2.2 基本不等式（第2课时）（教学设计）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第第页教学单元第二章一元二次函数、方程和不等式教学内容2.2基本不等式（第2课时）教学目标学习目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。核心素养1.通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；2.能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养； 3.会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。教学重难点重点：利用基本不等式求最值；利用基本不等式解决实际应用问题．难点：基本不等式的应用；基本不等式求最值．学情分析学生在上一节学习了基本不等式的定义及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，解决求最值过程中的易犯错误的处理方法，并求解了实际应用问题中的最值，所以学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入根据上一节课的知识，我们了解了基本不等式与最值的关系，如下：已知x，y都是正数，则1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．2.若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．【想一想】下面这些结论是否正确？(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.()(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq\r(2).()(3)当x>1时，函数y＝x＋eq\f(1,x－1)≥2eq\r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq\r(\f(x,x－1)).()(4)若x∈R，则x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2.()

2PS24（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.通过探究，引导学生发现利用基本不等式求最值时的常见错误，在此基础上引导学生总结利用基本不等式求最值需要注意的问题，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。新知讲授【知识一：利用基本不等式求实际问题的最值】例1.（1）用篱笆围一个面积为100 （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2(x+y)m.（1）由已知得xy=100.由x+y2 ⩾所以2(x+y) ⩾ 40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立.故当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy 由xy ⩽ x+y2=因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元.根据题意，有z=150×4800由容积为4800 m3因此xy=1600.所以z ⩾ 此时z=297600.所以将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养【知识二：基本不等式求最值的几种方法】1.配凑法若x＜0，求12x2.常值代换已知x＞0，y＞0，且1x＋9因为x＜0，所以12x＋3x＝－≤－2

12当且仅当－12x所以12x∵x＞0，y＞0，1x＋9∴x＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝yx＋当且仅当yx＝9xy，1故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。课堂练习1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？2.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？3.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？解：设矩形的长为a，宽为b，则由题意得a＋2b＝30，所以当且仅当a＝2b＝15时取等号．故当矩形的长为15m，宽为7.5m时，菜园的面积最大，最大面积为112.5m2．解：设底面的长为a，宽为b，则由题意得2ab＝32，即ab＝16．所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥当且仅当a＝b＝4时取等号．即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．解：设矩形的长为a，宽为b，则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18．因为旋转形成的圆柱的侧面积为：，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由基本不等式得当且仅当a＝b＝9时取等号．故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。课堂小结1、已知x,y都是正数,P,S是常数.①如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2p.②如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值s22、利用基本不等式求最值时，要注意一正二定三相等3、数学建模需注意的问题实际情境