广西柳州市融水苗族自治县中学2023-2024学年数学高一下期末达标检测试题含解析

广西柳州市融水苗族自治县中学2023-2024学年数学高一下期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，且，则（）A． B． C． D．2．计算的值为（）A． B． C． D．3．已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（）A． B． C． D．4．已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A．9 B．7 C．5 D．35．已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为()A． B． C． D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为（）A． B．1 C． D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的()A．3 B．4 C．5 D．68．已知一直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（）A．-6 B．-4 C．2 D．69．已知非零向量与的夹角为，且，则（）A．1 B．2 C． D．10．圆心在(-1,0),半径为的圆的方程为()A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升；12．已知是奇函数，且，则_______．13．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________.14．半径为的圆上，弧长为的弧所对圆心角的弧度数为________．15．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____.16．已知：，则的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中，每一行的第一个数，，，，…构成等差数列，是的前n项和，且，（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；（2）设，对任意，求及的最大值．18．设向量、满足，，.（1）求的值；（2）若，求实数的值.19．已知，且.(1)求的值；(2)求的值.20．已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.（1）求圆的标准方程：（2）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，请说明理由.21．已知圆与轴交于两点，且（为圆心），过点且斜率为的直线与圆相交于两点（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）若向量与向量共线（为坐标原点），求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据，，利用平方关系得到，再利用商数关系得到，最后用两和的正切求解.【详解】因为，，所以，所以，所以．故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式和两角和的正切公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2、D【解析】

直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：，故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.3、A【解析】

根据单位向量的定义即可求解.【详解】,向量的方向相反的单位向量为，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的单位向量的概念，属于中档题.4、B【解析】

先对函数进行配凑，使得能够使用均值不等式，再利用均值不等式，求得结果.【详解】因为故当且仅当，即时，取得最小值.故，则.故选：B.【点睛】本题考查均值不等式的使用，属基础题；需要注意均值不等式使用的条件.5、C【解析】

分别求出设关于直线对称的点，关于对称的点，当共线时，的周长取得最小值，为，利用两点间的距离公式，求出答案.【详解】过两点的直线方程为设关于直线对称的点，则，解得即，同理可求关于对称的点，当共线时的周长取得最小值为.故选C．【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题.6、D【解析】

根据正弦定理将已知等式化简得，再根据差角正切公式以及基本不等式可得结论.【详解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，当且仅当，即时取等号.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.7、C【解析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得

S=0，n=1

S=2，n=2

满足条件S＜30，执行循环体，S=2+4=6，n=3

满足条件S＜30，执行循环体，S=6+8=14，n=4

满足条件S＜30，执行循环体，S=14+16=30，n=1

此时，不满足条件S＜30，退出循环，输出n的值为1．

故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8、C【解析】

根据倾斜角为得到斜率，再根据两点斜率公式计算得到答案.【详解】一直线经过两点，，则直线的斜率为．直线的倾斜角为∴，即．故答案选C．【点睛】本题考查了直线的斜率，意在考查学生的计算能力.9、B【解析】

根据条件可求出，从而对两边平方即可得出，解出即可．【详解】向量与的夹角为，且；；；；或0（舍去）；．故选：．【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义及数量积的运算公式，属于中档题.10、A【解析】

根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程.【详解】圆心为(-1,0),半径为，则圆的方程为故选：A【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.考点：等差数列通项公式．12、【解析】

根据奇偶性定义可知，利用可求得，从而得到；利用可求得结果.【详解】为奇函数又即，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.13、【解析】正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故答案为：12π．点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:.14、【解析】

根据弧长公式即可求解.【详解】由弧长公式可得故答案为：【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题.15、【解析】

可以利用前项的积与前项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，数列中，，且，则当时，；当时，，则，当时，；当时，，则，所以.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、【解析】

由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得，所以，又因为，所以，解得，所以，故填.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2),.【解析】

（1）先求出的通项公式，再计算等比数列的公比，最后得到.（2）先计算,再利用裂项求和计算得到，设函数，通过均值不等式得到答案.【详解】（1）为等差数列，设公差为，，，，，.设从第3行起，每行的公比都是q，且，，，，，故是数阵中第10行第5个数，而.（2），.设：（当且仅当时，等号成立）时，（其他方法酌情给分）【点睛】本题考查了等差数列等比数列，裂项求和，均值不等式，综合性强，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可计算出的值；（2）由转化为，然后利用平面向量数量积的运算律可求出实数的值.【详解】（1）在等式两边平方得，即，即，解得；（2），，即，解得.【点睛】本题考查利用平面向量的模求数量积，同时也考查了利用平面向量数量积来处理平面向量垂直的问题，考查化归与转化数学思想，属于基础题.19、（1）（2）【解析】

（1）由即可求得；（2）可由的差角公式进行求解【详解】（1）由题可知，，，（2），又由前式可判断，，，故，【点睛】本题考查三角函数的计算，二倍角公式的使用，两角差公式的使用，易错点为忽略具体的角度范围，属于中档题20、(1).(2)不存在这样的直线.【解析】

试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知解得a=1或a=，又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=1．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l与圆C相交于不同的两点，联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k-2)2-21(1+k2)=3k2-6k-5>0，解得或．x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2)+6=，，，假设∥，则，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由圆的方程得到圆心坐标和；根据、为等腰直角三角形可知，从而得到，解方程求得结果；（Ⅱ）设直线方程为；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；由垂径定理可得到，利用可构造不等式求得结果；（Ⅲ）直线方程与圆方程联立，根据直线与圆有两个交点可根据得到的取值范围；设，，利用韦达定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共线定理可得到关于的方程，解方程求得满足取值范围的结果.【详解】（Ⅰ）由圆得：圆心，由题意知，为等腰直角三