高中数学必修第2册 教材习题答案

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第六章平面向量模为1的相等向建有18对(其中与A—崛向

Ty/『

及其应用的共有6对，与A—M反向的也有6对，与后同“#ar

向的共有3对，与布反向的也有3对);模]bf'

为

6.1平面向量的概念图1

2的相等向量有4对；模为2的相等向量有

向量的实际背景与概念

6.1.12对.当a,b魁时，作图如图2所示，显然一(a+

b)=­a—b.

6.1.2向量的几何表示

平面向量的运算i

6.2__山

6.3相等向量与共线向量

1.向量的加法运算

6.2.1To出(或TI-BI

练习

练习

1-解析悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度.图2

1.瞬斤(D

2.解析图①中的有向线段表示一个竖直向

6.2.3向量的数乘运算

下、大小为18N的力，图②中的有向线段表

练习

示一个水平向左、大小为的力.

28N1.解析如图.

图②

2.44

图①

3.角新(1)b=2a.(2)b=一—a.

3.|A?I=2,ICffI=2.5,|Et|=3.|」|b9产

(3)b=--La.(4)b=JLa.

=22.

4.解析⑴终点M、N的位置相同.练习

⑵由题意可知，当0置飘同向时，如图1.1.解析(1)因为a=-b,所以a,b爆.

0(2)因为b=-2a,所以a,b共线.

m段

图12.解析当a与b共线且方向相反时.2.(1)=3a—2b.

3.答案(1)c(2)f(3)f(4)g(2)酎=-Ua+J_b.

―=^-1”t

•「|0M|=2|ON|=1,/.|MN|4.⑴X⑵4(3)X

(3)原式=2ya.

如图，丽表示小船的速度，同表示

向量irt与川的方向相反.5.解析3.解析a与b是共线向量，

河水的速度，以布、力为邻边作平行四边形存年数入，使b=4a,

反向时，如图2.

(61-262).

ABCD,则此就是小船实际航行的速度.BP2e1+ke2=A

kit

图2k=-4.

\3(A1—九

->.—»—>3

向量的数量积

|0M|=2|0N|=1,|MN|=—B6.2.4

练习

向量irt与通的方向相同.由已知条件可得

1,153|p||q|cos60°=8x6x,=24.

♦习题6.1IAC|=15cos30°=---------

复习巩固2

2.撕a-b=|a||b|cos0=|花||A^|cosA.

1.解析如图.小船实际航行速度的大小为--km/h,

当ab<0时，cosA<0,A为钝角，AABC为

钝角三角形；

方向与河水的速度间的夹角为90°.

当ab=0时，cosA=0,A为直角，AABC为

6.2.2向量的减法运算直角三角形.

练习3.解析当6=45°时，向量a在向量e上白时殳

1.斤

景狗量为|a|cos45°e=6x-^-e=32e；

当0=90°时，向量a在向量e上的投影向量

为|a|cos90°e=0；

当6=135°时，向量a在向量e上的投影向量

2.解析与a相等的向量有而T值就;

与b噫晌S卸fl,L0；为Ia|cos135°e=6xe=-32e.

与c相等的向量有病，雨.、；.练习

综合运用1.解析设向量a与b的夹角为0,向量b与c

2.答案D?；CX;A?;希；Bt

3.级(1)X(2)«(3)X(4)X的夹角为a.

⑸r(6)r理由略.3.瞬斤当a,为0时，一(a+b)=

(1)a'b=|a||b|cos0=1x2xcos一=

拓广探索—a-b;©

4,解析相等的向量共有24对.当a,b不共线时，作图如图1所示，显然一a一3,(a-b)c=3c.

b=(B^=—®=—(a+b)；

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;必修•第二册

所以四边形ABCD为平行四边形.

⑵b・c=|b||c|cosa=2x3x-Jl=32,

又I花|=|利,

a(b-c)=32a.所以四边形ABCD为菱形.

2证明a-b与a+2b垂直，14.解析如图，f=_Lb,Tc=b-a,f=

(a-b)-(a+2b)=0,.

即la^+ab-21bl2=o.1=t-3=k.3=^-1

(b—a),DBp--aEC=^~；bDN=——(b

又|a|=2,|b|=1,

(2)不一定能构成三角形.结合向量加法的

ab=0,a±b.—a)得y-(a+b).

三角形法则知，当三个非零向量的和为零向

3.证明证法一：(a+b)2-(a—b)2

量，且这三个向量不共线时，表示这三个向

=(a+b+a-b)-(a+b-a+b)

量的有向线段一定能构成三角形.本题不一

=2a-2b=4a-b.

定能构成三角形.

证法二:(a+b)2—(a—b)2=(a2+2a-b+b2)-

7.解析⑴如图.

(a2—2a-b+b2)=4a-b.

♦习题6.2

复习巩固»J\ttwT

1.解析(1)向东走10km,再向东走10km,

15.证明,,1T&=TEA+TAB+-用

即向东走20km.aEF=ED+DC4--CF,

(2)向东走10km,再向西走5km,即向东走⑵当a、b成垂直的位置关系时，Ia+b|=

/.ZTF=CEASED)+AB-KDC+("BF-KCF).

5km.Ia-b|.

又、分别为、的中点，

(3)向东走10km,再向北走10km,即向东8.解析(1)-2a-2b.(2)10a-22b+10c.EFADBC

.-.^EA+ED=O,"BF+CF=O,

北走102km.⑶3a+jb.(4)2(x-y)b.

(4)向西走5km,再向南走5km,即向西南PEF^AB+DC,

走52km.9.证明因为MTN=TAN-ATM,艮而版=2EF.

向西走再向北走再向西走11=4-解析如图，丙地在甲地的北偏东方

(5)5km,10km,AN=——ACAM=——AB16.45°

5km,即向西北走102km.33向，距甲地1400km.

(6)向南走5km,再向东走10km,再向南走所以M节JT而二1-^B=J(->AC-^AB)

ail

5km,即向东南走102km.

2.解析飞机飞行的路程为700km；两次位移

V-|

的合成是向北偏西约53°方向飞行500km.

10.馥(1)5；1⑵|a|=|b|

3.解析如图，设‘AD表示船垂直于对岸的速

11.解析(1)a-b=-63,(a+b)2=|a|2+2a—£i____

度,三船表示水流的速度，以AD、AB为邻边作in>ti.

-b+|b|2=25-123,|a+b|=725-123.

aABCD,则Tc就是船实际航行的速度，在17.解析⑴1阳+—监+—0人=0.

(2)|a+b|=7a2+2a-b+b2=23,

RtAABC中，|­桁=4,|书|=16,(2)AB+BC+CD+DA=0.

Ia-b|=i/a2—2a•b+bz=35.

即=/，7丁=417,(3)Ai阳+人2号+八3/4H-hAn_1A^-FAnA7=0.

12.证明设a与b的夹角为0.

tanZCAB=4,晚:磔=不+可+-+^T+厂

(1)当；I=0时，等式显然成立.

J.ZCAB=76°.

⑵当；I〉0时，Aa与b,a与;lb的夹角都=A1N+…+A—1An+\A]

故船实际航行的速度大小为417km/h,为,则=^,+^=0.

方向与水流速度间的夹角约为

76°.(Aa)-b=|Aa||b|cosQ=X\a||b|cos6,18.解析(2a-3b)-(2a+b)=4a2-4a-b-

久---1(a'b)=A|a||b|cos0,

3b2=61,于是可得ab=-6,

a1(Ab)=|a||Ab|cos0=A|a||b|cos0,

a.h1

豳二者用一，喇

所以(入a)b=A(ab)=a•(Ab).cosg8=120°.

⑶当入<0时，Aa与b,a与Ab的夹角都19.蹒|a+b|2=a2+b2+2a-b=64+100+

--------

为180°-0,则

4.m(DO.⑵一瓦(3)国(4)0.160cos0=256,cos6^-,0=55°.

(Aa)-b=|Aa||b|cos(180°-0)=—|1IIa|40

(5)0.(6)毋(7)0.■|b|cos620.证明a-b=a-c<=>a'b—a-c=0<=>a-

5.证明如图所示，在平行四边形ABCD中，1(a'b)=1|a||b|cos0=—|A||a||b|-(b—c)=0<=>a_L(b—c).

cos0拓广探索

a1(lb)=|a||Ab|cos(180°-9)=—|A||a|

21.A由2fo=一用十一用，得点。为BC的中

­|b|cos0点，，BC为夕忖妾圆的直径，

所以(入a)力=入(a-b)=a-(Ab).ZBAC=90°,OA=OB=OC.

综合运用

设TAB=a,—M=b,XVF°AI=7』|,AABO为等边三角形.

13.解析(1)四边形ABCD为平行四边形，证

⑴Af£+b)，信白a-b).1

明略.B=60°,|AB|=—|BC|.

(2)四边形ABCD为梯形.

因为刃A布TAB,所以!(a+b)+1-(a-b)=a.的招琉>刊珈券狗毂)I1%|

证明如下：因为J-Tc,

41—1•cos60°吃生R.

②A0=/a+b),0B=y-ea-b),所以AD〃BC,且ADWBC,

所以四边形ABCD为梯形.

因为诲一三虫三虫)，所以」_(a+b)a-b)22解朽0D—0A-AD—0AM-BC—0AH-OCi-0B?

(3)四边形ABCD为菱形.

证明如下：因为一瓦二与瞅

=b.

所以AB//DC,且AB=DC,

250

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23.解析「.君^^二》.当刃p=_Lf5耐刘二招+次二二刃+」刊

(1)金牛)=(—)'■

(2)CD与EF垂直.

/9»——/

证明：a-b=|a||b|cos60°=2|b||b|x」0二

/即点P喇示为(%1).

—a=-i-|a12--La

----------itF(一三当许=2刊时,刊=刊+F=J_，A+.EfB

?M)

(2)四边形ABCD为平行四边形.

-b=11b|2-1|b|2=0,

证明：而C=ft+®),

22

.,.^OA^OB="OD^OC,

TCDLEF,即CD与EF垂直.即点P的坐标为(\-1).

.•.飞A=布，

6.3.2平面向量的正交

四边形ABCD为平行四边形.综上，点P是线段AB的三等分点时，坐标为

分解及坐标表示(4)或(J)

24.解析三AB—Ac的值只与弦AB的长度有

关，与圆的半径无关.6.3.3平面向量加、减运算

如图，取AB的中点M,连接CM,6.3.5平面向量数量积

的坐标表示

则CM_L阳，练习的坐标表示

1.蹒(1)a+b=(-2,4)+(5,2)=(3,6),练习

aT=(-2,4)-(5,2)=(-7,2).

1.解析Ia|=a2=J9+I6=5,|b|=b2=

②a+b=(4,3)+(-3,8)=(1,11),

心W=29,ab=(-3,4)-(5,2)=

af=(4,3)-(-3,8)=(7.-5).

-15+8=-7.

③a+b=(2,3)+(-2,-3)=(0,0),

2.解析a=(2,3),b=(-2.4),c=(-1,-2),

af=(2,3)-(-2,-3)=(4,6).

ab=2x(—2)+3x4=8.

又危A百|南||'cosZBAC,(4)a+b=(3,0)+(0,4)=(3,4),

a+b=(0,7),a-b=(4,—1),

aT=(3,0)-(0,4)=(3,-4).

/RAPIA。|

cosZBAC-----(a+b)>(a—b)=Ox4+7x(—1)=-7.

2.解析⑴通=(3,4),^BA=(-3,T).

「AC|b+c=(-3,2),

⑵ABM9,-1),B-1).a1(b+c)=2x(-3)+3x2=0.

瞅TrT0|T加|H|=J-I^BP.

,⑶An(0,2),BQQ-2).a+b=(O,7),(a+b)2=1+72=49.

⑷2(5,0),BAM—5,0).3.解析a=(3,2),b=(5,-7),

6.3平面向量基本定理3.解析AB〃CD.ab=3x5+2x(-7)=1,|a|=□)...—

及坐标表示证明：由点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,13,|bI==74,

1)，得飞=(L-1),f=(1,-1),所以飞二cos0=^~~——----!------,8=88°.

6.3.1平面向量基本定理

fD,所以AB//CD.it.11

练习♦习题6.3

6.3.4平面向量数乘运算

1,撕TAB二TCB-TCA=b—a；复习巩固

的坐标表示

44411.解析司二刊一fC=1^AB^Ac=J_a-b,

AD=CD-CA=pb-a；练习1,1

,。-11.解析一2a+4b=-2(3,2)+4(0,-1)=TE=TCLCE『*S+，怔b+](]—[))=

BE=CE-CB=y-a-b；(-6,-4)+(0,-4)=(-6,-8).

4a+3b=4(3,2)+3(0,-1)=(12,8)+(0,工4