北京市门头沟区2021年中考数学二模试卷 解析版

北京市门头沟区2021年中考数学二模试卷

阅卷人

——、单选题

得分

1.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）

主视图左视图俯视图

A.长方体B.正方体C.三棱柱D.圆柱

2.在学习强国平台中,5月16日发布的“第一观察——天问落火”栏目的阅读量截止到5月17日中午,

就已经达到了10895538人次，将10895538精确到万，得（）

A.1089B.1090C.1089万D.1090万

3.若代数式叫值为零，则（）

A.x=—1B.%=1C.x=+1D.%。1

4.有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折,得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一

角剪掉后展开，得到的图形是（）

B.

D◊

A.

6.线段。4以点。为旋转中心，逆时针旋转60。,得到。&,再将。4以点0为旋转中心逆时针旋

转60。得到。人2，依此操作直到点An与点A重合为止，顺次连接点A、A1…力-I形成的多边形是

)

A.正四边形B.正五边形C.正六边形D.正七边形

7.如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个

CD-I

8.如图，是函数y=(x-1)(%-2)(%-3)(0<x<4)的图象，通过观察图象得出了如下结论:

⑴当x>3时，y随x的增大而增大；⑵该函数图象与x轴有三个交点；⑶该函数的最大值是6,最小值

是-6；⑷当x>0时，y随x的增大而增大.

以上结论中正确的有()个

D.4

9.-3的倒数是

10.已知V久一2+(y+I)2=0，则x+y=.

11.比V7大的整数中，最小的是.

12.如图所示的正方形网格内，点A,B,C,D,E是网格线交点，那么乙ECD+乙EDC=

13.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE=2,则BC边的长为

14.若两圆的半径分别是1和3,且两圆的位置关系是相切，则圆心距为.

15.一个函数满足过点（0,1），且当久＞0时，y随尤的增大而减小，该函数可以

为.

16.某单位设有6个部门，共153人，如下表:

部门部门1部门2部门3部门4部门5部门6

人数251623324314

参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共十道题，每小题10

分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部

完成了答题，完成情况如下表:

分数1009080706050及以下

比例521110

综上所述，未能及时参与答题的部门可能是.

阅卷人

三'解答题

得分

17.计算：|-V3|-(7T+2021)°-2sin60°+g)-2

18.解分式方程：告+落=2.

19.已知：如图，AB=DE,AF^DC,请补充一个条件可以得到BC=EF.

A

补充的条件：▲;

证明：

20.已知：x-2y=0，求『聋力.（x—y）的值•

21.已知，如图，直线/及直线外一点尸.

求作：过点P,作直线/的平行线.

下面是一种方案的作法：

①在直线/上取一点A,以点A为圆心，AP为半径作弧交直线于点B；

②分别以点B、点P为圆心，AP为半径作弧两弧交于点C；

③作直线PC；

直线PC为所求作的直线.

（1）利用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接勿、PC、BC

由①可得，PA=AB.

由②可得，PC=BC=PA.

：.PC=BC=PA=AB,

,（填依据：）

J.PC//1.

22.已如，如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点8作AD

的平行线，两线交于点E,连接OE交A3于点O.

B

(1)求证：四边形AO3E是矩形；

(2)若BC=8,49=|,求四边形AEBC的面积.

23.在平面直角坐标系尤0y中，反比例函数y=5的图象过点P(2,2).

(2)一次函数y=%+a与y轴相交于点Af,与反比例函数y=](%>0)的图象交于点N,

过点M作轴的平行线，过点N作轴的平行线，两平行线相交于点。，当!<时，通

xySAMNQ<2

过画图，直接写出。的取值范围.

24.已知，如图，在4ABC中，。是AB边上一点，。。过B、C三点，直线AC是。。

的切线，OD11AC.

(1)求^ACD的度数；

(2)如果^ACB=75°,©0的半径为2,求BD的长.

25.2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识

竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩

（得分取正整数，满分为100分）分别进行了整理、描述和分析.下面给出部分信息.

a.初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40<x<50,50<x<60,60sx<70,

70<r<80,80<x<90,90<x<100）：

频数

b.初一年级学生竞赛成绩在80<x<90这一组的是:

808181828284868686888889

c.这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如下：

成绩平均数中位数众数

初一年级学生82m86

初二年级学生838584

根据以上信息，回答下列问题:

（1）写出表中机的值;

（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是（填“初一”或“初二”），理由

是________________________________________________________________________________________

（3）已知该校初一年级有学生400人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过85的人数.

26.在平面直角坐标系尤0y中，抛物线y=-/+2b%—3的对称轴为直线元=2.

(1)求6的值；

(2)在y轴上有一动点P(0,n),过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A(xi,yi),B(及，

丫2),其中%1<%2■

①当久2-久1=3时，结合函数图象，求出n的值；

②把直线尸B上方的函数图象，沿直线尸8向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象

W,新图象W在09E5时，满足一4WyW4,求n的取值范围.

27.已知，如图，NMAN=90。,点3是NMAN的内一点，且到AM,AN的距离相等.过点8做射线3c

交AM于点C,将射线BC绕点B逆时针旋转90。交AN于点D.

W

B

(1)依题意补全图形；

(2)求证：BC=BD；

(3)连接A3,用等式表示线段A3,AC,AO之间的数量关系，并证明.

28.在AABC中，点P是/8AC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，力为半径的。尸与△ABC

的交点不少于4个，点P称为△ABC关于NR4c的“劲度点”，线段的长度称为△ABC关于/5AC

的“劲度距离”.

(1)如图，在N3AC平分线上的四个点Pi、P2、「3、P4中，连接点A和点的线段长

度是△ABC关于NA4c的“劲度距离”.

(2)在平面直角坐标系中，已知点/(0,/),N(4,0).

①当/=5时，求出AMON关于/MON的“劲度距离”询的最大值.

②如果V2<d<2V2内至少有一个值是△MON关于NMON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范

K

答案解析部分

L【答案】B

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由已知三视图得到几何体是以正方体。

故答案为：Bo

【分析】长方体的三视图应该是长方形、长方形、长方形或长方形、长方形、正方形；正方体的三视图

都是正方形；三棱柱的三视图应该是长方形、长方形、三角形；圆柱的三视图应该是长方形、长方形、

圆，综上所述即可一一判断得出答案。

2.【答案】D

【知识点】近似数及有效数字

【解析】【解答】10895538精确到万可得10895538=1090万，

故答案为：D.

【分析】利用近似数的四舍五入方法求解即可。

3.【答案】B

【知识点】分式的值为零的条件

【解析】【解答】解：由题意得，因一1=0且无+1不0,

解得x=L

故答案为：B

【分析】根据分式为零的条件列出方程和不等式求解即可。

4.【答案】D

【知识点】剪纸问题

【解析】【解答】由条件可知，减掉的部分位置应在正方形中心位置，所以A、C排除，再根据虚线和正

方形边的位置关系是不平行的，所以。项符合；本题也可以通过动手操作的方式进行解答和验证；

故答案为：D.

【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪虚线的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状。

5.【答案】C

【知识点】加减消元法解二元一次方程组

【解析】【解答】解：,.•1+，=*，

[x-y=3②

①+②得：2%=4,即％=2,

把光=2代入①得：y=—1,

则方程组的解为｛;二,

故答案为：C.

【分析】利用加减消元法求解即可。

6.【答案】C

【知识点】正多边形的性质

因为线段。1旋转过程，所形成的的轨迹是一个以点。为圆心，为半径的圆，每一次旋转60。，所

形成的的三角形为等边三角形，故当旋转六次的时候重合，成正六边形.

故答案为：C

【分析】由于每次的旋转角均为60。，因为360。除以60。等于6,所以操作6次后，A6与A重合，操作停

止，由于每次的旋转半径相同，都是OA,故顺次连接点A、Ai……As形成的多边形是正六边形。

7.【答案】B

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：列表得：

12345

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)

8(1,8)(2,8)(3,8)(4,8)(5,8)

9(1,9)(2,9)(3,9)(4,9)(5,9)

所以两个转盘的组合有20种结果，其中有6种指针都落在奇数,

所以指针都落在奇数上的概率是6+20=A,

故答案为：B.

【分析】利用列表法或树状图法求解即可。

8.【答案】C

【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息并解决问题

【解析】【解答】解：由题中图象可知，该函数图象与x轴有三个交点，故(2)符合题意；

令(%一1)(x—2)(%-3)=0,

解得：=1,£2=2,兀3=3,

即该函数图象与x轴的三个交点坐标分别为(1,0),(2,0)，(3,0),

...结合图形可知，当尤>3时，y随x的增大而增大，故(1)符合题意；

:自变量的范围是0%至4,

...结合图象可知，当％=4时，函数取得最大值，最大值为y=3x2x1=6,

当x=0时，函数取得最小值，最小值为y=—1x(-2)X(—3)=—6,故(3)符合题意;

由图象可知，当x>0时，函数图象既有上升的部分，也有下降的部分，

...在x>0时，增减性不是唯一的，故(4)不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论。

9.【答案】一|

【知识点】有理数的倒数

【解析】【解答】由倒数的定义：(-3)x(-1)=1,所以-3的倒数是一|,

故答案为：一|.

【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数即可。

10.【答案】1

【知识点】非负数之和为0

【解析】【解答】解：由题意得：x-2-0,y+l=0,

解得x=2,y=-1,

所以，x+y=2+(—1)=1.

故答案是：L

【分析】根据分负数之和为0的性质列出方程求出x、y的值，再代入计算即可。

".【答案】3

【知识点】无理数的大小比较

【解析】【解答】V4<V7<V9

/.2<V7<3

...比V7大的整数中，最小的是3,

故答案为:3.

【分析】先估算V7的大小，再求解即可。

12.【答案】90

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：设正方形网格边长为。，

由勾股定理求得CD2-20a2,DE2=18a2/CE2-2a2,

：.CD2=DE2+CE2

:MCDE为直角三角形，

即/-ECD+乙EDC=90°

故答案为：90.

【分析】先利用勾股定理求出CD、DE和CE的长，再利用勾股定理逆定理求出ACDE为直角三角形,

再计算即可。

13.【答案】4

【知识点】三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：：D、E分别为AB、AC边的中点，

；.DE是△ABC的中位线，

ABC=2DE=4.

故答案为:4.

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

14.【答案】2或4

【知识点】圆与圆的位置关系

【解析】【解答】内切时圆心距为：3-1=2；外切时圆心距为：3+1=4；

故答案为：2或4

【分析】若两圆相切，分内切和外切，若为内切，则圆心距为两半径之差；若为外切，则圆心距为两半

径之和。

15.【答案】y=x+l（答案不唯一）

【知识点】待定系数法求一次函数解析式

【解析】【解答】解：正确的函数解析式可以是y=-x+1,y=-/+1等，（答案不唯一）

故答案为：y=x+l,答案不唯一；

【分析】根据一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数解析式即可。

16.【答案】部门3或部门5

【知识点】利用统计图表分析实际问题

【解析】【解答】解：根据完成情况的表格可知，分数为100的占50%,分数为90的占20%,分数为80

的占10%,分数为70的占10%,分数为60的占10%,因为人数是正整数，可知参加的人数应该是10的

倍数，只有153-23=130（人）或153-43=110（人）两种情况符合题意，

故答案为：部门3或部门5.

【分析】各分数人数比为可以求出100分占总人数的50%,分数为90的占20%,分数为80

的占10%,分数为70的占10%,分数为60的占10%,因为人数是正整数，可知参加的人数应该是10的

倍数，6个部门总共有153人，即为参加部分人数个位数有3,即可求得结果。

17.【答案】解：|一一（兀+2021）°-2sin60°+（1）-2

=V3-1-2X-2-+9

=8.

【知识点】实数的运算

【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、。指数幕及负指数幕的性质化简，再计算即可。

18.【答案】解：方程两边都乘(x+1)(x-1),

得：(x+1)+2x(x-1)=2(x+1)(x-1),

解得：x=3.

检验：当x=3时,(x+1)(x-1)力0.

所以原方程的解是x=3.

【知识点】解分式方程

【解析】【分析】方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1),约去分母转化为整式方程，解整式方程得

出x的值，检验即可得出原方程得解。

19.【答案】解：ZA=ZD；证明：：4B=DE,AF=DC,

：.AC=DF,

△ACB=△DFE,

：.BC=EF

【知识点】三角形全等的判定

【解析】【分析】利用三角形全等的判定方法求解即可。

2。•【答案】解：解：号%,(”一外

2x+y

=------------7.Q—y)

(%-y)

_2%+y

一%-y；

当x—2y=0时，x=2y,

=4y+y=5y=5

2y-yy

【知识点】分式的化简求值

【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再计算即可。

21.【答案】(1)解：补全图形如图所示；

(2)四边形PABC是菱形；四条边相等的四边形是菱形.

【知识点】菱形的判定；尺规作图的定义

【解析】【分析】(1)根据要求作出图即可；

(2)根据四边形相等的四边形是菱形即可判断。

22.【答案】(1)证明：VAE//BC,BE〃AD,

四边形ADBE是平行四边形.

VAB=AC,AD是BC边的中线，

AAD1BC.

即/ADB=90。.

四边形ADBE为矩形.

⑵解：•.•在矩形ADBE中，AO=|,

ADE=AB=5.

YD是BC的中点，

；.AE=DB=4,

,根据勾股定理AD=7AB2-DB2=3，

1

,幽会物EBC=2(8+4)X3=18

【知识点】矩形的判定与性质

【解析】【分析】(1)只要证明四边形ADBE是平行四边形，且/ADB=90。.即可;

(2)求BD、AB,利用三角形面积公式可得S勿兹磔EBC=4四+4)X3=18。

23.【答案】⑴解：•.•反比例函数y=六的图象过点P(2,2)

・••代入得：2="，解得k=4

(2)解：作图可知

，当％=0时，y=a,即点MCO,a)，

・.•一次函数y=%+a与反比例函数y=[(x>0)的图象交于点N,

.,4，

••%+a=—x

解得:”_-a±M+16

x~2

V%>0,

-a+Ja^+16,

x=--------2--------

则结合图像知MQ=—a+J『+16,顿=-。+产+16,

：.MQ=NQ,故&MNQ为等腰直角三角形，

11

SAMNQ=《MQ.NQ=4MN2

•T—S&MMQ<2,

A2<MN2<8,

解得：42<MN<242，

由图知当MN=2鱼时，MQ=NQ=2,

此时即％=2,则2+a=&,

解得a=0,

当MN=企时，MQ=NQ=1,

此时即x—1,则l+a=[,

可得a=3,

综上所述0Wa<3.

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积

【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

当可（々时（・可、=用％时，当MN=时，则，贝,则

（2）5/^2=2422V2MQ=NQ=2U%=22+

a=/,解得a=0,当MN=鱼时，MQ=NQ=1,即汽=1,贝!J1+a=,可得a=3。

24.【答案】（1）证明：:直线AC是。0的切线，

：.^OCA=90°,

9：OD//AC,

：.^DOC+/.OCA=180°,

：.Z.DOC=90°.

•：OD=OC,

：.^ODC=乙OCD=45°,

所以^ACD=Z.ACO-Z.OCD=45°

（2）解：VOD=OC=2,（DOC=90°,

:・CD=VOC2+OD2=2V2,

VZ71CB=75°,4ACD=45°,

BCD=30°,

.,.PE=DC-sin30°=V2.

VzB=45°,

DF

*«*sin45°=，

•DB=4=2

,•V2

~2

【知识点】圆的综合题

【解析】【分析】（1）由直线AC是。。的切线，得出NOC4=90。，因为。D〃4C,得出乙DOC=

90°,由。。=OC,得出4ACD的度数；

(2)由OD=OC=2,Z.DOC=90°,得出CD=70c2+07=?也由此得出/BCD=30。，作

DEIBC于点E,得出。£=。。”也30。=鱼，因为NB=45。，

sin45o=盖，得出BD的长.

25.【答案】（1）解：初一共有50人，中间数据是第25名和第26名的平均数，由题可知第25名为82,

第26名为84,故加=="S'=83

（2）初二；因为初二成绩平均数更大，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高，了解更多的党史

知识

（3）解：从样本中，初一学生竞赛成绩超过85的有6+18=24人

400Xg=192（人）

故该初一年级学生竞赛成绩超过85的有192人.

【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图

【解析】【分析】（1）将一组数据按照从小到大的顺序排序，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的

平均数就是这组数据的中位数；

（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二，因为初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞

赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；

（3）从样本中可得初一年级学生竞赛成绩超过85的人数是6+18=24,再用样本去估计总体即可。

26.【答案】（1）解：:•抛物线y=f2+2b久-3的对称轴为直线x=2,

：.b=2.

（2）解：①抛物线的表达式为y=-K2+4%—3.

VA（xi,y）,B（X2,y）,

直线AB平行x轴.

%2—=3，

・・・AB=3.

:对称轴为X=2,

・••当%=2时，丁二九:一彳•

②当y=n=-4时，00x05时，-4<y<1；

当y=n=-2时，03x05时，-2<y<4；

An的取值范围为一44九4一2

【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数尸ax八2+bx+c与二次函数y=a(x-h)八2+k的转化；二次函数的其

他应用

【解析】【分析】(1)由对称轴为直线x=2,可求b的值；

(2)①由题意得出AB=3,由对称性可求出A、B的横坐标，塞入解析式可求解；②先求顶点坐标，由

图象和x、y的取值范围，可求解。

27.【答案】(1)解：依题意补全图形；

(2)证明：如上图，过B作BELAM,BFXAN,垂足分别为E,F,则BE=BF.

VZMAN=ZCBD=90°,

.\ZACB+ZADB=180°.

VZACB+ZBCE=180°,

AZBCE=ZADB.

VBEXAM,BF±AN,

.\ZBEC=ZBFD=90°,

・・・△BEC^ABFD.

ABC=BD.

(3)解：AC+AD=V2AB,

证明：过B作BGLAB交AN于点G.

M

R

4D\GN

VBGXAB

.,.ZABG=90°.

AZABG=ZCBD=90°,

.\ZABC=ZGBD.

•/ZACB+ZABD=180°,NABD+/GDB=180。，

Z.ZACB=ZGDB.

VBC=BD,

；.△ABC^AGBD.

；.AB=BG.

♦.•点B到NMAN的两边AM,AN的距离相等，

AZBAG=1ZMAN=45°,

；.AG=V2AB,

；.AC+AD=V2AB.

【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质

【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可；

(2)证明线段相等，通常证明这辆线段所在的三角形全等，根据AAS证明△BEC^ABFD即可；

(3)过B作BGJ_AB交AN于点G.证明△ABC/Z\GBD就可以把AC转移到DG,AC+AD=AG,而

△ABG是等腰三角形，即可得出答案。

28.【答案】(1)P2lP3

(2)解：①作NMON的角平分线OE,ON的垂直平分线PF,OE和PF相交于点P,此时。P过点

N,线段OP的长度是^MON关于/MON的“劲度距离”最大值.

易知，OE的函数表达式为丫=*,PF的函数表达式为x=2,从而可得其交点坐标为P(2,2).

.'.d1=OP=2A/2；

②由题意可知，圆心都在直线y=x上，

①当t>0时,

当d最大为2鱼时，圆P经过点N,此时和①一样，点M在(0,5)处，即t=5；

当d最小为V2时，圆P经过点M,此时点P的纵坐标为=,所以点P的坐标(，

|t)，再由。P=V2可得(If)2+(Jt)2=(V2)2，解得t=2；

.♦.当t>0时，t的取值范围为2WtW5.

②同理，当t<0时，t的取值范围为-5<t<-2.

综上所述t的取值范围为一2或2WtW5.

【知识点】圆的综合题；定义新运算；圆-动点问题

【解析】【解答】(1)以A尸为半径，以点P为圆心作圆，则P2、P3符合要求.

故答案为：P2,P3;

【分析】(1)根据“劲度点”，“劲度距离”的定义判断即可；

(2)①作NMON的角平分线OE,ON的垂直平分线PF,OE和PF相交于点P,此时。P过点N,线

段OP的长度是AMON关于NMON的“劲度距离”最大值，求出OP即可；②当t>0时，当t<0时，可

得出t的取值范围。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：126分

客观题（占比）19.0(15.1%)

分值分布

主观题（占比）107.0(84.9%)

客观题（占比）11(39.3%)

题量分布

主观题（占比）17(60.7%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题8(28.6%)10.0(7.9%)

解答题12(42.9%)100.0(79.4%)

单选题8(28.6%)16.0(12.7%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(89.3%)

2容易(3.6%)

3困难(7.1%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1实数的运算5.0(4.0%)17

2三角形全等的判定20.0(15.9%)19,27

3频数（率）分布表12.0(9.5%)25

4圆■动点问题6.0(4.8%)28

5三角形的中位线定理2.0(1.6%)13

6用样本估计总体12.0(9.5%)25

7列表法与树状图法2.0(1.6%)7

8定义新运算6.0(4.8%)28

9解分式方程5.0(4.0%)18

10矩形的判定与性质10.0(7.9%)22

11圆的综合题16.0(12