中考数学重难热点突破 02 探究规律问题（含解析）

重难点02探究规律问题

【命题趋势】

探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以

选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基

本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或

猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2021年中考数学

中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

【满分技巧】

1）从简单的情况入手：

从简单的情况入手：求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二.新定义型问题一

般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、

连续〃个数的平方和、阶乘等。

2）关注问题中的不变量和变量：

在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量

是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在.

3）掌握一些数学思想方法

规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往

给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特

殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和

创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.

【限时检测】

A卷（建议用时：80分钟）

（•山东济宁市•中考真题）按规律排列的一组数据：37

1.20211一，口，一,其中口内应

25172637

填的数是（）

2.（2021•湖北随州市♦中考真题）根据图中数字的规律，若第抬个图中的，=143,则P的值为（)

3.（2021•山东临沂市•中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快,

后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系.下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此

A.4860年B.6480年C.8100年D.9720年

4.（2021•广西玉林市・中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第〃个图树枝数用K表示,则4-匕=（

T

第1个榭匕=1第24兽埼=3第3个榭环=7第4个囹匕=再

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

5.（2021•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（-1,1）8（-1,-2）,C（3,-2）,

D（3,1）,一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A-8—CTOTA循环爬行，问第2021秒瓢虫

C.(1,-2)D.(3,-2)

6.（2021•广西柳江•二模）如图，动点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动

到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…，按这样的运动规律，经过第

2021次运动后，动点P的坐标是（）

(32)(72)(1U)

以"PS….

~o\(Z0)(4：0)(砌(&0)(10,0)(12,0)

A.(2021,0)B.(2021,1)C.(2021,2)D.(2021,505)

7.(2021•浙江南海•九年级期末)已知q=x+l(xwO且;rwl),e=」一，az=T--....a„=:---

1-61-应I-4

则如1n等于（）

X

A.-x+lB.x+1C.--D.——

X+1X

8.（2021•湖北十堰市•中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列

的数为27,则位于第32行第13列的数是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

9.（2020•湖南娄底市・中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x的值为（）

A.135B.153C.170D.189

10.（2020•湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形ABC。跖G的顶点A处，按顺时针方向移动这枚

跳棋2020次.移动规则是：第％次移动4个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在8处，第二次移动

2个顶点，跳棋停留在。处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）

A.C、EB.E、FC.G、C、ED.E、C、F

11.（2020•湖北鄂州市•中考真题）如图，点…在反比例函数了=45>0）的图象上，点

X

用，员,々…凡在丁轴上，且/为。41=/刍44=/当&4=…，直线>=工与双曲线了=：交于点

414A，％,刍玛，与4乃34，刍4…，则用（n为正整数）的坐标是（）

A.(2疯0)B.(0,口)C.(0,J2«(«+l))D.(0,2而

12.（2020•山东聊城•中考真题）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图

中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第%个图形用图0表示，那么图

㉚中的白色小正方形地砖的块数是（）.

13.（2021•江苏扬州市♦中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1,

3,6,10,……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第

33个数为.

14.（2021•湖南怀化市•中考真题）观察等式：2+22=23—2，24-22+23=2+-2>

2345100

2+2+2+2=2-2,……，已知按一定规律排列的一组数：2，2叫2侬，……，23，若2侬=活，

用含冽的代数式表示这组数的和是.

15.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）观察下列等式：1=1?-1，3=22-12-5=32-22,…按此规律，则

第万个等式为2忽-1=.

16.（2021•黑龙江大庆市•中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6

个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有个交点

26122O

--30

17.（2020•云南昆明市•中考真题）观察下列一组数:97-8-1-—,它们是按一

243

--

定规律排列的，那么这一组数的第"个数是.32

18.（2020•湖北咸宁市•中考真题）按一定规律排列的一列数：3,3?，3-1，3^>37>3-11，318，…,

若a,6,c表示这列数中的连续三个数，猜想a,b,c满足的关系式是

19.（2022•湖北•中考真题模拟）观察下列一组数的排列规律:

112121123412145

3,5,5,9,9,3，17，17，17，17,33,33，11，33,33"

那么，这一组数的第2019个数是.

20.（2021•浙江金东•一模）如图，动点P从（0,3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形0ABe的边时反

弹，反弹时反射角等于入射角，当点尸第2021次碰到矩形的边时，点尸的坐标为.

21.（2020•辽宁营口市•中考真题）如图，NMON=60。，点4在射线ON上，且04=1,过点4作4出

LON交射线0M于点3,在射线ON上截取A02,使得442=431；过点4作Az&LON交射线于

点&,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为.

22.（2020•山东东营市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+l和双曲线1y=-1,在直

x

线上取一点，记为A，过4作x轴的垂线交双曲线于点片，过用作了轴的垂线交直线于点4,过4作x

轴的垂线交双曲线于点鸟，过当作J轴的垂线交直线于点4,……，依次进行下去，记点凡的横坐标为许，

若=2,则。20如=------

23.（2021•甘肃酒泉•一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：4-2,0）,,C（l,-2）,

已知曾作点葡关于点A的对称点M，点乂关于点B的对称点乂，点乂关于点C的对称点必，

点M关于点A的对称点M，点M关于点3的对称点N,,…，以此类推，则点地吹的坐标为

24.（2021•湖北黄冈市•中考真题）人们把丈二1这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的

2

0.618法就应用了黄金分割数.设&=吏二1,强=第+1,则&力=1，记5=」一+」一

221+a1+A

^2=-2+,2J…，^10=-10+,10*则5+S2H卜$出=---•

1+以1+b1+a14-6

25.（2021•四川眉山市•中考真题）观察下列等式：％=Jl+4r+±=2=l+—二；

I22221x2

[~i~~r7,if_ir13,i

+尹+?■一石-+2x3'X3~\+?+4?-12"+3x4'……

根据以上规律，计算万+为+03+--+--2021=.

26.（2020•安徽中考真题）观察以下等式：

第1个等式：Jx（l+Z]=2」；第2个等式：之乂.+2[=2_1;第3个等式：-x|l+-l=2--

31J142J25（3）3

第4个等式：工、（1+4〕=2-1;第5个等式：-xfl+-|=2--……按照以上规律.解决下列问题：

（1）写出第6个等式___________；（2）写出你猜想的第万个等式：（用含阀的等式表示），并证

明.

27.（2020•贵州•中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利

用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同

学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话,

那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题.用点4、4、区…人分表示第1

名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型

表示:

（1）填写上图中第四个图中y的值为，第五个图中y的值为.

（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为,当x=48时，对应的丁=

.（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

28.（2021•安徽中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而

成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地成为连续排列.

［观察思考］

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地成有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角

形地砖有8块（如图3）；以此类推，

图1图2图3

［规律总结］（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条

这样的人行道一共有w（"为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为一（用含〃的代数式

表示）.［问题解决］（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三

角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？

B卷（建议用时：80分钟）

1.（2020•西藏中考真题）观察下列两行数：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则n等于（）

A.18B.19C.20D.21

2.（2021•湖南•中考模拟）观察下列等式：7°=1,7=7,7?=49,73=343,74=2401,75=16807,…，根据

其中的规律可得70+7】+7?+…+7如19的结果的个位数字是（）

A.OB.1C.7D.8

3.（2021•贵州安顺市•中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同

的直线1y=%为+4（然=1,2,3,4,5,6,7）,其中占=为，与=&=%，则他探究这7条直线的交点个数最多

是（）

A.17个B.18个C.19个D.21个

4.（2021•安徽义安•一模）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点。出发，按向右,

向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到4,第2次移

动到&2,…，第"次移动到4.则AOA2A2021的面积是（）

yAz4Ac.A,4,

A.505.5m2B.505m2C.504.5m2D.506m2

5.（2021•湖北十堰•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺

序依次排列为（1,。），（2,0）,（2,1）,（1,1）,2）,（2,2）,…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（）

A.（46,4）B.（46,3）C.（45,4）D.（45,5）

6.（2021•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）若”2,则我们把上称为。的“友好数”，如3的“友好

2-a

数”是三7=-2,-2的“友好数”是丁2=1已知q=3,&是囚的“友好数”，生是④的“友好数”，4

2—32—（—2）2

是名的“友好数”，……，依此类推，则％21=（）

14

A.3B.-2C.-D.-

23

7.（2021•内蒙古中考真题）将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“O”的个数，

则第30个，龟图”中有个，O”.

8

oO0oo

oOo

Qoooo0o

oooO0n

ooOOOP

ooo°os%O^O

)

(1)(2)(3)

8.（2021•江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们

把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是.

9.（2021•黑龙江绥化市•中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形,

图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第弘个图形中三角

形个数是.

AA△△▲▲

△△△

AA▲▲▲…第〃个图形

A▲AAA

△AA△A

△▲A▲△

▲▲▲A

②

①③

④

10.（2021•湖南常德市•中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图

形有1x1个正方形，所有线段的和为4,第二个图形有2x2个小正方形，所有线段的和为12,第三个图形

有3x3个小正方形，所有线段的和为24,按此规律，则第九个网格所有线段的和为.（用含〃

的代数式表示）

11.（2020•山东泰安市•中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端

的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,15,......,

我们把第一个数记为为,第二个数记为第三个数记为?，……,第非个数记为%,则4+。200=

12.（2020•四川遂宁市•中考真题）如图所示，将形状大小完全相同的“=”按照一定规律摆成下列图形，第1

22

幅图中""的个数为的，第2幅图中“口”的个数为42,第3幅图中“。”的个数为的，…，以此类推，若一+一

a2

22yi

+—+...+—=-----.（"为正整数），则〃的值为______

%ax2020

口口口口口

口□□口口口口口口

口口口口口口口

口口口口口口口

口口口口口口口□□□口口

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

13.（2021•四川遂宁市•中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去,

第一个图形共有210个小球.

鼎

eaDOdDaDqDa©@©©

（制个■!）《■2个图）（第3个・）（S4>bB）

14.（2021•湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点尸从原点。出发，水平向左平移1个单位长

度，再竖直向下平移1个单位长度得到点后接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2

个单位长度得到点々；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点鸟；接着水

平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点月，…，按此作法进行下去，则点为小的

坐标为

A

p、

15.（2021•江苏中考模拟）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注

各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立

了“三角形，，坐标系.在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三

条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1,2,5）,

点8的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法，则点C的坐标可表示为.

16.(2021•山东中考真题)在直角坐标系中，点4从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标

依次为：A2(1,0),A3(1,1),A4(-1,1),A5(-1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),....若到达终

点An(506,-505),则n的值为.

17.(2021•广东•一模)如图，R/AOAOAI在平面直角坐标系内，N。40Al=90。，ZA0OAi=30°,以04为直

角边向外作出△044,使/。402=90。，ZAIOA2=30°,以。42为直角边向外作氏柩。42A3,使NO42A3

=90。，ZA2OA3=30°,按此方法进行下去，得到MA0A34,Rt^OA4As,Rt^OA^A^,若点Ao(-

1,0),则点A2018的横坐标为.

18.(2021•黑龙江龙沙•二模)如图，平面直角坐标系中，4ABC、AAIBICB△A2&C2、均为等边

三角形，点A、Ai、…4在x轴上，。4=1,点8在y轴上，BC//B1C1//B2C2//…无轴，点C为4Bi

中点，点Ci为A2B2中点，…，点G为An+lBn+l中点.则点C4坐标为

19.（2021•山东泰安市•中考真题）如图，点片在直线=上，点用的横坐标为2,过点与作用1.1,

交x轴于点A，以4稣为边，向右作正方形《当功好，延长82cl交x轴于点4；以4易为边，向右作

正方形48283G2,延长83c2交无轴于点玲；以4片为边，向右作正方形A&aC3,延长的84c3交尤

轴于点4；…；按照这个规律进行下去，则第〃个正方形4为4+1G的边长为（结果用含正整数

〃的代数式表示）.

gx上，点用的横坐标为2,过点用作

片4JLx轴，垂足为其，以4名为边向右作正方形4ale14,延长4G交直线/于点4；以4为为边

向右作正方形马为6马，延长其©2交直线/于点与；……；按照这个规律进行下去，点刍组的坐标为

21.(2021•贵州毕节市•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点小。,1)在直线/：1y=x上，过点鲂作

交x轴于点Mi；过点Mi作峪轴，交直线/于点忆；过点忆作泾W2山，交x轴

于点加'?；过点凶2作舷2M轴，交直线？于点帆；…；按此作法进行下去，则点"2021的坐标为—.

22.(2021•四川广安市•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为B，将AAEO绕点A

逆时针旋转到的位置，使点B的对应点风落在直线丁=-上，再将V/SQi绕点耳逆时针旋

3

转到的位置，使点弓的对应点Q也落在直线丁=x上，以此进行下去……若点B的坐标为

(0,3),则点刍1的纵绡标为-

23.(2021•广西梧州•中考真题)如图，直线/的函数表达式为＞=尤-1,在直线/上顺次取点4(2,1),

A2(3,2),Aj(4,3),A4(5,4),An(〃+l,n),构成形如■”的图形的阴影部分面积分别表示为

Si,S2,S3,…，S",则S2021

/

24.（2021•内蒙古通辽市•中考真题）如图，4。4片，）△4玛片…，反都是斜边在尤

轴上的等腰直角三角形，点4，4，4，…，4都在工轴上，点瓦，瓦,冬,…，冬都在反比例函

数y=工6>0）的图象上，则点鸟的坐标为.（用含有正整数〃的式子表示）

25.（2021•山东荷泽市•中考真题）如图，一次函数y=x与反比例函数了=L（x>0）的图象交于点A，

x

过点A作月,交X轴于点B；作84"口4,交反比例函数图象于点4；过点4作JL43交x

轴于点B；再作用交反比例函数图象于点4,依次进行下去，……，则点4因的横坐标为

某商场为鼓励消费，设计了投资活动.方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分

别为1元、2元、3元....100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张

奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共

有多少种不同的优惠金额？

问题建模：从1,2,3,…，«（花为整数，且%之3）这万个整数中任取个整数，这。个整

数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的

方法.

探究一：（1）从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

所取的2个整数1,21,3,2,3

2个整数之和345

如表①，所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数，其中最小是3,最大是5,所

以共有3种不同的结果.（2）从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同

的结果？

表②

所取的2个整数1,21,3,1,42,32,43,4

2个整数之和345567

如表②，所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数，其中最小是3,最大是

7,所以共有5种不同的结果.

（3）从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果.

（4）从1,2,3,n（〃为整数，且附23）这〃个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有

种不同的结果.

探究二：（1）从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果.

（2）从1,2,3,...»n（%为整数，且冏之4）这万个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有

种不同的结果.

探究三：从1,2,3,…，n（非为整数，且附25）这万个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有

种不同的结果.

归纳结论：从1,2,3,…，«（附为整数，且万之3）这万个整数中任取个整数，这4个整

数之和共有种不同的结果.

问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元....100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张

奖券，共有..种不同的优惠金额.

拓展延伸：（1）从1,2,3,36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种

不同的结果？（写出解答过程）

（2）从3,4,5,n+3（%为整数，且冏22）这（阀+1）个整数中任取a（1<a<«+1）个整数，这a

个整数之和共有.种不同的结果.

27.（2021•福建厦门•八年级期末）观察下列等式:

411Q11

第1个等式：2x(i+l)=i+2；第2个等式：rx(i+l)=i+l；

第3个等式：^x(l+l)=l+l；第4个等式：22x(l+l)=l+l；...

15432454

根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出第w个等式，并证明;

⑶计算：

38152420202-1

重难点02探究规律问题

【命题趋势】

探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能

出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化

规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、

比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规

律题可以说是每年中考的必考题，预计2021年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴

题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

【满分技巧】

1）从简单的情况入手：

从简单的情况入手：求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二.新

定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数

列、连续〃个数的立方和、连续〃个数的平方和、阶乘等。

2）关注问题中的不变量和变量：

在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，

看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为"）之间的关系，我们找

到这个关系就找到了规律所在.

3）掌握一些数学思想方法

规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的

问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、

猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能

力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.

【限时检测】

A卷（建议用时：80分钟）

（•山东济宁市•中考真题）按规律排列的一组数据：137911

1.2021一，口，--，---，---

25172637

其中口内应填的数是（）

【答案】D

【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方+1，根据规律即可得到答案.

【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方+1,...第%个数据为:

2»-1

«2+1

当非=3时W的分子为5,分母为3?+1=10...这个数为上=!故选：D.

102

【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键.

2.（2021•湖北随州市•中考真题）根据图中数字的规律，若第非个图中的［=143,则P的

A.100B.121C.144D.169

【答案】B

【分析】分别分析〃的规律、0的规律、q的规律，再找小p、q之间的联系即可.

【详解】解：根据图中数据可知：«=1,2,3,4,……^=12,22,32,42,

^=22-1,32-1,42-1,52-1,……则p=1,0=伽+1)2一1，

•••第2个图中的0=143,.•.0=3+1)2-1=143,

解得：%=11或%=-13（不符合题意，舍去），0=??=121,故选：B.

【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键.

3.（2021•山东临沂市•中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少

的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系.下图为表示

镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为Img所用的时间大约是（）

A.4860年B.6480年C.8100年D.9720年

【答案】C

【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案.

【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的工，

2

再经过1620年’即当324°年时’镭质量缩减为原来的

再经过1620x2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的］=±,

823

再经过1620x4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的士=_L,此时32x3=l

253232

mg,故选C.

【点睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键.

4.（2021•广西玉林市•中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第〃个图树枝数用K表示，

则4一匕=（)

YT

第1个固K=1第24^6=3童3个图K=7第4个固线=15

A.I5x2+B.31x24C.33X2+D.63X24

【答案】B

【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈

的变化规律，进而得到规律匕=2*-1,代入规律求解即可.

【详解】解：由图可得到：

=21-1=1

匕=22—1=3

4=23-1=7

｝；=24-1=15

<=2"

则：4=29-1,二4一司=29-1-24+1=31*2',故答案选：B.

【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5.(2021•黑龙江牡丹江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中A(-1,1)B(-1,-2),

C(3,-2),D(3,1),一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A-2一C-OfA

循环爬行，问第2021秒瓢虫在()处.

A.(3,1)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(3,-2)

【答案】A

【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2021秒是爬了第几圈后的第

几个单位长度，从而确定答案.

【详解】A(-1,1)B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1)

四边形ABCD是矩形二AB=1-（-2）=1+2=3充=3-（-1）=4

14

AB+BC+CD+AD=3+4+3+4=14-■瓢虫转一周，需要的时间是一=7秒

2

2021=288x7+5，：.按ATB—CTD—A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发

爬了5秒，路程是：5x2=10个单位，10=3+4+3,所以在。点（3,1）.故答案为：A

【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形A8CO一周的长度，从而确

定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置

是解题的关键.

6.（2021•广西柳江•二模）如图，动点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第

1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,

按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点尸的坐标是（）

y

G2)(7Z(iu)

KAXAXA….

o(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0)

A.（2021,0）B.（2021,1）C.（2021,2）D.（2021,505）

【答案】B

【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1,0,2,0,...4

个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点尸的坐标.

【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到

点（2,0）,

第3次接着运动到点（3,2）,第4次接着运动到点（4,0）,第5次接着运动到点（5,1）,...

按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1,0,2,0,4个数一个循

环，

所以2021+4=505..」，所以经过第2021次运动后，动点P的坐标是（2021,1）.故选艮

【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律.

7.（2021•浙江南沼•九年级期末）已知勾=x+l（x*0且xwl），4=,....,

勺=正｝，则%H等于（）

x1

A.-x+1B.x+1C.——D.——

r+lx

【答案】D

【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则02021

等于。2的值.

【详解】解：由于ai=x+l(#0或存-1),

因为2021+3=673……2，所以。2021=々=-1.故选：D.

【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律.

8.(2021•湖北十堰市•中考真题)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位

于第4行第3列的数为27,则位于第32行第13列的数是()

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【分析】根据数字的变化关系发现规律第"行，第”列的数据为：2n(n-l)+l,即可得第32

行，第32列的数据为：2x32x(32-1)+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的数据，即

可.

【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第〃行，第〃列的数据为：2«(«-1)+1,

...第32行，第32列的数据为：2x32x(32-1)+1=1985,

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,

...第32行，第13列的数据为：1985+2x(32-13)=2023,故选：B.

【点睛】本题考查数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规

律解决问题.

9.(2020•湖南娄底市•中考真题)下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规

律，尤的值为()

【答案】C

【分析】由观察发现每个正方形内有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,可求解小,从而得到a,

再利用a,8,x之间的关系求解x即可.

【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,

2£）=18,:.b=9,由观察发现：a=8,

又每个正方形内有：2x4+1=9,3x6+2=20,4x8+3=35,

:A3b+a=x,：,x=18x9+8=170.故选C.

【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关

键.

10.（2020•湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形A8CZJEFG的顶点A处，按顺时针

方向移动这枚跳棋2020次.移动规则是：第七次移动4个顶点（如第一次移动1个顶点，

跳棋停留在2处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在。处），按这样的规则，在这202