2025版高考数学一轮总复习考点突破第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系

考点一直线与圆的位置关系例1（1）[2021年新课标Ⅱ卷]【多选题】已知直线l:ax+by-r2=A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切解：对于A，因为点A在圆C上，所以a2+b2=r2.圆心C0,0到直线l的距离d=r对于B，因为点A在圆C内，所以a2+b2<r2.圆心C0,0到直线l的距离d=r对于C，因为点A在圆C外，所以a2+b2>r2.圆心C0,0到直线l的距离d=r对于D，因为点A在直线l上，所以a2+b2=r2.圆心C0,0到直线l的距离d=r2a2+（2）若过点A4,0的直线l与圆x-2A.(-3,3) B.[-3,3] C.(-3解：显然直线l的斜率存在.（方法一）设直线l的方程为y=kx-4.联立x-22+y2=1,y（方法二）设直线l的方程为y=kx-4.直线l与圆有公共点，则圆心2,0到直线l:kx-y-【点拨】判断直线与圆的位置关系常见的方法.①几何法：利用d与r的关系.②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题.变式1（1）直线l:kx-y+A.0 B.1 C.2 D.1或2解：将直线l的方程变形为kx+2+1-y=0，x+2=0,1-y=0,可得x=-2,y=1,所以直线l（2）[2020年浙江卷]已知直线y=kx+bk>0与圆x2+y2解：由题意，两圆圆心C1,C2到直线y=kx+b的距离都等于半径，即bk2+12=4k+bk2+12=1考点二圆与圆的位置关系例2（1）当实数k为何值时，两圆C1：x解：将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：x+22+y-3圆C2的圆心为C21,7从而C1当50-k-即14<k当1+50-k当50-k-1所以当k=14或k当50-k+1（2）圆C1:x2+y2-2x+10y解：联立x2+y2-2x设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-【点拨】①判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.②若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y变式2（1）【多选题】已知圆C：x2+y2-A.-3 B.3 C.2 D.解：圆C的标准方程为x-a2+y2=1，圆心为a,0，半径r依题意,两圆的圆心距d满足r1-r2<d<r1+故选CD.（2）若圆x2+y2=a2与圆xA.2 B.±2 C.1 D.解：两圆的方程作差，可得公共弦所在的直线方程为a2+ay-6=0.原点O到直线a2+ay-6=0考点三直线与圆的位置关系的综合问题命题角度1圆的弦长问题例3【多选题】已知圆C:x-12A.直线l恒过定点2B.圆C被y轴截得的弦长为2C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2xD.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x解：对于A，将直线l的方程整理为m2x+y-3+-x-y+1=0，由-x对于B，将x=0代入圆C的方程，得y-12=15，解得y=1±15，故圆C对于C，圆心1,1到直线l的距离d=12m-12+m-12,显然d对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直于圆心C与定点M的连线.kCM=1+11-2=-2,则直线l的斜率为12，此时直线l的方程为y+【点拨】弦长的两种求法.①代数法.将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.②几何法.若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l变式3（1）已知直线l:x+my-1=0与圆x-22A.-3 B.-1 C.1解：圆x-22+y+12=4的圆心为C2,-1.由圆的性质,可知当直线l过圆心时，弦长AB（2）[2023年新课标Ⅱ卷]已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-12+y2=4交于A，B解：设点C1,0到直线AB的距离为d，由弦长公式,得AB=24-d2.所以S△ABC=12×d×24-d2=85，解得d=455或d=25命题角度2圆的切线问题例4已知圆C：（1）与直线l：解：设切线方程为2x+y+m=0，则（2）过点A4[答案]可知点A4,-1在圆上，故其为切点.因为kAC=-2+11【点拨】①求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.②若能熟记本节常用结论,往往能更快速求解,如例4第（2）问,直接用x-变式4（1）已知直线l:x+2y-1=0及圆C:x+12+yA.455 B.255 C.解：根据题意，知圆C的圆心C-1,-2，半径r当PC取得最小值时，PA取得最小值.又PC的最小值为点C到直线l的距离d=-1+2×-2-11（2）[2022年新课标Ⅰ卷]写出与圆x2+y2=1解：圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1.圆x-32+如图，当切线为l时，因为kOO1=设l的方程为y=-34x+tt>0,则点O到l的距离d=当切线为m时，设m的方程为kx+y+p=0由题意,得∣p∣1+所以y=当切线为n时，易知n的方程为x=-故填x=-课外阅读·“隐形圆”问题在解析几何问题中，有些问题的条件并没有直接给出圆的信息，而是隐藏在题目中，需要分析、转化发现“隐形圆”，进而求解，这是数形结合的体现.常见确定“隐形圆”的方法如下：①利用圆的定义或者垂直关系（动点与两定点连线的夹角为直角等）确定“隐形圆”；②利用圆的性质（圆周角的性质、四点共圆等）确定“隐形圆”；③利用代数关系式确定“隐形圆”，如对于两定点A，B，动点P满足PA=λPB（阿波罗尼斯圆）、PA⋅PB1.已知原点到直线l的距离为1,圆x-22+y-5A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解：原点到直线l的距离