承德市重点中学2025届高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

承德市重点中学2025届高一数学第二学期期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）A．50% B．30% C．10% D．60%2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A． B． C． D．4．已知圆，过点作圆的最长弦和最短弦，则直线，的斜率之和为A． B． C．1 D．5．已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时；③.若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范围是A． B． C． D．6．“”是“函数，有反函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件7．已知数列，满足，若，则（）A． B． C． D．8．高一某班男生36人，女生24人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若抽出的女生为12人，则的值为（）A．18 B．20 C．30 D．369．设满足约束条件,则的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．310．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知实数，满足不等式组，则的最大值为_______.12．如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，，则所有正方形的面积的和为___________.13．设为等差数列，若，则_____．14．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则的前9项和_______.16．如图，长方体中，，，，与相交于点，则点的坐标为______________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱中，，D为AB上一点，且平面.（1）求证：；（2）若四边形是矩形，且平面平面ABC，直线与平面ABC所成角的正切值等于2，，，求三楼柱的体积.18．如图，等腰梯形中，，，，取中点，连接，把三角形沿折起，使得点在底面上的射影落在上，设为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19．已知，是函数的两个相邻的零点.（1）求；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．（3）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．20．已知向量，，函数．（1）若，求的取值集合；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．21．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的单调递增区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率为：故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.2、D【解析】

从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为1．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为a1,a2,a3故选D．【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．3、C【解析】

过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作，交于点，交于，则底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面为中点为中点，则为中点即在线段上，，则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.4、D【解析】

根据圆的几何性质可得最长弦是直径，最短弦和直径垂直，故可计算斜率，并求和.【详解】由题意得，直线经过点和圆的圆心弦长最长，则直线的斜率为，由题意可得直线与直线互相垂直时弦长最短，则直线的斜率为，故直线，的斜率之和为．【点睛】本题考查了两直线垂直的斜率关系，以及圆内部的几何性质，属于简单题型.5、D【解析】

分析：先根据条件确定函数图像，再根据过定点（1，0）的直线与图像关系确定实数k的取值范围.详解：因为，当时；所以可作函数在上图像，如图，而直线过定点A（1，0）,根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为,选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．6、A【解析】

函数，有反函数，则函数，上具有单调性，可得，即可判断出结论．【详解】函数，有反函数，则函数，上具有单调性，．是的真子集，“”是“函数，有反函数”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、反函数、充分条件与必要条件的判定方法，考查推理能力与计算能力，同时考查函数与方程思想、数形结合思想．7、C【解析】

利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值.【详解】，且，，，，所以，，则数列是以为周期的周期数列，.故选：C.【点睛】本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、C【解析】

根据分层抽样等比例抽样的特点，进行计算即可.【详解】根据题意，可得，解得.故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的等比例抽取的性质，属基础题.9、A【解析】

考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：首先作出可行域，再作出直线l0：y=-3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=-3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=-3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=-3x，将l0平移至过点A（3，-2）处时，函数z=3x+y有最大值1．故选A．点评：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．10、C【解析】记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由，即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率，显然直线的斜率最大，又由，解得，则，所以的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．12、【解析】

根据题意可知，可得，依次计算，，不难发现：边长依次为，，，，构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，，不难发现：边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．【详解】根据题意可知，可得，依次计算，，是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，，边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．所有正方形的面积的和．故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题．13、【解析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。14、【解析】

先求出点B的坐标，再求出M的坐标.【详解】由题得B(4,6,0),,因为M点是中点，所以点M坐标为.故答案为【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、117【解析】

由成等比数列求出公差，由前项公式求和．【详解】设数列是公差为，则，由成等比数列得，解得，∴．故答案为：117.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，考查等比数列的性质．解题关键是求出数列的公差．16、【解析】

易知是的中点，求出的坐标，根据中点坐标公式求解.【详解】可知，，由中点坐标公式得的坐标公式，即【点睛】本题考查空间直角坐标系和中点坐标公式，空间直角坐标的读取是易错点.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见详解；（2）【解析】

（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可得，从而可得为的中点，进而可证出（2）利用面面垂直的性质定理可得平面，从而可得三棱柱为直三棱柱，在中，根据等腰三角形的性质可得，进而可得棱柱的高为，利用柱体的体积公式即可求解.【详解】（1）连接交于点，连接，如图：由平面，且平面平面,所以，由为的中点，所以为的中点，又，（2）由四边形是矩形，且平面平面ABC，所以平面，即三棱柱为直三棱柱，在中，，，，所以，因为直线与平面ABC所成角的正切值等于2，在中，，所以..【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，同时考查了线面角以及柱体的体积公式，属于基础题.18、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）取的中点，取的中点，连接、、、、，可知、均为等边三角形，可证明出平面，从而得出，再证明出四边形为平行四边形，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得，从而可得出，再利用线面垂直的判定定理可证明出平面；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，证明出平面，可得知二面角的平面角为，计算出直角三角形三边边长，即可求出，即为所求.【详解】（1）如下图所示，取的中点，取的中点，连接、、、、，在等腰梯形中，，，，为的中点，所以，，又，则，为等边三角形，同理可知为等边三角形，为的中点，，，，平面，平面，，由于和是边长相等的等边三角形，且为的中点，，为的中点，.在等腰梯形中，且，则四边形为平行四边形，、分别为、的中点，且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，，，，平面；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，由于点在平面内的射影点在上，则平面平面，由（1）知，，又平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，在中，，，，，，因此，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求法，解题的关键就是找出二面角的平面角，通过解三角形来求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19、(1)；(2)；(3)【解析】

（1）先化简，再根据函数的周期求出的值，从而得到的解析式；（2）将问题转化为，根据三角函数的性质求出的最大值，即可求出实数的取值范围；（3）通过方程的解与函数图象之间的交点关系，可将题意转化为函数的图象与直线有两个交点，即可由图象求出实数的取值范围．【详解】（1）．由题意可知，的最小正周期，∴，又∵，∴，∴（2）由得，，∴，∵，∴，∴．∴，即，∴，所以（3）原方程可化为即，由，得时，，的最大值为2，∴要使方程在上有两个不同的解，即函数的图象与直线有两个交点，由图象可知，即，所以【点睛】本题主要考查三角函数的图象与