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第三节万有引力理论的成就第七章万有引力与宇宙航行1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用; 2.会用万有引力定律计算天体质量;3.理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。学习目标复习回顾1.物体做圆周运动的向心力公式是什么?分别写出向心力与线速度、角速度以及周期的关系式。2.万有引力定律的内容是什么?如何用公式表示?重力是万有引力的一个分力,当忽略了地球的自转时,可认为重力在数值上就等于万有引力大小。3.重力和万有引力的关系?θFnRMGmwrF引物体m在纬度为θ的位置,万有引力指向地心,分解为两个分力:m随地球自转围绕地轴运动的向心力和重力。“给我一个支点,我可以撬动球。”新课导入那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢?称量地球的质量1.思路:地球的质量不可能用天平称量。万有引力定律是否能给予我们帮助呢?重力是万有引力的一个分力,当忽略了地球的自转时,可认为重力在数值上就等于万有引力大小。称量地球的质量1.分析:若不考虑地球自转的影响,地面上物体的重力等于地球对它的引力。M=其中g、R在卡文迪许之前已经知道,而卡文迪许测出G后,就意味着我们也测出了地球的质量。卡文迪许把他自己的实验说成是“称量地球的重量”是不无道理的。著名文学家马克·吐温满怀激情地说:“科学真是迷人。根据零星的事实,增添一点猜想,竟能赢得那么多收获!”称量地球的质量天体质量的计算思考:应用万有引力可算出地球的质量,能否算出太阳的质量呢?1、地球公转实际轨道是什么形状?为了解决问题的方便,我们通常可以认为地球在绕怎样的轨道做什么运动?近似天体质量的计算2、地球作圆周运动的向心力是由什么力提供的?rMmF天体质量的计算rMmF地球公转角速度ω不能直接测出,但我们知道地球公转的周期T(M与m无关)天体质量的计算中心天体M环绕天体m求解思路:环行天体的向心力由中心天体对其万有引力独家提供具体方法:注意:待求天体(M)的质量与环行天体(m)的质量无关拓展:利用月球求地球质量天体质量的计算月球绕地球运行的周期T=27.3天,月球与地球的平均距离r=3.84×108mM地=5.98×1024kg天体密度的计算当星球绕中心天体表面运行时,r=R:黄金替换质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力,即G=mg。可以得到:GM=gR2由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住,而g和R容易记住。所以粗略计算时,一般都采用上述代换,这就避开了万有引力常量G值和地球的质量M值线速度v:v=角速度ω:ω=周期T:向心加速度an:发现未知天体——海王星在1781年发现的第七个行星—天王星的运动轨道,总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离。当时有人预测,肯定在其轨道外还有一颗未发现的新星,这就是后来发现的第八大行星—海王星。
海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料各自独立地利用万有引力定律计算出来的。预言哈雷彗星回归:英国天文学家哈雷依据万有引力定律,用一年时间计算24颗彗星的轨道,并大胆猜测在1531年、1607年、1682年出现的三颗彗星是同一颗星,周期约为76年。海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。常考题型题组一计算天体质量和密度题1(1)开普勒第三定律指出:行星绕太阳运动椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即=k,k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式(已知引力常量为G,太阳的质量为M太);常考题型(2)开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立。经测定月地距离为3.84×108m,月球绕地球运动的周期为2.36×106s,地球半径取6400km,试估算地球的质量M和密度ρ。(G=6.67×10-11N•m2/kg2,计算结果均保留一位有效数字)【解】(1)根据牛顿第二定律:=ma,又根据开普勒第三定律:k=,由上两式得:k=(2)对地月系统:=,得:M地=≈6×1024kg。地球的密度ρ==≈5×103kg/m3。【点评】开普勒第三定律中的k是一个与中心天体质量有关的常量。计算天体质量的两个基本思路思路一(环绕法):将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动,所需向心力是由万有引力提供的。有如下关系:G=m=mr。思路二(重力加速度法):中心天体表面上物体的重力与所受万有引力相等,mg=。天体密度的计算方法(1)利用中心天体表面的重力加速度求密度
其中g为天体表面重力加速度,R为天体半径。(2)利用中心天体的卫星求密度
其中R为待求天体半径,r为卫星的轨道半径。题2某星球的半径为R,表面的重力加速度为g,引力常量为G,则该星球的平均密度为()A. B. C. D.
【解析】根据重力近似等于星球的万有引力,有解得M=。把该星球看做均匀球体,则星球体积为V=,则其密度为。【答案】
B“黄金代换法”的应用技巧在不考虑地球自转的影响时,在地球附近mg=,化简得gR2=GM。此式通常叫做黄金代换式,适用于任何天体,主要用于天体的质量M未知的情况下,用该天体的半径R和表面的“重力加速度”g代换M。题3人造卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v,轨道半径为r,已知引力常量为G,根据万有引力定律,可算出地球的质量为()A. B. C. D.A【特别提醒】求中心天体的质量时,需要知道的半径是以该天体为圆心做圆周运动的轨道半径,不是中心天体的半径,也不是做圆周运动的天体的半径。题4有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍,则该星球的质量将是地球质量的()A. B.8倍 C.16倍 D.64倍B题5“嫦娥四号”探测器已于2019年1月3日在月球背面安全着陆,开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。已知月球半径为R0,月球表面处重力加速度为g0,地球和月球的半径之比为,表面重力加速度之比为,则地球和月球的密度之比为()A. B. C.4 D.6B题6如图所示,“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道,观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ弧度,已知引力常量为G,则月球的质量是()A. B. C. D.C题7
地球表面的重力加速度为g,则离地面高度等于地球半径的地方,重力加速度为()A.0.25g B.0.5g C.2g D.4g【解析】地面上方高h处:mg′=G,地面上mg=G,联立解得g′=0.25g。【答案】A题组二天体表面及离天体某高度处的重力加速度题8航天员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0 B. C. D.
B题9假设火星和地球都是球体,火星质量M火和地球质量M地之比为M火∶M地=p,火星半径R火和地球半径R地之比为R火∶R地=q,那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火∶g地等于()A.pq2 B. C.pq D.D题10
已知地题球质量为月球质量的81倍,地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处,以相同的初速度水平抛出物体,抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地,则s月∶s地约为()A.9∶4 B.6∶1 C.3∶2 D.1∶1【解析】对于处在星球表面的物体,其所受的重力近似等于万有引力,由公式=mg,代入数据可解得=;又由平抛运动的规律可知s=vt,t=,整理得s=,则s月∶s地=9∶4。【答案】A题组三万有引力定律与抛体运动知识的综合应用题11某星球的质量约为地球的9倍,半径约为地球的一半,若从地球上高h处平抛一物体,射程为60m,则在该星球上,从同样高度、以同样的初速度平抛同一物体,射程应为()A.10m B.15m
C.90m
D.360mA内容小结1.万有引力定律在天文学中的应用,一般有两条思路:地面(或某星球表面)的物体的重力近似等于万有引力(2)环绕天体所需的向心力由中心天体对环绕天体的万有引力提供2.了解了万有引力定律在天文学中具有的重要意义。谢谢《3万有引力理论的成就》分层练习第七章万有引力与宇宙航行梳理教材夯实基础011.思路:地球表面的物体,若不考虑地球自转的影响,物体的重力等于_________
.2.关系式:mg=
.3.结果:m地=
,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量.4.推广:若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径,可计算出该星球的质量.“称量”地球的质量一地球对物体的引力计算天体的质量二1.思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,
充当向心力.行星与太阳间的万有引力3.结论:m太=
,只要再知道引力常量G,行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量.4.推广:若已知引力常量G,卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离,可计算出行星的质量.1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生
和法国年轻的天文学家
根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日,德国的
在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.2.其他天体的发现:海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质.近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了
、阋神星等几个较大的天体.发现未知天体三亚当斯勒维耶伽勒冥王星英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道,他大胆预言这三颗彗星是同一颗星,周期约为
,并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了
点,它最近一次回归是1986年,它的下次回归将在
年左右.预言哈雷彗星回归四76年近日2061即学即用1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(
)(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径,则可以求出太阳的质量.(
)(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径,可以求出地球的质量.(
)(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(
)(5)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.(
)×××√√2.已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,地球表面的重力加速度g=9.8m/s2,地球半径R=6.4×106m,则可知地球的质量约为__________.(结果保留一位有效数字)6×1024kg探究重点提升素养02天体质量和密度的计算一导学探究1.卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人”.(1)他“称量”的依据是什么?答案若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力;(2)若已知地球表面重力加速度g,地球半径R,引力常量G,求地球的质量和密度.2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量吗?若要求太阳的密度,还需要哪些量?知识深化天体质量和密度的计算方法
重力加速度法环绕法情景已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力:mg=G天体质量天体密度说明g为天体表面重力加速度,未知星球表面重力加速度通常利用实验测出,例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动这种方法只能求中心天体质量,不能求环绕星体质量T为公转周期r为轨道半径R为中心天体半径例1
假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,已知引力常量为G,忽略该天体自转.(1)若卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1,则该天体的密度是多少?解析设卫星的质量为m,天体的质量为M.卫星距天体表面的高度为h时,(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2,则该天体的密度是多少?例2
若有一星球密度与地球密度相同,它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍,则该星球质量是地球质量的A.27倍 B.3倍 C.0.5倍 D.9倍√天体运动的分析与计算二1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动,所需向心力由中心天体对它的万有引力提供.由以上关系式可知:①卫星的轨道半径r确定后,其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的,与卫星的质量无关,即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小.②卫星的轨道半径r越大,v、ω、an越小,T越大,即越远越慢.例3在轨卫星碰撞产生的大量碎片会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆,甲的运行速率比乙的大,则下列说法中正确的是A.甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的向心加速度一定比乙的大由于两碎片的质量未知,无法判断向心力的大小,故C错;√例4如图1所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星,它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是√图1解析两卫星均做匀速圆周运动,则有F万=F向.随堂演练逐点落实031.(天体质量的计算)(多选)已知下列哪组数据,可以算出地球的质量M(引力常量G已知)A.月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1B.地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2C.人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3D.地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R41234√√52.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705
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