九年级（上）期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.（4分）下列函数中，是反比例函数的是（）

A.y=xB.y=-2x+3C.y=&D.y=-1一

xx-5

2.（4分）若二次函数y=mx2（mWO）的图象经过点（2,-5）,则它也

经过（）

A.（-2,-5）B.（-2,5）C.（2,5）D.（-5,

2）

3.（4分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（）

A.2、3、4、5B.2、3、4、6C.1、2、3、4D.1、4、9、16

4.（4分）如图，Na的顶点位于正方形网格的格点上，若tana=3,

5.（4分）两个相似六边形，若对应边之比为3：2,则这两个六边形的周

长比为（）

A.9：4B.9：2C.3：1D.3：2

6.（4分）如图，点A在反比例函数丫=区（x<0）图象上，AB，x轴于点

B,C是OB的中点，连接AO、AC,若aABC的面积为4,则k=（）

7.（4分）如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水

平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成a=60。角时，光线刚好

不能直接射入室内，则m的值是（）

Coka

A.m=代+0.8B.m=V3+O.2C.m=V3-0.2D.m=V3-0-8

8.（4分）如图，在口ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F,那么SA

BEF：SABCF=（）

A.1：2B,1：3C.1：4D.2：3

9.（4分）已知二次函数y=m>0）的最小值为-5,则m的值为（）

A.-4B.-2C.2D.4

10.（4分）二次函数y=ax?+bx+c的图形如图所示，则一次函数y=ax-

c与反比例函数y=世蛆•在同一坐标系内的图象大致为（）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.（5分）若反比例函数y=典（mWO）与正比例函数y=7x无交点，则

X

m的取值范围是.

12.（5分）在4人8（；中，^^=90°,AB=15,sinA=2，则BC的长为______

5

13.（5分）已知抛物线y=x?+bx+c的部分图象如图所示，则方程x?+bx+c

=0的解是

14.（5分）如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC

边的E点处，折痕交AB于点F.

(1)若CD=6,BC=10,则BE=；

(2)若CD=15,BE：EC=1：4,则BF=

三、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

15.(8分)计算：3tan45°-(V3+2)°+|2-2^3|-V48-

16.(8分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正

方形，^ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系.

(1)以原点0为位似中心，将AABC放大，使变换后得到的△ABG与

△ABC对应边的比为2：1,且点B的对应点&在第三象限，请在网格

内画出△ABG；

(2)点A的坐标为，点G的坐标为.

17.(8分)如图，在AABC中，AB=5,AC=8,ZA=60°.

(1)求BC的长.

(2)求sinB.

18.(8分)已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：y.

22

=x，4x、y2=2x+8x>y3=3x+12x,

(1)探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x

(2)求二次函数yn的解析式及其顶点坐标;

（3）点（-2,-20）是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点,

若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由.

五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）

19.（10分）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=K（k#0）的图

象相交于点A（1,-3）和B（m,-1）,连接0A、0B.

（1）求一次函数的解析式；

（2）求△0AB的面积.

20.（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB=BC=18cm,底座

厚度为3cm,水平距离AD=24cm,灯臂与底座构成的NBAD=60°,当

CD_LAD时-，灯臂BC与水平线所成的角为a,求此时cosa的值及顶

端C到桌面的高度（结果保留根号）.

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=）（X]<x2）是此

抛物线上的两点.

（1）求抛物线顶点坐标.

（2）若3N的长度不小于10,求m的最小值.

七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

22.（12分）（1）如图1,在AABC中，D为AB上一点，ZBCD=ZA,求

证：BC2=BD*AB.

（2）如图2,在AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,CD平分NACB,若

BC=1,求AB的长.

八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）

23.（14分）抛物线y=ax2+bx+3（aNO）与x轴交于A（-V3»0）,B（3

M，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,直线1经过B、C两

点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）.

（1）求抛物线解析式及直线1的表达式；

（2）如图，当点P在直线1上方的抛物线上时，过P点作PE〃x轴交

直线1于点E,设点P的横坐标为n.

①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；

②求点P到直线BC距离的最大值.

-安徽省合肥市长丰县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.（4分）下列函数中，是反比例函数的是（）

A.y=xB.y=-2x+3C.y=—D.y=_l_

xx-5

【分析】根据反比例函数的定义判断即可.

【解答】解:A.y=x是正比例函数，故A不符合题意；

B.y=-2x+3是一次函数，故B不符合题意；

C.y=2是反比例函数，故C符合题意；

X

D.y=」_不是反比例函数，故D不符合题意；

x-5

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是

解题的关键.

2.（4分）若二次函数y=mx2（m^O）的图象经过点（2,-5）,则它也

经过（）

A.（-2,-5）B.（-2,5）C.（2,5）D.（-5,

2）

【分析】根据抛物线的对称性求解.

【解答】解：•••y=mx2,

.•.抛物线对称轴为y轴，

•••图象经过点（2,-5）,

・•.图象经过点（-2,-5）,

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系

数的关系.

3.（4分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（）

A.2、3、4、5B.2、3、4、6C.1、2、3、4D.1、4、9、16

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线

段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案.

【解答】解：A、1X4W2X3,故选项不符合题意；

B、3X4=6X2,故选项符合题意；

C、1X4W2X3,故选项不符合题意；

D、1X16^9X4,故选项不符合题意.

故选：B.

【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的

时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.同

时注意单位要统一.

4.（4分）如图，Na的顶点位于正方形网格的格点上，若tana=2,

/

c.D.

【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的a的正切值可得答案.

【解答】解：A.观察图形可得tana=3,符合题意；

2

B.观察图形可得tana=2,不符合题意；

3

C.观察图形可得tana=工，不符合题意；

2

D.观察图形可得tana=二不符合题意.

3

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义并能

在解直角三角形中灵活应用是解题的关键.

5.（4分）两个相似六边形，若对应边之比为3：2,则这两个六边形的周

长比为（）

A.9：4B.9：2C.3：1D.3：2

【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比求解.

【解答】解：两个相似六边形的对应边之比为3：2,则这两个相似六

边形的周长之比3：2.

故选：D.

【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相

似比.

6.（4分）如图，点A在反比例函数丫=区（xVO）图象上，ABJ_x轴于点

B,C是OB的中点，连接AO、AC,若aABC的面积为4,则k=()

【分析】由C是0B的中点求AAOB的面积，设A(a,b)根据面积公式

求-ab,最后求k.

【解答】解：:C是0B的中点，AABC的面积为4,

...△AOB的面积为8,

设A(a,b),

•.•AB_Lx轴于点B,

-ab=16,

•点A在反比例函数y=K(xVO)的图象上，

x

.\k=-16.

故选：A.

【点评】本题考查了比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐

标特征，掌握用面积法求k是解题关键.

7.(4分)如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水

平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成a=60。角时，光线刚好

不能直接射入室内，则m的值是()

cDa

y

A.m=M+O.8B.m=«+0.2C.m=V3-0.2D.m=«-0.8

【分析】根据三角函数求出BC的长度，BC-AC即可得出m的值.

【解答】解：TCDn米，NCDB=a=60°,

.*.BC=CD*tana=1乂M=M，

.,.m=AB=BC-AC=V3-0.2,

故选：C.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练应用三角函数解直角

三角形是解题的关键.

8.（4分）如图，在口ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F,那么

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【分析】由矩形性质可证明△BEFs/^DCF,从而可得毁耳」，由于

CDCF2

△BEF与4BCF等高，故S.EF：SABCF=1：2.

【解答】解：•••四边形ABCD为矩形，E为AB中点，

.••AB〃CD，BE=^1CD，

/.△BEF^ADCF,

•••-B-E=-E-F=—1,

CDCF2

•「△BEF与ABCF等高,

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行四

边形的性质，证明△BEFsaDCF,得到EF：CF=1：2是解题的关键.

9.（4分）已知二次函数y=m>0）的最小值为-5,则m的值为（）

A.-4B.-2C.2D.4

【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解.

【解答】解：♦••y=m（>0,

抛物线开口向上，函数最小值为-m-l,

-m-1=-5,

解得m=4.

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数图象与系

数的关系，掌握二次函数与不等式的关系.

10.（4分）二次函数y=ax?+bx+c的图形如图所示，则一次函数y=ax-

c与反比例函数y="也在同一坐标系内的图象大致为（）

Yj

X

【分析】根据抛物线图形，可得a>0,cVO,再由x=l时，y=a+b+c

<0,即可判断出答案.

【解答】解：由抛物线图形，可得a>0,cVO,根据一次函数y=ax

-c的图形，可排除B、D；

当x=l时、y=a+b+c<0,根据反比例函数图象，可排除A.

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图形，注意隐含条

件的挖掘"当x=l时，y=a+b+cVO”.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.（5分）若反比例函数y=@（m#0）与正比例函数y=7V0

X

【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求得.

【解答】解：•••正比例函数y=7x的图象过第一、三象限，

\,反比例函数y=@(m#0)与正比例函数y=7x无交点，

X

...反比例函数y=皿(m#0)的图象过第二、四象限，

X

故答案为mVO.

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数和

反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键.

12.(5AABC+,ZC=90°,AB=15,sinA=g，则BC的长为9.

5

【分析】根据正弦的定义得到sinA=K=2,然后把AB=15代入计算

AB5

即可.

【解答】解：在AABC中，ZC=90°,

sinA=K=A,

AB5

.•.BC=3AB=2X15=9.

55

故答案为：9.

【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点，能

熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键.

13.(5分)已知抛物线y=x?+bx+c的部分图象如图所示，则方程x?+bx+c

=0的解是xi=-1,x?=3•

【分析】根据函数图象，可以得到抛物线的y=x2+bx+c的对称轴与x

轴的一个交点，从而可以写出另一个交点，然后即可得到当y=0时对

应的x的值，即方程x2+bx+c=O的解.

【解答】解：由图象可得，

抛物线y=x，bx+c的对称轴是直线x=l,与x轴的一个交点坐标为（-

1,0）,

...该抛物线于x轴的另一个交点坐标为（3,0）,

.,.当y=0时，0=x?+bx+c对应的x的值是Xi=-1,x2=3,

=

故答案为：Xi--1,x23.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关

系，解答本题的关键是写出抛物线与X轴的交点坐标.

14.（5分）如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC

边的E点处，折痕交AB于点F.

（1）若CD=6,BC=10,则BE=2；

【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理求得CE的长，再根据BE

=BC-CE,即可得出BE的长；

（2）先根据Rt^CDE中,CD2+CE2=DE2,求得BE的长,再根据RtZ\BEF

中，BE2+BF2=FE2,即可得到BF的长.

【解答】解：(1)由题可得，DE=AD=BC=10,ZC=90°,

RtZkCDE中，CE=40E2-CD2VlO2-62=811

.,.BE=BC-CE=10-8=2,

故答案为：2；

(2)设BE=x,则CE=4x,DE=AD=5x,

Rt/XCDE中，CD2+CE2=DE2,

即152+(4X)2=(5x)2,

解得xi=5或x2=-5(不合题意)，

.*.BE=5,

设BF=y,则AF=EF=15-y,

Rtz^BEF中，BE2+BF2=FE2,

即5''+/=(15-y)?,

解得y=型，

3

.,.BF=M

3

故答案为：20.

3

【点评】此题属于折叠问题，翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称

变换.解题时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质

用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾

股定理列出方程求出答案.

三、(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)

15.(8分)计算：3tan45°-(Vs+2)°+|2-2Vsl-V48-

【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幕，绝对值，二次根式的化

简进行运算即可得出答案.

【解答】解：原式=3-1+2^3-2-4百

=-2M.

【点评】本题考查了实数的运算，零指数幕，特殊角的三角函数值，绝

对值，二次根式的化简，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关

键.

16.(8分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正

方形，AABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系.

(1)以原点0为位似中心，将AABC放大，使变换后得到的△ABG与

△ABC对应边的比为2：1,且点B的对应点B在第三象限，请在网格

内画出△ABG；

(2)点&的坐标为(-4,2)，点G的坐标为(2,-4).

【分析】（1）把A、B、C横坐标与纵坐标乘以-2,即可得到A、B,>

G的坐标（或A\、B\、C'।的坐标），然后描点连线即可.

（2）根据图形写出点A的坐标和点G的坐标即可.

【解答】解：（1）如图，ZSAiBC为所作；

（2）点A的坐标为（-4,2）,点G的坐标为（2,-4）,

故答案为：（-4,2）,（2,-4）.

定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据

位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点,

得到放大或缩小的图形.

四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）

17.（8分）如图，在AABC中，AB=5,AC=8,NA=60°.

(1)求BC的长.

(2)求sinB.

【分析】（1）过点C作CDLAB,垂足为D.可利用NA的三角函数值求

出AD、CD,在RtABCD中利用勾股定理求出BC；

(2)Rt^BCD中利用边角间关系可得结论.

【解答】解：(1)过点C作CD_LAB,垂足为D.

在RtZiACD中，

VZA=60°,AC=8,

AZACD=30°.

.\AD=1AC=4.

2

.•.CD=7^7^=4M，BD=AB-AD=I.

在RSBCD中，

BC—VCD2+BD2=V48+1—7.

(2)在RtZ^BCD中，

由(1)知：CD=4百，BC=7,

/.sinB=型=一4愿..

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值、勾股定

理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

18.(8分)已知一系列具备正整数系数形式规律的“和谐二次函数”：山

2

=x?+4x、yz=2x'+8x、y3=3x+12x,•••

(1)探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线x=一

2

(2)求二次函数外的解析式及其顶点坐标；

(3)点(-2,-20)是否是“和谐二次函数”中某一抛物线的顶点,

若是，请求出它所在的抛物线解析式；若不是，请说明理由.

【分析】(1)由抛物线对称轴为直线*=-M求解.

2a

22

(2)根据yi=x?+4x、Y2=2X+8XAy3=3x+12xnTWyn=nx"+4nx,进而

求解.

(3)将(-2,-20)代入yn=nx2+4nx求n的值，进而求解.

【解答】解：(1)•••抛物线对称轴为直线乂=-且，

2a

222

一.抛物线yi=x+4x>y2=2x+8x>y3=3x+12x的对称轴为直线x=-2,

故答案为：-2.

(2),.,yi=x2+4x=x2+lX4x,

22

y2=2X+8X=2X+2X4x,

J2

y3=3x+12x=3x+3X4x,

2

yn=nx+4nx.

2

把x=-2代入yn=nx+4nx得yn=-4n,

.,.二次函数yn的解析式为yn=nx2+4nx,顶点坐标为(-2,-4n).

2

(3)把x=-2代入yn=nx+4nx得yn=-4n,

当-4n=-20时，n=5,满足题意，

2

...点(-2,-20)是“和谐二次函数"y5=5x+20x的顶点.

【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数图

象与系数的关系，根据山、、八y3的解析式求出力的解析式.

五、(本大题共2小题，每小题10分，总计20分)

19.(10分)如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=K(k#0)的图

X

象相交于点A(1,-3)和B(m,-1),连接0A、0B.

(1)求一次函数的解析式；

(2)求AOAB的面积.

【分析】(1)把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解

析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求

出一次函数解析式；

(2)AA0B的面积=4B0D的面积-ZkAOD的面积.

【解答】解：(1)•.•反比例函数y=K(kW0)的图象经过A(l,-3),

X

-3=区.

1

.•.k=-3,

...反比例函数的表达式为y=-2.

X

VB(m,-1)在y=一旦上，

X

Am=3.

.•.B点坐标为(3,-1)；

把A,B两点的坐标代入y=ax+b,得fa+b=-3,

I3a+b=-l

解得：（a=l,

lb=-4

.•.一次函数的表达式为：y=x-4；

（2）当x=0时，y=-4.

.•.D点坐标为（0,-4）.

••SAAOB=SABOD-SAAOD=—X4X3——X4X1=4.

【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系

数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能

力.

20.（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB=BC=18cm,底座

厚度为3cm,水平距离AD=24cm,灯臂与底座构成的NBAD=60°,当

CD_LAD时，灯臂BC与水平线所成的角为a,求此时cosa的值及顶

端C到桌面的高度（结果保留根号）.

【分析】过点B作BFLCD于点F,作BGLAD于点G,根据矩形的性质

得到BG=FD,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：过点B作BFJ_CD于点F,作BG_LAD于点G,

VCE±AD,BF±CD,BG±AD,

...四边形BFDG矩形，

.\BG=FD,

在RtaABG中，ZBAG=60°,AB=18cm,

BG=AB,sin60°=18X?Z^_=6向(cm),AG=AAB=9(cm),

32

VAD=24cm,

.\BF=DG=AD-AG=15(cm),

在RtABCF中，cosa=整=号=尚,CF=7cB2-BF2=V182-152VTT

DC±ob

(cm),

/.CE=CF+DF+DE=(3VTT+6Vs+3)cm,

•••答：此时cosa的值为立,灯罩顶端C到桌面的高度CE是(3JTT+6%

6

3?xc

m.

3

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数

关系是解题关键.

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=）（x,<x2）是此

抛物线上的两点.

(1)求抛物线顶点坐标.

(2)若3N的长度不小于10,求m的最小值.

【分析】(1)把解析式转化为顶点式即可得到顶点坐标.

(2)根据抛物线的性质可得，xz+xi=2,再联立可求出X2和的值.

(2)根据题意可知|x2-x』210,结合抛物线的性质可得xz+xi=2,代

入求出义的取值范围，再结合抛物线增减性可得结论.

【解答】解：(1)Vy=x2-2x=(()(,N的纵坐标相等，

X2+X1=2,

联立"+X2=2,

3x2-x!=10

解得，的值为3；

(3)根据题意可知，x2-x,^10,

■:X2+XI=2,

.,.Xi=2-X2,

**.X2-(2-X2)210,整理得，X226,

•.•的最小值为24.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握含参二次函数的性

质.

七、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)

22.(12分)(1)如图1,在AABC中，D为AB上一点，ZBCD=ZA,求

证：BC?=BD・AB.

(2)如图2,在AABC中，AB=AC,NBAC=36°,CD平分NACB,若

BC=1,求AB的长.

【分析】(1)证明△BDCS/XBAC.由相似三角形的性质可得出坨屈.则

BDBC

可得出结论；

(2)证明△ABCs^CBD,由相似三角形的性质可得出此屈，设BD=

BDBC

x,则AB=x+l,得出工上1,解方程可得出答案.

x1

【解答】(1)证明：•.•NBCD=NA,ZB=ZB,

/.△BDC^ABAC.

•BCAB

,•丽荻.

.,.BC2=BD*AB.

(2)解：VAB=AC,NBAC=36°,

.•.NB=NACB=72°,

〈CD平分NACB,

.\NACD=NBCD=36°=NA,

.*.ZBDC=72°,

.\ZBDC=ZB,

.\BC=CD,

.•.AD=CD=BC=1,

又

AAABC^ACBD,

•BCAB

**BD=BC，

设BD=x,则AB=x+l,

••1•-=-x-+-19

X1

即x2+x-1=0,

解得x=-1土田（负值舍去），

2

.x=,

2__

AB=x+l=+]=1+V^.

22

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决

问题的关键.

八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）

23.（14分）抛物线y=ax2+bx+3（a#0）与x轴交于A（-M，0）,B（3

迎，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,直线1经过B、C两

点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）.

（1）求抛物线解析式及直线1