初中(中考)数学公式大全及初中(中考)数学常用公式定理

初中（中考）数学公式大全及初中（中考）数学常用公式定理

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边

也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点

在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于

这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即^2+b^2=c"2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系/2+了2=>2,那么这

个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)X180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即5=(aXb)4-2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平

分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心

平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两

个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他

直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)

4-2S=LXh

83(1)比例的基本性质如果a：b=c：d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a：b=c：d

84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a土b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性质如果a/b=c/d=・-=m/n(b+d+…+nWO),那么(a+c+…+m)/

(b+d+…+n)=a/b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段

成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,

那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原

三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的

三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一

条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相

似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正

弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正

切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直

线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦

的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有

一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧

也相等

118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角

形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线L和。0相交d<r

②直线L和。0相切d=r

③直线L和。0相离d>r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的

连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例

中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两

条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长

的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含dVR-r(R>r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n23)：

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n

边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)X180°/n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

142正三角形面积J3a/4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°,因此kX(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R/180

145扇形面积公式：S扇形中兀-2/360=1^/2

146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a_b)2=a2-2

ab+b2

148平方差公式：(a+b)(a-b)=a2_b2

(还有一些，大家帮补充吧)

实用工具：常用数学公式

公式分类公式表达式

乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式Ia+b|WIa|+1b||a-b|W|a|+1b||a|Wb<泠-bWaLb

Ia-b|^|a|-1b|-|a|WaW|a|

一元二次方程的解-b+V(b2~4ac)/2a-b-V(b2-4ac)/2a

根与系数的关系Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轲复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=V((l-cosA)/2)sin(A/2)=-V((l-cosA)/2)

cos(A/2)=J((1+cosA)/2)cos(A/2)=-V((1+cosA)/2)

tan(A/2)=J((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-J((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-V((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+•••+n2=n(n+1)(2n+l)/6

l3+23+33+-+n3=(1+2+3+……+n)2=n2(n+l)74

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+l)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=~2py

直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积S=l/2c*h'正棱台侧面积S=l/2（c+c'）h'

圆台侧面积S=l/2（c+c'）l=pi（R+r）1球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=l/2*c*l=pi*r*l

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=l/2*l*r

锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=S'L注：其中，S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h

初中数学常用公式定理

1、整数（包括：正整数、0、负整数）和分数（包括：有限小数和无限环循小数）都是

有理数.如：-3,寿，0,231,0.737373…，修，V=T.

2、无限不环循小数叫做无理数.如：无，0.1010010001…（两个1之间依次多

1个0）.

3、有理数和无理数统称为实数.

4、绝对值：当a20o]aI=a；当aWO。]a\=~a.如：]—想']=战；]

3.14-JI]=JI-3.14.

5、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字,

都叫做这个近似数的有效数字.如：0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效

数字6,0.

如近似数5.27X10,5的有效数字是3个，分别是5,2,7,精确到百位(还原后看7对应

的数位)

6、把一个数写成±&义10"的形式(其中1W&V10,〃是整数)，这种记数法叫做科学记

数法.如:-40700=-4.07X105,0.000043=4.3X10-5.

7、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a+6)(&—力)=3一次②g±s)2=

才±2助+抗③(&+6)(才一加十4)=才+方〔④(a—6)(l+a,+b?)=才—,3；£+6?

=(a+S)2—2ab,(a—Z?)2=(a+Z?)2-4ab.

8、寨的运算性质：®aXan=am+n.②d-一：③(a")』,.®(aby=abn.⑤

⑥特别：(!)-〃=卷)".⑦a°=l(aWO).如：3*3=人才+3=3,(/产

=3,(3a3)3=27<a9,(-3)-l=-y,52=37=-55,(|-)2=(j-)2=^,(-3.14)=1,-

(技一⑸。=1.

9、二次根式：(1).二次根式式子G(a20)叫做二次根式.

★(2).最简二次根式

同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不含根号)；②被开

方数中含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式.

★(3).同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫

同类二次根式.

(4).二次根式的性质

a(a>0)

①(6)2=a(a20)；②后=Ia|=,0(。=0)；

-a(a<0)

③疝=&•4b(a，0,b20)；④器乎(b，0,a>0).

(5).分母有理化及有理化因式

把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若

它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式.

如：①(3回2=45.②而^7=6.③&<0时，曲'=&5.④声的平方根=4的平

方根=±2.(平方根、立方根、算术平方根的概念)

10、因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式

1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)；

2)运用公式法：a2—b2=(a+b)(a—b)；a2+2ab+b2=(a±b)2；

3)分组分解法：①分组后直接提公因式；②分组后直接运用公式；

4)十字相乘法：x2+(p+q)x+pq型式子和因式分解，即：x?+(p+q)x+pq=x?+px+qx+pq=

(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+q)(x+p);

5)求根公式法：在分解二次三项式ax，bx+c的因式时，可先用公式求方程ax、bx+c

的两个根X”X2,然后得ax°+bx+c=a(x—Xi)(x—x2).

完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项

式.

..注意：分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.

11、一元二次方程：

(1).一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，aWO)

(2).一元二次方程的解法

(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.一元二次方

程的求根公式是

—b+y]h2-4ac

x=(b’一4ac20).

2a

(3).二元三项式ax'+bx+c=a(x—x1)(x—x2).其中Xi,X2是关于x的方程

ax2+bx+c=0的两个实数根.

(4).一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)的根的判别式△=!:)?-4ac.

当△>()时，方程有两个不相等的实数根X尸土应三，X2=H"C；

2a2a

当△=()时，方程有两个相等实数根X|=X2=-2；

2a

当AVO时，方程没有实数根.(注意：当△》()时，方程有实数根.)

(5).若一元二次方程ax4bx+c=O(a#0)的两个实数根为Xi,x,则xi+xz=-

2a

XIX2=£.(韦达定理)

a

(6).以a和6为根的一元二次方程是(a+6)x+a6=0.

(7).使用一元二次方程ax'+bx+cR(aNO)的根的判别式△=b?-4ac解题的前提

是二次项系数aWO.

222

(8).若Xi,X2是关于x的方程ax+bx+c=0的两根，则axi+bx1+c=O,ax2+bx2+c=0.反

22

之，若axi+bxi+c=0,ax2+bx2+c=O,且x1Wx2,则Xi,X2是关于x的一元二次方程

ax2+bx+c=0的两根.

(9).一元二次方程的应用：列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过

的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要

使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解(虽然是原方程的解)一定要舍去

10、一次函数y=〃x+6(〃W0)的图象是一条直线(8是直线与序的交点的纵坐标即一

次函数在y轴上的截距).

当〃>0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；

当4Vo时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降).

特别：当6=0时，y=Ax(470)又叫做正比例函数(y与不成正比例)，图象必过原点.

★直线11:y=+4(尢W0)直线乙：y=k2x+b2(k2w0)

①当直线4平行12ck、=取且4Wb2

②当直线41/2=勺=T

12、反比例函数y=J(4W0)的图象叫做双曲线.

当〃>0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)。

当〃V0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升).因此，它的增减

性与一次函数相反.

注意：K的几何意义是反比例函数上任一点P(x,y)向两对称轴作垂线组成的矩形的

面积，即s矩形=孙=|K|

13、锐角三角函数：

①设N/是RtZ^ABC的任一锐角，则//的正弦：sin/=有普，N月的余弦：cosA=-

有辔，N4的正切：tan*境器.并且sin2/+cos2/=l.

OVsin/Vl,OVcos/Vl,tan/>0.N/越大，N/的正弦和正切值越大，余弦值反

而越小.

②余角公式：sin(90—A)=cosA,cos(90—A)=sinJ.

③特殊角的三角函数值：sin30°=cos60e=\,sin450=cos45°=埠,sin60

=cos30°=埠,tan30°=导,tan45e=1,tan60三

④斜坡的坡度：i=隽嚣=.设坡角为a,则/=t兼〒了.

利用解直角三角形的知识解决实际问题：如仰角、俯角、坡度

14、平面直角坐标系中的有关知识：

(1)对称性：若直角坐标系内一点P(a,6),则P关于x轴对称的点为R(a,—b),

P关于y轴对称的点为P2(—a,b),关于原点对称的点为P3(—a,-b).

(2)坐标平移：若直角坐标系内一点P(a,b)向左平移力个单位，坐标变为P(a

-h,b),向右平移力个单位，坐标变为P(a+力，6)；向上平移力个单位，坐标变

为P(a,b+h),向下平移力个单位，坐标变为P(a,b—h).如：点A(2,-1)

向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A(7,1).

15、二次函数的有关知识：

1.定义：一般地，如果y=+/u+c(a,8c是常数，”。0),那么y叫做x的二次函数.

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当。<0时，开口向下；

时相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x=/i.特别地，y轴记作直线x=0.

几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax1x=0(y轴)(0,0)

y=ax~+k当a〉0时x=0(y轴)(0,k)

y=a(x-h)2开口向上x=h(/?,0)

y=a(x-h)2+k当Q<0时x=h(/?,女)

h

y=ax2+bx+c开口向下x=---(b4ac-b2

2a

2a'^a

)

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：y=ax'+bx+c=c^x+——,二.顶点是(一幺,^^~,对称轴

2a)4。2a4〃

是直线尤=-2.

2a

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-/z)2+人的形式，得

到顶点为(/?,女),对称轴是直线x=/z.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与

抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点a，y)、(jy)(及y值相同)，则对称轴方程可以表示为：

9.抛物线丁=江+区+(；中，a,"c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与丫=如2中的a完全一样.

(2)。和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=a?+桁+0的对称轴是直线

尤=_2,故:①8=0时，对称轴为y轴；②幺>0(即a、匕同号)时，对称轴在

2aa

y轴左侧；③2<0(即a、异号)时，对称轴在y轴右侧.

a

(3)c的大小决定抛物线丁=如2+hx+c与y轴交点的位置.

当尤=0时，y-c,...抛物线y=ar?+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c):

①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负

半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，

则-<0.

a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y="2+云+c.已知图像上三点或三对光、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(x-〃y+h已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标尤|、x2,通常选用交点式：y=a{x-xi)(x-x2).

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y="2+bx+c得交点为(0,c).

(2)抛物线与x轴的交点二次函数y=a?+法+c的图像与龙轴的两个交点的横坐

标王、修，是对应一元二次方程a/+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交

点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点Q（△＞（））O抛物线与X轴相交；

②有一个交点（顶点在1轴上）Q（△=（））=抛物线与无轴相切；

③没有交点Q（△＜（））Q抛物线与X轴相离.

（特别注意在X轴的某个范围里有唯一一个根的情况）

（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有。个交点、1个交点、

2个交点.

当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为则横坐标是o?+法+0=后

的两个实数根.

（4）一次函数y="+〃伏。0）的图像/与二次函数丁=分+桁+*/0）的图像G的交

v—kx+n

点，由方程组•,的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

y=ax+bx+c

一/与G有两个交点；②方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；③方程

组无解时Q/与G没有交点.

（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线＞=改2+云+c.与龙轴两交点为

A（X1,O）,凤工”0）,则AB=k—w|

15、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对

象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目

叫做样本容量.②在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数

据的众数.③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均

数）叫做这组数据的中位数.

（2）公式：设有〃个数Xl,X2,Xn,那么：

①平均数为：仁内+为+……+［；

n

②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用

这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；

③方差：

数据X]、X2...,X“的方差为$2,则$2=；餐「xj+(%2-xj+..…+(x„-X)-

标准差：方差的算术平方根.

数据玉、x2...,X“的标准差S,贝!]S=番「xj+(%2-7)2+…“+(X”-xj

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

12、频率与概率：

(1)频率=姐，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1,频率分布

总数

直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

(2)概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则OWP(A)W1；

P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事

件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

平面图形

1、轴对称

定义如果点A,B在直线1的两侧，且1是线段AB的垂直平分线，则称点A,B关于直

线1互相对称，点A,B互称为关于直线1的对称点，直线1叫做对称轴

定义在平面上，如果图形F的所有点关于平面上的直线1成轴对称，直线1叫做对称

轴

定义在平面上，如果存在一条直线1,图形F的所有点关于直线1的对称点组成的图

形，仍是图形F自身，则称图形F为轴对称图形，直线1是它的一条对称轴

定理（1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等（2）对称点所连线段被

对称轴垂直平分

推论两个图形如果关于某直线称轴对称，那么这两个图形是全等形

2、中心对称

定理1成中心对称的两个图形，对称点连线都过对称中心，并且被对称中心平分

定理2中心对称的两个图形是全等形

定理平行四边形是中心对称形，它的对称中心是两条对角线的交点

3、多边形内角和公式：〃边形的内角和等于（〃-2）180（〃23,〃是正整数），外

角和等于360

★4、平行线分线段成比例定理：

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：a//b//Cy直线/i与4分别与直线a、b、c相交与点B、C

D、E、F,则有AB_DEAB_DEBCEF

於一而，就一而，前~DF

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应

线段成比例。

如图：中，DE//BC,DE与AB、〃'相交与点D,E,则有：

AD_AEAD_AE_DEDB_EC

UU

推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

5.三角形的中位线

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心

6.梯形的中位线

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

7.(1)、成比例线段

在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比，它们的比是一个正实数

如果四条线段a,b,c,d满足等式a/b=c/d,那么，这四条线段叫做成比例线段

(2)、黄金分割

把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是原先段与较短线段的比例中项，叫做

把这条线段黄金分割，把这条线段黄金分割的点，叫做黄金分割点

0.618...称为黄金比

(3)、比例的性质：

基本性质：ad=be

bd

合比性质：色=£。包=包

bdbcl

等比性质：如果且=£=g=……='(Z,+d+f+……-0),则°+c+e+……m=巴

bdfn〃+d+/+...nh

8、相似三角形

(1)、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形

(2)、三角形相似的判定

判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么两三

角形相似

判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么两三角形相似

判定定理3如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么两三角

形相似

推论1两直角三角形中有一锐角对应相等，那两三角相似

推论2平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似

定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条

直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

(3)、相似三角形的性质

定理相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

定理相似三角形周长的比等于相似比

定理相似三角形面积的比等于相似比的平方

★(4)平行线分线段成比例定理

定理两条或两条以上的平行线，截任意一角的两边，所截出的对应线段成比例

推论三条或三条以上的平行线截任意两条直线，所截得的对应线段成比例

(5)相似多边形

定义如果两个边数相同的多变形的角对应相等且它们的边对应成比例，那么这两个

多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比

定理两个相似多边形对应对角线的比等于相似比

定理两个相似多边形的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比

定理相似多边形的周长比等于相似比

定理相似多边形的面积比等于相似比的平方

★直角三角形中的射影定理：如图：Rt△/回中，N/%=90°,CD1AB于■D,则有:

(1)CD2=ADBD(2)AC2=ADAB(3)BC?=BDAB

第七章圆

1圆的基本性质

11圆的定义

在平面内，和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周，简称为圆；其中定点叫

做圆的圆心，连结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径

连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦，通过圆心的弦叫做直径

圆上任意两点间的部分叫做弧

同圆或等圆中，能够重合的弧的叫等弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫

做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形

两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等

半径相等的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等

12不共线的三点确定一个圆

经过一点可以作无数个圆

经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上

定理过不在同一直线上的三个点，可以作且只可以作一个圆

推论三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心它到三个顶

点的距离相等。

正弦定理:—=2RR为外接圆的半径）

sinA

圆的内接四边形:

(1).圆的内接四边形对角互补。

(2).圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。

(三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心)

1.3垂径定理

圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心

圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴

定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧

推论1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

推论2弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

推论3平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧

1.4弧、弦和弦心距

定理在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

2圆与直线的位置关系

2.1圆与直线的位置关系

如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离

如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线

叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点

定理经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线

定理圆的切线垂直经过切点的半径

推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线

叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点

直线和圆的位置关系只有相离、相切和相交三种

2.2三角形的内切圆

定理三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心，它到三边的距离相

等。

常见结论：(1)Rt^ABC的三条边分别为：a、b、为斜边)，则它的内切圆的

半径一”匕；

2

(2)aABC的周长为/,面积为S,其内切圆的半径为r,则5="厂

2

2.4圆的外切四边形：如果一个四边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个四边

形叫做圆的外切四边形，这个圆叫做四边形的内切圆

定理圆的外切四边形的两组对边的和相