高考数学复习第六章　第四节　第2课时　余弦定理、正弦定理应用举例（导学案）

第2课时余弦定理、正弦定理应用举例课程标准能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.【必备知识】精归纳1.仰角和俯角在同一铅垂面内目标视线与水平线所成的角,在水平线上方叫仰角,下方叫俯角(如图①).2.方位角从正北方向起按顺时针方向转到目标方向线之间的夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图②).点睛仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i=ℎl=tan【常用结论】对于立体测量问题,通常要转化为两类平面问题,一是竖直放置的平面,通常要解直角三角形;另一类是水平放置的平面,通常要解斜三角形.【基础小题】固根基教材改编结论应用易错易混2,3,651,41.(弄错方向角的含义)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ()A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°解析：选B.灯塔A,B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°,即北偏西10°.2.(教材变式)如图所示,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°解析：选B.依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理的推论得,cos∠CAD=AC2+AD2-又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.3.(教材变式)已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为3km,则A,B两船的距离为 ()A.13km B.15kmC.23km D.32km解析：选A.画出图形如图所示,由题意可得∠ACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=3,在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos150°=13,所以AB=13,即A,B两船的距离为13km.4.(弄错俯角的含义)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度约为(精确到0.1km,参考数据:3≈1.732)()A.11.4km B.6.6kmC.6.5km D.5.6km解析：选B.因为AB=1000×160=50所以BC=ABsin45°·sin30°=5032(km),航线离山顶的高度为h=5032所以山顶的海拔高度约为18-11.4=6.6(km).5.(结论)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为 ()A.102m B.20m C.203m D.40m解析：选D.设电视塔的高度为xm,则BC=x,BD=3x.在△BCD中,由余弦定理得3x2=x2+402-2×40x×cos120°,即x2-20x-800=0,解得x=-20(舍去)或x=40.故电视塔的高度为40m.6.(教材变式)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC= ()A.240(3-1)m B.180(2-1)mC.120(3-1)m D.30(3+1)m解析：选C.记气球在地面的投影为D,在Rt△ABD中,cos15°=60AB又cos15°=cos(60°-45°)=6+所以AB=2406+2.在BCsin45°=ABsin30°,所以BC=sin45°ABsin30【题型一】测量距离问题[典例1]如图,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1km,AC=3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250m,请问:两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C点)?解析：在△ABD中,由题意知∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1km.因为∠ABD=120°,由正弦定理ABsin∠ADB=解得AD=3km.在△ACD中,由AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos150°,得9=3+CD2+23×32×CD即CD2+3CD-6=0,解得CD=33-BC=BD+CD=33-1小王和小李2个小时可徒步攀登1250×2=2500(m),即2.5km,而33-12<36-1所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰.【一题多变】[变式]若将本例条件“BD=1km,AC=3km”变为“BD=200m,CD=300m”,其他条件不变,求这条索道AC的长.解析：在△ABD中,BD=200m,∠ABD=120°.因为∠ADB=30°,所以∠DAB=30°.由正弦定理得BDsin∠DAB=ADsin∠ABD,所以所以AD=200×sin120°sin30°=200在△ADC中,DC=300m,∠ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(2003)2+3002-2×2003×300×cos150°=390000,所以AC=10039m.故这条索道AC的长为10039m.【方法提炼】——自主完善,老师指导距离问题的类型及解法(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【对点训练】1.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程,如图所示,A,B,C为某山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,现需要沿直线AC开通穿山隧道DE,已知BC=52,AD=463,EB=2,则隧道DE的长度为 (A.52+56 B.22+46C.10 D.42+26解析：选D.由已知可得,sin∠BPC=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=22×32-22×1在△PBC中,由正弦定理可得,PB=BCsin30°sin∠BPC=在△PAB中,∠PAB=60°,∠APB=75°,PB=5(3+1),由正弦定理可得,AB=PBsin75°sin60°=所以DE=AB-AD-EB=106+1523-463-2.《九章算术》是中国古代数学专著.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形,上、下底称为“畔”,高称为“正广”,非高腰边称为“邪”.如图所示,邪长为43,东畔长为27,在A处测得C,D两点处的俯角分别为49°和19°,则正广长约为.(注:sin41°≈0.66)

解析：由题可得,∠DAC=49°-19°=30°,在△ACD中,由余弦定理可得DC2=AC2+AD2-2AC·AD·cos30°,代入得:28=AC2+48-12AC,即(AC-2)(AC-10)=0,因为∠ADC>90°,故AC=10,故BC=AC·cos49°=10·sin41°≈6.6.答案:6.6【加练备选】甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 ()A.514小时B.57小时C.145小时D解析：选A.假设经过x小时两船相距最近,甲、乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×12=28x2-20x+100所以当x=514时两船相距最近【题型二】测量高度问题角度1画平面图形求高度[典例2]如图,线段AB表示一信号塔,DE表示一斜坡,DC⊥CE.且B,C,E三点在同一水平线上,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡DE的坡比为3∶7,CE=63米.某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°,站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°(人的身高忽略不计),则信号塔的高度AB为 ()(结果精确到1米)(参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34,sin48°≈710A.54米B.58米C.76米D.85米解析：选D.cos37°=sin37°tan37°≈45,cos48°=在Rt△CDE中,CD=CE×37=63×37在△ACD中,∠CAD=48°-37°,∠ADC=37°+90°,由正弦定理得ACsin(37所以AC=27·sin(在Rt△ABC中,AB=AC·sin48°=27=27·cos37°·sin48角度2立体图形中求高度[典例3]鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A,B,C处分别测得塔顶的仰角为30°,45°,60°,且AB=BC=7069m,则文星塔高为 (A.20m B.703C.803m 解析：选B.如图所示.设文星塔的高为PO=h,则PA=ℎsin30°=2h,PB=ℎsin45°=2h,PC=ℎ由余弦定理可得cos∠PBA=PB2+cos∠PBC=PB2+因为∠PBA+∠PBC=π,故cos∠PBA+cos∠PBC=cos∠PBA+cos(π-∠PBA)=0,即AB2-2ℎ22AB×2ℎ+23ℎ【方法提炼】测量高度问题的求解策略(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键.(2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.【对点训练】1.如图,在离地面高100m的热气球M上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BAC=60°,则山的高度BC为m.

解析：设D为M在地面上的投影,依题意可知△AMD是等腰直角三角形,所以AM=1002m,∠AMC=60°,∠MAC=180°-45°-60°=75°,∠ACM=180°-60°-75°=45°,由正弦定理得ACsin60°=AMsin45°,所以BC=AC·sin60°=AMsin45°·sin260°=10022答案:1502.(2022·西安模拟)飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架直升机以722km/h的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1min后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则直升机飞行的高度为km.(结果保留根号)

解析：如图,过点O作AB的垂线,垂足为E.由题意知∠EOA=60°,∠EOB=75°,∠COB=30°,AB=72260=设OE=x,则AE=xtan∠EOA=3x,BE=xtan∠EOB=xtan(45°+30°)=(2+3)x,所以AB=AE+BE=(2+23)x=625,解得x=所以OB=OEcos75°=OEcos(45°+30°)=325(3+1)×46-2=6答案:2【加练备选】“大玉米”是郑州新地标,被称为“中原第一高楼”,它是圆柱塔式建筑,夜晚其布景灯采用黄色设计,外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上点C处测得塔底B在南偏西70°,楼顶A的仰角为45°,此人沿南偏东50°方向前进280m到点D,测得楼顶A的仰角为30°,按照此人的测量进行估算,则“大玉米”的高约为 ()A.280m B.1503mC.290m D.1703m解析：选A.如图所示,AB⊥平面BCD,其中∠ACB=45°,∠ADB=30°,∠BCE=70°,∠DCE=50°,设塔高AB=xm,则BC=xm,BD=3xm,在△BCD中,由余弦定理得(3x)2=x2+2802-2x·280cos120°,整理得:x2-140x-140×280=0,解得x=280或x=-140(舍去),所以“大玉米”的高约为280m.【题型三】测量角度问题[典例4](2023·大连模拟)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(303-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.解析：(1)在△ABC中,AB=60,BC=303-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(303-30)2-2×60×(303-30)·cos120°=5400,所以AC=306.所以小岛A到小岛C的距离是306海里.(2)根据正弦定理得:ACsin∠ABC=所以306sin120°解得sin∠ACB=22在△ABC中,因为AB<AC,所以∠ACB为锐角,所以∠ACB=45°,所以∠CAB=180°-120°-45°=15°.由75°-15°=60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行,答:游船应该沿北偏东60°的方向航行.【方法提炼】测量角度问题的求解策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.提醒确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.【对点训练】在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(3-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmi