江西省部分学校2024届高三下学期5月月考数学试题

2023~2024学年度第二学期月考考试高三数学试题姓名：分数：卷I（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】用列举法表示集合A，解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，，则．故选：C2.已知复数满足，则（）A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】设，根据条件得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】令，则，所以，解得，所以，故，故选：D.3.已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解.【详解】因为双曲线C：经过点，所以，渐近线方程为.故选：B4.已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，列出方程求解即可．【详解】由得，，即，解得，故选：B．5.羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由全概率公式即可求解.【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是，第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是，第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是，由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为.故选：C.6.已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（）A.或1 B.或1 C. D.【答案】A【解析】【分析】分别利用等比数列的通项公式和前项和公式，解方程组可得或.【详解】设等比数列首项为，公比为，依题意得，解得或.故选：A.7.在中，，，，则点A到边的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意，根据求出，根据余弦定理求出，设点到边的距离为，然后根据三角形面积公式，求出答案.【详解】在中，由，所以，解得，.由余弦定理有，故.设点到边的距离为，由三角形面积公式得：，故，故选：A.8.已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出球心到平面的距离，再利用球的截面小圆性质求出截面圆半径即可.【详解】正方体的外接球球心是的中点，而，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，又平面过线段的中点P，因此点与点到平面的距离相等，由平面，，得平面，在平面内过作于，而平面，于是，又，从而，又球的半径，则正方体的外接球被平面截得的截面圆半径，有，所以正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积.故选：D二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.未全对给3分，全对6分.）9.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A.若，，，则B.，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】BCD【解析】【分析】根据垂直关系的转化与判定定理和性质定理，即可判断选项.【详解】A.若，，，不能推出或，则不能推出，故A错误；B.若，，则，又，所以，故B正确；C.若，，则，又，所以，故C正确；D.若，，，说明与和垂直的法向量互相垂直，则，故D正确.故选：BCD10.设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（）A.的准线方程为 B.的值为2C. D.的面积与的面积之比为9【答案】BD【解析】【分析】设直线的方程为，，利用根与系数的关系及抛物线的性质进行计算，从而判定各选项.【详解】设直线的方程为，，联立，可得，所以，，因为，所以，故，因为，由抛物线定义可得，，，则，解得或，因为，所以，则的准线方程为，故B正确，A错误；又的方程为，，，把代入可得，，不妨设，则，故C错误；设到直线的距离为，的面积，的面积，则的面积与的面积之比，故D正确.故选：BD.11.已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（）A.的图像关于点对称 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合和，化简得到，可判定B不正确；令，得到，得到函数和是以4为周期的周期函数，结合，可判定C正确；结合，，，得到，结合是以4为周期的周期函数，进而求得的值，即可求解.【详解】对于A中，设函数的图象关于对称，则关于对称，可得关于对称，因为函数的图像关于点对称，可得，解得，所以函数的图象关于对称，所以A正确；对于B中，由函数的图象关于对称，可得，因为，可得，则，两式相减得，即，所以B不正确；对于C中，令，可得，因为，所以，所以函数是以4为周期周期函数，由，可得，所以，因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数，所以，由，可得，即，令，可得，所以，所以，所以，所以C正确；对于D中，因为，且函数关于对称，可得，又因为，令，可得，所以，再令，可得，所以，由，可得，可得又由函数是以4为周期的周期函数，且，所以，所以D正确.故选：ACD.【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论（1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数），则①；②；③.（2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数），则①；②；③.（3）对于函数，若其图象关于点对称，则①；②；③.卷II（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.设，，若，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】运用基本不等式求出的范围，再对的分子运用基本不等式，放缩为，再根据等号成立条件，运用不等式的传递性求解即可.【详解】由，，，得，所以，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以，两个不等式等号成立条件相同，所以，当且仅当时，取得最小值.故答案为：.13.抽样统计得到某班8名女生的身高分别为，则这8名女生身高的第75百分位数是______.【答案】159【解析】【分析】利用百分位数的估计公式计算可得.【详解】将数据由小到大排列为：，由，得第75百分位数是.故答案为：15914.已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】利用投影向量公式计算即可.【详解】设与的夹角为，因为，即，又，则，即．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据条件概率公式的定义或者公式，即可求解；（2）首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望.【小问1详解】角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则，,所求概率；【小问2详解】的所有可能取值为.，，，，的分布列为：0123,均值.16.如图，在三棱锥中，平面平面，点为的重心，．（1）若平面，求的长度；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)连接并延长与交于点，连接，由线面平行的性质定理得，再利用G为重心得到，求出AD，再利用勾股定理求出BD长即可.(2)以BC中点O为坐标原点建系，求出PD的方向向量与平面PAB的法向量，再利用线面角与这两个向量夹角之间的关系计算即可.【小问1详解】连接并延长与交于点，连接，所以平面平面．因为平面平面所以又因为为的重心，所以．所以．所以，即．所以在中，，则．【小问2详解】设为的中点，连接．因为平面平面又因为所以，且平面平面，所以平面，如图所示，分别以为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，所以，因为，所以又因为，所以，所以．所以，又因为．不妨设平面的法向量，所以所以，可取设直线与平面所成的角为，所以．即直线与平面所成的角的正弦值为.17.在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．（1）求角；（2）若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，两式联立可得，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，，故，，即，又，则．【小问2详解】由（1）可知，，又外接圆的半径为；由正弦定理可知，所以，因为是的平分线，故，又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．所以，又，则，所以.18.已知正项数列的前项和为，，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.【小问1详解】当时，由，即，解得：，所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；所以，则，当时，，当时，满足条件，所以的通项公式为【小问2详解】由（1）知，，所以，故，即19.已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明；（2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.【小问1详解】因为函数的定义域为，当时，.要证，只需证：当时，.令，则，则在单调递增，所以，即.【小问2详解】，令，则.所以在单调递增，，①时，，.则在为增函数，在上无极