奖金为元,那么有，,,所以.同理,,,.所以.故先答A,能使所获奖金期望较大.19、解：(1)由图象易知函数的周期为()=，∴．又,且,即,解得:.所以,.[也可以按以下解释:上述函数的图象可由的图象沿轴负方向平移个单位而得到，∴其解析式为．∴] (2)∴，∴．设，问题等价于方程在〔0，1〕仅有一根或有两个相等的根．方法一：∵m=3t2t，t(0,1).作出曲线C：y=3t2t，t(0,1)与直线l：y=m的图象．∵t=时，y=；t=0时，y=0；t=1时，y=2．∴当m=或0≤m<2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．∴m的取值范围是：或方法二：当仅有一根在(0,1)时，令那么得到;或时，或时〔舍去〕当两个等根同在〔0,1〕内时得到，综上所述，m的取值范围是：或20、解：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．而平面，．(2)证明：由，,可得．是的中点，．由(1)知，，且，所以平面．而平面，．底面在底面内的射影是，，．又，综上得平面．(3)解法一：过点作，垂足为，连结．那么由(2)知，平面，在平面内的射影是，那么．因此是二面角的平面角．由，得．设，可得．在中，，，那么．在中，．所以二面角的大小是．解法二：由题设底面，平面，那么平面平面，交线为．过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．由，可得，设，可得．，．于是，．在中，．所以二面角的大小是．xyO21、解：由题意可知，平面区域如图阴影所示．设动点为，那么xyO，即．由知，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)设，，那么以线段为直径的圆的圆心为.因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径，即因为直线AB过点F(2eq\r(2)，0)，当ABx轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－2eq\r(2))．代入双曲线方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)得:k2(x－2eq\r(2))2－x2＝4，即(k2－1)x2－4eq\r(2)k2x＋(8k2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是x1＋x2＝eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(8k2－4,k2－1)．故|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r((1＋k2)[eq\b\bc\((eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1))eq\s\up10(2)－4eq\f(8k2－4,k2－1)])＝|x1＋x2|＝|eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)|，化简得：k4＋2k2－1＝0解得:k2＝eq\r(2)－1〔k2＝－eq\r(2)－1不合题意，舍去〕．由△＝(4eq\r(2)k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－eq\f(eq\r(3),3)．所以,k＝－eq\r(eq\r(2)－1)22、解：(1)由得：.因为是正整数列