高考数学复习第一章　第二节　充要条件与量词（导学案）

第二节充要条件与量词1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.4.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p2.全称量词与存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给等∀

存在量词存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的等∃

3.全称量词命题和存在量词命题及其否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,p(x)∀x∈M,p(x)点睛对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件;(3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件;(5)若A=B,则p是q的充要条件.2.命题p与p的否定的真假性相反.教材改编结论应用易错易混1,2,53,461.(教材变式)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 ()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.2.(教材变式)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.因为四边形ABCD为菱形,得到对角线AC⊥BD,所以充分性成立,若四边形ABCD中对角线AC⊥BD,四边形不一定是菱形,必要性不成立.3.(结论1)使-2<x<2成立的一个充分条件是()A.x<2 B.0<x<2C.-2≤x≤2 D.x>0解析：选B.记A={x|-2<x<2},使-2<x<2成立的一个充分条件对应的集合为B,则B⊆A,据此逐项判断,可知B正确.4.(结论2)命题“存在x∈R,使x2+ax-4a<0为假命题”是命题“-16≤a≤0”的 ()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.依题意,知x2+ax-4a≥0恒成立,则Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.5.(教材提升)(多选题)下列命题是真命题的是 ()A.∀x∈R,x2-x+1>0B.∃x∈R,sinx=2C.存在一个无理数,它的平方是有理数D.平面内,到A,B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上解析：选ACD.∀x∈R,x2-x+1=x-122+34>0,A是真命题;∀x∈R,-1≤sinx≤1,B是假命题;2是无理数,它的平方是有理数,C是真命题;D是真命题.6.(忽视省略的量词)设命题p:正方形都是平行四边形,则p为.

解析：因为p为全称量词命题,所以p应为存在量词命题,且对结论否定.故p为“有的正方形不是平行四边形”.答案:有的正方形不是平行四边形充分、必要条件的判断[典例1](1)(2022·岳阳模拟)“x=2022”是“x2-2022x+2021=0”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选D.因为x2-2022x+2021=(x-1)(x-2021)=0,x=1或x=2021,所以“x=2022”是“x2-2022x+2021=0”的既不充分也不必要条件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.若a=b成立,由向量相等得到两向量的长度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,两个向量的方向不同,则推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.(3)(2023·重庆模拟)已知p:x-1x+2≤0,q:-2≤x≤1,则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A.关于p:x-1x+2≤0,所以(x-1)(x+2)≤0(4)(2022·珠海模拟)《墨子·经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必无然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的.(选“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空)

解析：由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件,故“小故”指的是逻辑中的必要条件.答案:必要条件 ——自主完善,老师指导判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法:①弄清条件p和结论q分别是什么;②尝试p⇒q,q⇒p;③根据定义进行判断.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断.提醒定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.1.在△ABC中,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.在△ABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠B=90°,即△ABC为直角三角形,若△ABC为直角三角形,推不出∠B=90°,所以AB2+BC2=AC2不一定成立,综上,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.2.(2023·宁波模拟)设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.因为A={x|x-2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.3.(2023·盐城模拟)在等比数列{an}中,公比为q,已知a1=1,则0<q<1是数列{an}单调递减的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得,等比数列{an}的首项为a1,公比为q,所以an=a1qn-1=qn-1,由指数函数的单调性得,若0<q<1,则an=qn-1单调递减,若an=qn-1单调递减,则0<q<1,综上,a1=1,则0<q<1是数列{an}单调递减的充要条件.【加练备选】已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,①若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;②若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由①②知,充分性成立.(2)必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与角β的终边重合或角α与角β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立.充分、必要条件的探究与应用[典例2](1)“方程ax2+2x-1=0至少有一个正实数根”的充要条件是.

解析：当a=0时,方程为2x-1=0,解得x=12,满足题意.当a>0时,因为Δ=4+4a>0,所以方程恒有两个解,且x1x2=-1a<0,两根一正一负,满足题意.当a<0时,若Δ=4+4则a≥-1,即-1≤a<0,此时x1x2=-1a>0,x1+x2=-2a综上所述,a≥-1.答案:a∈[-1,+∞)(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是.

解析：由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则1-m≤1+m所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].答案:[0,3][变式1]若本例(2)将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”,则m的取值范围是.

解析：由例题得,若x∈P是x∈S的必要条件,则0≤m≤3,当m=0时,S={1},不充分;当m=3时,S={x|-2≤x≤4}也不充分,故m的取值范围为[0,3].答案:[0,3][变式2]若本例(2)将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”,其他条件不变,则m的取值范围是.

解析：由已知可得P={x|-2≤x≤10},因为非P是非S的必要不充分条件,所以S是P的必要不充分条件,所以x∈P⇒x∈S且x∈Sx∈P.所以[-2,10]⫋[1-m,1+m].所以1-m所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞) ——自主完善,老师指导1.充分、必要条件的探求类型含义探求p成立的充分不必要条件探求的条件⇒p;p探求的条件探求p成立的必要不充分条件探求的条件p;p⇒探求的条件探求p成立的充要条件探求的条件⇒p;p⇒探求的条件2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点(1)转化:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)检验:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.1.已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要不充分条件是 ()A.a+b≠0 B.a2+b2≠0C.a3+b3≠0 D.1a+1解析：选B.对于A,令a=1,b=-1,推不出a+b≠0,故A错误;对于B,由“ab≠0”得:a≠0且b≠0,故a2+b2≠0,反之,若a2+b2≠0,推不出ab≠0,比如a=1,b=0,故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分条件,故B正确;对于C,令a=1,b=-1,推不出a3+b3≠0,故C错误;对于D,令a=1,b=-1,推不出1a+1b2.若关于x的不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是.

解析：|x-1|<a⇒1-a<x<1+a,因为不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,所以(0,4)⊆(1-a,1+a),所以1-a≤0,答案:[3,+∞)【加练备选】1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0.如果p是q的充分不必要条件,那么实数k的取值范围是 ()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(-∞,-1]解析：选B.由q:(x+1)(2-x)<0,可知q:x<-1或x>2.因为p是q的充分不必要条件,所以x≥k⇒x<-1或x>2,即[k,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.2.角A,B是△ABC的两个内角.下列四个条件下,“A>B”的充要条件是 ()A.sinA>sinB B.cosA>cosBC.tanA>tanB D.cos2A>cos2B解析：选A.当A>B时,根据“大边对大角”可知,a>b,由于asinA=bsinB,所以sinA>sinB,反之也成立,则选项A是“由于0<B<A<π,余弦函数y=cosx在区间(0,π)内单调递减,所以cosA<cosB,则选项B不是“A>B”的充要条件;当A>B时,若A为钝角,B为锐角,则tanA<0<tanB,则选项C不是“A>B”的充要条件;当cos2A>cos2B,即1-sin2A>1-sin2B,所以sin2A<sin2B,即sinA<sinB,所以选项D不是“A>B”的充要条件.全称量词命题与存在量词命题角度1含有量词的命题的否定[典例3](1)(2023·益阳模拟)命题“∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0”的否定是 ()A.∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c≥0B.∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c<0C.∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0D.∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c<0解析：选B.命题“∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0”的否定为∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c<0.(2)(2022·潍坊模拟)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解.”经历三百多年,1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为 ()A.对任意正整数n,关于x,y,z的方程xn+yn=zn都没有正整数解B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解解析：选D.命题为全称量词命题,则命题的否定为:存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解.角度2命题的真假判断及应用[典例4]金榜原创·易错对对碰(1)①若命题“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,则a的取值范围是.

②若命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是.

解析：①“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,当a=0时,则有-1<0;当a≠0时,则有a<0且Δ=(-a)2-4×a×(-1)=a2+4a<0,解得-4<a<0,综上所述,实数a的取值范围是(-4,0].答案:(-4,0]②命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,即“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命题,故Δ=4a2-12≤0,解得-3≤a≤3.即实数a的取值范围为[-3,3].答案:[-3,3](2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是解析：当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=14-m由f(x)min≥g(x)min,得0≥14-m,所以m≥1答案:1 ——自主完善,老师指导1.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法全称量词命题(1)要