2024年重庆市沙坪坝区南开中学校九年级中考三模数学试题

数学（十）（全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟）参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑.1.下列各数中，最小的数是（）A.－l B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．【详解】解：∵，∴最小的数是-1．故选：A【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2.鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．【详解】解：从正面看，看到的图形为一个长方体，在上方靠近中央凹进去一部分，即看到的图形如下：，故选：B．3.下列函数中，y随着x的增大而减小的是（）A.y=3x B.y=﹣3x C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；C、，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；D、，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；故选B．考点：反比例函数的性质；正比例函数的性质．4.在下面的调查中，最适合用全面调查的是（）A.了解一批节能灯管的使用寿命 B.了解某校803班学生的视力情况C.了解某省初中生每周上网时长情况 D.了解京杭大运河中鱼的种类【答案】B【解析】【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．【详解】A、了解一批节能灯管的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查，不符合题意；B、了解某校803班学生的视力情况，适合采用普查，符合题意；C、了解某省初中生每周上网时长情况，适合采用抽样调查，不合题意；D、了解京杭大运河中鱼的种类，适合采用抽样调查，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．5.如图，在正方形网格中，两个阴影部分格点三角形位似，则位似中心为（）A.点N B.点 C.点 D.点【答案】B【解析】【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键．根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案．【详解】解：如图所示：点为位似中心，故选：B．6.估计的值应在（）A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算，正确的估算的大小是解题的关键．先根据二次根式的运算法则得出，然后利用夹逼法估算的大小，即可求解．【详解】解：，∵，∴，即，∴，∴的值应在4和5之间，故选：C．7.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进15捆种菜苗和20捆种菜苗共需450元；购进10拥种菜苗和8拥种菜苗共需220元．设购进一捆种菜苗元，一捆种菜苗元，可列方程组为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，找到等量关系并列出方程组即可．【详解】根据题意得：，

故选：D．8.如图，是的直径，切于点，过点作于点，连接．若，且，则的半径为（）A.4 B. C.5 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，证明，得到，把，，代入后计算即可．【详解】连接，∵切于点，∴，∵，∴，∴，∵，∴,∴,∵是的直径，∴,∴，∴，∵，，∴，解得，，∵，∴，∴的半径为，故选：C．9.在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正方形性质，旋转的旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质和等腰三角形性质表示出，结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数．【详解】解：四边形是正方形，，，由旋转的性质可知，，，，，，，，，，，故选：A．10.对于两个多项式，若满足下列两种情形之一：（1）；（2）；则称多项式为“较大”多项式，多项式为“较小”多项式．对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，以此类推，经过次操作后得到的序列称为“优选作差”序列．现对进行次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，则下列说法：①；②；③当时，“优选作差”序列中满足的正整数有1350个．其中正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意列出到的值，找出值为的规律，即可判断①，计算，即可判断②，找出的的值，根据规律计算的个数，即可判断③，本题考查了，整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是：找到满足条件的规律．【详解】解：∵，∴，，，，，，，，，，，，∴、、、、…多项式，即：，，2，3，…，当时，，故①正确；，故②错误；当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，∴当，5，8，…，即：，，2，3，…，时，，当时，，，不符合题意，当时，，∴在序列中，共有个值使得，∴在序列中，有个值使得，故③正确，综上所述①③正确，个数为，故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上.11.计算：____．【答案】##【解析】【分析】本题考查了实数的运算，利用零指数幂、绝对值的意义化简计算即可．【详解】解：，故答案为：．12.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从扩展至原来的4倍左右．将用科学记数法表示应为____．【答案】【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】，故答案为：．13.当时，分式无意义，则的值为____．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可．【详解】∵当时，分式无意义，∴当时，，代入得，解得，故答案为：．14.一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出两个球，则恰好摸出一个红球、一个白球的概率为____．【答案】##0.5【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树形图得：一共有12种情况，恰好摸出一个红球、一个白球的有6种情况，故恰好摸出一个红球、一个白球的概率是，故答案为：．15.如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径画弧，以为直径画半圆，则图中阴影部分面积为____．【答案】【解析】【分析】本题考查求不规则图形的面积，先证明是等边三角形，再把图中阴影部分看成分别以和为圆心角的两个扇形再减去重合的等边三角形，据此计算面积即可．【详解】如图，中点，两个弧交于点∵，以点圆心，为半径画弧，以为直径画半圆，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：．16.如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是____．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质．连接交于，根据菱形的性质得，，则利用勾股定理开始计算出，利用面积计算长，再根据勾股定理求出，最后根据即可解决问题．【详解】解：连接交于，∵菱形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．17.若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是____．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．【详解】解：，解①得：，，，解②得：，，关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，，解得，，，，，，关于分式方程的解为正数，且，解得且，且，则所有满足条件的整数的值之和是，故答案为：．18.对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“8元数”，则的值为____．若是一个“3元数”，且能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为____．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了数字问题，新定义，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“元数”定义可得，根据题意表示出，，利用即可得到，设，则，根据“3元数”定义可得，，根据能被的各个数位上的数字之和整除，得到为整数，结合各个数位上的数字互不相等且均不为0且取最大，求出、、、的值，即可解题．【详解】解：四位数是一个“8元数”，，解得，，，，；设，则，是一个“3元数”，，，，，能被的各个数位上的数字之和整除，为整数，，，，为整数，各个数位上的数字互不相等且均不为0，，为的因数，且最大为，即，解得，若要最大，即，，，若要最大，即，，满足条件的的最大值为；故答案为：，．三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查整式和分式的混合运算；

（1）先利用平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；

（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可得．【小问1详解】原式；【小问2详解】原式．20.小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形．（1）用直尺和圆规，作射线平分交于点；（2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形．证明：，分别平分，，，．四边形为平行四边形，，，①，，，，②，，，．在和中，．，，，③，平行四边形是矩形．小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则④．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）以为圆心，任意长为半径，分别交与于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的为半径画弧，交于一点，连接点和这一点，并延长交于点，射线即为所作；（2）根据角平分线性质以及平行四边形性质证明，得到，利用平行线性质得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形．再根据证明过程总结即可．【小问1详解】解：根据题意所作射线如图所示：【小问2详解】证明：，分别平分，，，．四边形为平行四边形，，，①，，，，②，，，．在和中，，．，，，③，平行四边形是矩形．小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则④该平行四边形为矩形．【点睛】本题考查角平分线作图，角平分线性质，平行四边形性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质定理即可解题．21.某校组织学生开展安全教育，并对七、八年级进行了一次安全知识测试．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的安全知识测试成绩（满分100分，成绩得分用表示，成绩均为整数，单位：分)进行整理、描述和分析．共分成四个等级：，C．，下面给出了部分信息：七年级的20名学生的测试成绩为：68，75，76，78，79，81，82，83，84，84，86，86，86，88，91，92，94，95，96，96．八年级测试成绩在等级中的数据分别为：84，86，87，88，89，89，89．抽取的七、八年级学生的测试成绩统计表年级平均数中位数众数七年级8585b八年级85a94（1）填空：______，_____，______；（2）根据以上数据，你认为在此次测试中，哪个年级的测试成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若七、八年级共有1800名学生参加此次测试，请估计两个年级参加测试的学生中成绩在等级的共有多少人？【答案】（1），，（2）八年级的测试成绩更好（3）【解析】【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图．

（1）先求七年级成绩众数，再分别求出八年级各个等级的人数，即可求出结论；

（2）根据中位数和众数可判断八年级的学生成绩更好；

（3）利用样本估计总体即可求出结论．【小问1详解】七年级的20名学生的测试成绩中86出现次数最多，故众数为，即，八年级C等级人数为人，D等级人数为人，B等级7人，A等级人，∴A等级占比，即∵A等级人，在等级中的数据分别为：84，86，87，88，89，89，89∴八年级中位数落在B组，且中位数为，即，故答案为：，，；【小问2详解】七八年级学生成绩的平均数相同，中位数和众数都是八年级的更大，

∴八年级的测试成绩更好；【小问3详解】测试中七八年级成绩在等级占比，∴估计两个年级参加测试的学生中成绩在等级的共有人．22.重庆市巴南白居寺大桥夜景特别震撼，被网友称为“重庆版的星际穿越”．近来天气炎热，白居寺大桥下面夜市某小吃店推出的玫瑰冰粉和山城冰汤圆最受欢迎．已知玫瑰冰粉单价是山城冰汤圆单价的，用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份．（1）求两种小吃的单价分别为多少元？（2）已知该小吃店山城冰汤圆成本为每份4元，玫瑰冰粉成本为每份元．某天该小吃店售出两种小吃共100份，并且这两种小吃获得总利润不低于380元，则当天至少卖出山城冰汤圆多少份？【答案】（1）山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元（2）当天至少卖出山城冰汤圆60份【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元，根据用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份列出方程求解即可；（2）设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉份，根据总利润不低于380元列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元；【小问2详解】解：设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉份，由题意得，，解得，∴m的最小值为60，答：当天至少卖出山城冰汤圆60份．23.如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为．（1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________；（3）若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________．【答案】（1）（2）当时，为最大值（答案不唯一）（3）【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合．（1）分两种情况分别计算即可；（2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质；（3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可．【小问1详解】当点在线段上时，，此时，，∴；当点在线段上时，，此时，，∴，∴；综上所述，【小问2详解】函数图象如下：根据函数图象可得，当时，为最大值（答案不唯一）；【小问3详解】平移，如图所示：当过时，有两个交点，此时函数解析式为，，当过时，有一个交点，此时函数解析式为，，∴若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是，故答案为：．24.五一假期小开和妈妈到武隆天坑寨子体验民俗风情，如图所示，小开和妈妈在入口处，观景台在入口北偏西方向，茶摊在观景台北偏东方向，米；花铺在茶摊正东方向，米；巧物摊在花铺正南方向，且在入口正东方向，米．（参考数据：）（1）求长度；（结果精确到个位）（2）小开和妈妈准备前往茶摊，有两条路线可选择：①；②，请通过计算说明走哪一条路较近．（结果精确到个位）【答案】（1）1663米（2）走路线①较近【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，数形结合和熟练掌握方位角的概念是解题的关键．（1）过B作于F，过C作于G，过A作于H，在在中，利用正弦、余弦定义求出，，进而求出，在中，利用正弦定义求出即可；（2）在中，利用正切定义求出，然后分别求出两条路线的长度，并比较即可得出答案．【小问1详解】解：过B作于F，过C作于G，过A作于H，根据题意，得，，四边形，都是矩形，∴，，，，在中，，，∴，在中，，即的长度约为1663米；【小问2详解】解：在中，，∴，∴路线①的长度为；②的长度为，∵，∴走路线①较近．25.如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新拋物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）（2）面积的最大值为，点的坐标为；（3）点的坐标为或，过程见解析．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题；（2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到，最后利用二次函数的最值，即可解题；（3）设原拋物线向右平移个单位，利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似．【小问1详解】解：抛物线与直线交于点，，解得，抛物线为；【小问2详解】解：设直线的解析式为，过点点，，解得，直线的解析式为，，设直线的解析式为，当时，，解得，，，，解得，设，则，过点作交于点，记交于点，由平移的性质可知，，，即，，轴交直线于点，，，即为等腰直角三角形，，，，当时，面积的最大值为，点的坐标为；【小问3详解】解：设原拋物线向右平移个单位，平移后的拋物线解析式为，平移后的拋物线解析式过点，，解得，（不符合题意的根舍去）平移后的拋物线解析式为，，，，①连接，作的垂直平分线交于点，有，，，设直线的解析式为，过点，，解得，直线的解析式为，设，则，，，解得，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，，整理得，解得，，当时，，点的坐标为，②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点，，，，，，由对称性可知，，设，，，，整理得，解得，，当时，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，，整理得，解得，，当时，，点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与反比例函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数