江苏省盐城市2023-2024学年高二年级下册期初测试（2月）数学 含解析

2023级高二春学期期初测试（2月）

数学试题

总分：150分考试时间：120分钟

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线相=°的倾斜角等于（）

Y-I4

2.已知双曲线二-4=l（a>0/>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为也c（c为双曲线的半焦距）,

a-b-3

则双曲线的离心率为（）

Aa口3近03百

/X.-----D.------C.------D.3A/7

327

3.设为等差数列｛4｝的前〃项和，若%=2,%+%=1。，则$6=（）

A.26B.27C.28D.29

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走了378里路，第一天

健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走

的路程为（）

A.15里B.12里C.9里D.6里

5.已知M是抛物线/=16x上的一点且在x轴上方，尸是抛物线的焦点，以网为始边，为终边的角

ZxFM=60°，贝I等于（）

A.16B.20C.4D.8

6.已知圆%2+y2=2,过直线/：2x+y=5在第一象限内一动点P作圆。的两条切线，切点分别

是A,B,直线与两坐标轴分别交于M,N两点，贝kQW面积的最小值为（）

11625

A.4B.——C.—D.2

22516

7.已知/（x）=£—3%+加，若关于尤的方程/（x）=0在［0,2］上有根，则实数加的取值范围是（）

A[—2,2]B.（―2,2）C.[2,+8）D.（—oo,—2]

8.已知函数=-有两个不同的极值点内,%（不<9）,则下列说法不正确的是（）

A.。的取值范围是（一8,1）B.为是极小值点

C.当臼…⑹时，尸（x）<。D.窜|二£

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.若｛%｝为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（）

A.｛«；｝B.｛4•4｝（其中kwR且左力0）

C.<—>D.｛山4｝

an,

22

10.已知椭圆E：三+匕=1，£,工分别为它的左右焦点，A,2分别为它的左右顶点，点尸是椭圆

164

E上异于A,2的一个动点.下列结论中，正确的有（）

A.椭圆E的长轴长为8

B.满足△耳尸耳面积为4的点尸恰有2个

C.归耳归闾的的最大值为16

D.直线Q4与直线PB斜率乘积为定值工

4

11.已知函数/（X）。，函数g（x）=/（/（x））—加，下列结论正确的是（）

A.有2个零点

B.若m=3,则g（x）有4个零点

C.若g（x）只有1个零点，则机的取值范围是（Y,—3）._（3,+8）

D.若g（x）恰有5个零点，则，"的取值范围是[-M）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线1经过点A（5,-2）,且在两坐标轴上的截距相等，贝IJ直线1的方程为—

13.设函数/(x)=——,利用课本中推导等差数列前”项和的方法，求得

2+1

/(—5)+/(T)++/(0)++/(4)+/(5)的值为.

(\\In丫12ajc

14.设实数〃〉。，对任意的xe,不等式。2妙—上二之上―Je-恒成立，则实数。的取值范围是

卜eJ2aaax

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在①"%)是三次函数，且〃0)=3,/,(0)=0,/'⑴=—3,尸⑵=0,②"%)是二次函数，

且必尸=l这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.

(1)求函数〃%)的解析式；

(2)求/(%)的图象在x=l处的切线/与两坐标轴围成的三角形的面积.

16.己知圆C经过尸(4,-2),Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4石，半径小于5.

(1)求直线PQ与圆C的方程.

(2)若直线/〃PQ,且/与圆C交于点A、B,NAO5=90°，求直线/的方程.

17.己知数列｛4｝的前“项和耳=32.

(1)求｛4｝通项公式；

(2)若数列也｝满足对任意的正整数小——……％=(〃+1)2恒成立，求证：b“N4.

ri

Inx

is.已知函数y(x)=——.

X+1

(1)求f(x)在(o,e］上最大值；

(2)若关于x不等式上⑴〉(恒成立，求上的取值范围.

l-xX

22

19.在平面直角坐标系xQy中，己知椭圆C：=+1=l(a〉6〉0)的长轴为4,过坐标原点的直线交C

ab

于P、Q两点，若A、B分别为椭圆C的左、右顶点，且直线P4与直线PB的斜率之积为-工.

2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点P在第一象限，尤轴，垂足为E，连QE并延长交。于点G,

(i)证明：PQG为直角三角形；

(ii)若-PQG的面积为。，求直线尸。的斜率.

由于/=4+加，所以02=4+2°2,工°2=〃,£_=2,6=2互

99a277

故选：C

3.设S“为等差数列｛4｝的前九项和，若q=2,%+%=1°，则$6=（）

A.26B.27C.28D.29

【答案】B

【解析】

【分析】由4=2,%+生=1。求出公差2=1，该根据等差数列前九项和公式求出凡•

【详解】因为q=2,%+%=10，

所以q+2tZ+q+4d=10,

解得2=1,

6><

所以=6q+（；—Dxd=27,

故选：B.

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走了378里路，第一天

健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走

的路程为（）

A.15里B.12里C.9里D.6里

【答案】D

【解析】

【分析】由题意每天行程｛4｝是公比为!的等比数列，应用等比数列前〃项和公式求首项，再由通项公

式求最后一天走的路程.

【详解】由题设，每天行程｛4｝是公比为1■的等比数列，

“1、

%（1-豕）1

所以——>=378,可得q=192,故/=192x与=6里.

1--2

2

故选：D

5.已知M是抛物线/=16%上一点且在无轴上方，P是抛物线的焦点，以网为始边，为终边的角

【详解】设夕（七，儿）,则2%+%=5（%>O,yo>0）,

设A&,%）,3（孙为）

当Xw0,yw0时，kA0-kPA=-l^^--kPA=-1kPA=,所以切线E4方程为

%%

/、

y~y\~—（x一再），两边同乘％得y%-+xj,

I%）

即*1+助=+y：,而x；+y；=2,代入得X]X+xy=2,显然当%=。或%=0时也适合，所以

切线K4方程为为丈+乂y=2,同理2y=2

MXo+xx,=2

将P的坐标代入上述直线方程，则有9°10.

出5+%%=2

于是直线AB的方程为x（）x+=2,

22(2)(2)

分别令x=O,y=O易得X”=一，>N=一，则M—,0,N0—

X。%Iyj

12244416

3e=——•—•—=----------->-------------------=---------=—

.OMN的面积为2%为2%.%—25,

5

X°=4

当且仅当2%=%结合2%+%=5,即:时取等号.

所以QWN面积的最小值为史.

25

故选：B.

【点睛】对于圆心在原点的圆上某点（看，打）的切线方程结论为％x+=r-,过圆心在原点的圆的圆

外一点(工,%)作圆两条切线，其切点弦所在直线方程为x()x+%y=/，两者形式相同，但意义不同，

最后得到直线方程，求出其面积表达式，利用基本不等式求出最值，如果能记住相关结论，对这道选择

题来说将会大有裨益.

7.已知/(x)=d—3]+加，若关于尤的方程/(九)=0在[0,2]上有根，则实数〃?的取值范围是()

A.[—2,2]B.(-2,2)C.[2,+8)D.(-co,-2]

【答案】A

【解析】

【分析】分离参数构造新函数，将问题转换为求8(£)=-三+3羽1目0,2]的值域即可.

【详解】若/(x)=d—3x+m=0,则由题意方程m=—三+3%在[0,2]上有解，

4-g(x)=-x3+3x,xe[0,2],贝！|g'(x)=-3x?+3=3(l-x)(l+x),

当0cx<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当1cx<2时，g(x)单调递减，

而g(O)=O>g⑵=—8+6=—2,g(x)111ax=8编=—1+3=2,

所以当xe[0,2]时,g(x)e[-2,2],

综上所述，实数m的取值范围是[-2,2].

故选：A.

8.已知函数=-㈤;有两个不同的极值点石,马(玉<龙2)，则下列说法不正确的是()

A.a的取值范围是(-8,1)B.X]是极小值点

InX]+2_

C.当％«%2，+8)时，/'(%)<0D.

Inx2+2后

【答案】A

【解析】

lnx+2/、/、>.lnx+2

【分析】由题意得方程为不=。在(0,+“)上有两根石,£(玉<%)，构造函数g(zx)=2G，求导

得出g(x)的单调性，由此即可进一步得出g(x)的最值，。的范围，由此即可判断A,对于BC,由A选

项分析可得。(占<1(尤2，由此即可进一步得出了(九)的单调性即可判断；对于D,由

Inx,+2In+2

[―=[―二a变形即可判断.

i详解】令小)=*+4吗若.。,

由题意方程*了2=a在(0,+8)上有两根玉,々(芯<%2)，

Glnx+2

/、lnx+2

设g'(x)x26_—In%，

2x4-xy/x

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x〉l时，g'(x)<0，g(x)单调递减,

所以g(xLx=g6=l>°，

/xlnx+2/xlnx+2

当X—0时，=I->一8,当Xf+00时，g(x)---->0,

27x27x

所以。的取值范围是(0,1),故A符合题意;

由A选项分析可知。<玉<1<尤2,

当0<%<石时，/'(x)</'(%1)=0,/(%)单调递减,

,,,

当玉时，/(x)>/(^)=0=/(x2),/(尤)单调递增,

,,

当x>W时，/(x)</(x2)=0,八力单调递减,

所以均是极小值点，故BC不符合题意;

In%1+2In/+2Inx,+2Jx?

对于D,因为:=cj—=。,所以;~—=*,故D不符合题意.

2必2yjx2In%+2G

故选：A.

【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键是得出g(x)1mx=g(l)=l>0,当xf0时,

/、lnx+2/、lnx+2八

g(x)=---L——8'当Xf+8时,g(x)=——L-0，由此即可顺利得解.

xx

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.若｛4｝为等比数列，则下列数列中是等比数列的是()

B.｛k-an｝（其中keR且左wO）

1）

C"—｝D.｛Ina,,｝

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.

【详解】因｛4｝为等比数列，设其公比为4,则有

2

对于A,安=（4旦）2=/是非零常数，数列储；｝是等比数列，A是；

%%

对于B,左eR且上20,詈旦=于=4是非零常数，数列｛Ha“｝是等比数列，B是；

1

对于C,*='='是非零常数，!是等比数列，C是；

±%qkJ

an

对于D,显然a〃=l,｛4｝为等比数列，而lna“=0,数列｛inq｝不是等比数列，D不是.

故选：ABC

22

10.已知椭圆及—+^-=1，F],工分别为它的左右焦点，A,8分别为它的左右顶点，点尸是椭圆

164

E上异于A,2的一个动点.下列结论中，正确的有（）

A.椭圆E的长轴长为8

B.满足月的面积为4的点尸恰有2个

C归耳||尸耳|的的最大值为16

D.直线Q4与直线PB斜率乘积为定值工

【答案】AC

【解析】

【分析】根据椭圆的方程得到a=4,进而判断选项A；根据三角形面积求出点P的纵坐标的绝对值，进

而判断选项B；结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项C；设出点尸的坐标，代入计算整理即可判断

选项D.

【详解】由椭圆方程土+匕=1可得：a=4,b=2.

164

对于A，因为椭圆的长轴长2。=8,故选项A正确；

对于B,因为。=4,人=2,则o=而》=2百,S生匹=3出8||乃＞|=6|小|=4,所以

1ypi=手〉2,所以这样的点P不存在，故选项B错误；

对于C,由椭圆的定义可得：8=2a=归制+归用42M助|忖£|当且仅当归国=归闾等号成立,则

户划尸鸟区16,所以归耳||尸闾的的最大值为16,故选项C正确；

对于D，设点「(%,%)，则江+区=1,则有y；=4—9焉，

1644

2

94--r

又因为A(T,O),3(4,0),所以G,二为4。券—4一°-1,

"BP—/+4%—4一君―16一看一16—4

故选项D错误，

故选：AC.

11.已知函数〃x)=3,函数g(x)=/(〃x))—小，下列结论正确的是()

A."%)有2个零点

B.若机=3,则g(x)有4个零点

C.若g(x)只有1个零点，则机的取值范围是(口,—3)._(3,”)

D.若g(x)恰有5个零点，则机的取值范围是［-U)

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用导数，确定x40时函数单调性，并作出函数的图象，结合图象分

根=3,1工机＜3,-14%＜1,一3＜心＜一1,根＜一3及m＞3讨论即可得答案.

【详解】当xwo时，f(x)=x3-3x+l,所以/'(x)=3%2—3,

当xe(—oo,—1)时，r(x)＞0,/(x)单调递增;

当xw(-1,0)时，/'(力＜0,/(力单调递减，

所以当x=—1时，/⑴取极大值〃-1)=3,

/(-3)=-17,/(一2)=—1,/(0)=1,/(0)=1,/(1)=-1,/(2)=1,/⑶=3,

由图可知/1)有2个零点，则A正确；

设/=/(x),由g(x)=/(/(*)—机=0,得加=/«),

当m=3时，

m=/(0的解是:=—I/?=3,所以/(%)=%有2个不同实根，

/(x)=；2有2个不同实根，贝V=/(x)有4个不同实根，故B正确；

当14根<3时，

m=/(0有3个不同实根与,乙也，设Je(-2,—1)/£(-1,0],?5G[2,3).

/(x)=/3有2个不同实根，/(%)=。有2个不同实根，/(x)=/5有3个不同实根，

则f=/(x)有7个不同实根；

当一1W7”<1时，

相=/⑺有2个不同实根％，。，设'e[-2,-1),。e[1,2),

/(x)=J有2个不同实根，/(》)=。有3个不同实根，贝V=/(x)有5个不同实根;

当一3<7〃<一1时，

m=f(t)有2个不同实根%,%，设4e(-3,-2)鸣e(0,1),

/(%)=友有2个不同实根，/(%)=。有2个不同实根，贝U=/(x)有4个不同实根;

当772W-3时，

机=/«)有且只有1个实根40，且％0<一2,

当小〉一3时，则f=/(x)有2个不同实根；当乙。4-3时，♦=/(乃只有1个实根；

当相>3时，

加=/«)有且只有1个实根小，且7>3,贝旷=/。)只有1个实根.

故C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线1经过点A(5,-2),且在两坐标轴上的截距相等，则直线1的方程为—

【答案】x+y=3,2x+5y=0

【解析】

【分析】讨论截距为0和不为0时，两种情况下直线方程的求法.

2

【详解】当截距为0时，设丁=丘,代入A(5,-2)解得左二—w,即2x+5y=0

当截距不为0时，设2+?=1,代入A(5,-2)解得a=3,即x+y=3

aa

综上，直线方程为2x+5y=0或x+y=3

【点睛】本题考查了直线方程中截距式的应用，关键是记住讨论截距是否存在才不会漏解，属于中档

题.

13.设函数/(x)=--,利用课本中推导等差数列前"项和的方法，求得

2+1

/(—5)+/(T)++/(0)++/(4)+/(5)的值为.

【答案】11

【解析】

【分析】注意到/(x)+/(-£)=2,后可用倒序相加法求得答案.

222+2+2

【详解】因“X)+f(-x)=^+-—=('")=2,

')2X+12~x+l2X+2~X+2

设S=/(-5)+/(-4)++/(0)++/(4)+/(5),贝

2s=/(—5)+/(5)+/(T)+/(4)++2/(0)++/(4)+/(T)+/(5)+/(—5)=22,故

5=11.

故答案为：11

2ax

flAInY1

14.设实数”〉0,对任意的,不等式◎—吐—eJ恒成立，则实数〃的取值范围是

卜eJ2aaax

【答案】二,+8

_2e

【解析】

112ar

【分析】将e?公—曾之士―J化简为e2R2依+2)N%(lnx+2),再构造函数/⑴=x(lnx+2),求

laaax

导分析单调性可得62心Nx在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.

2ax

Yp

【详解】因为。2依—吧In2L1J恒成立即2依。2"-xlnx>2x-2e2ax，

2aaax

可得e2tM(2ta+2)2x(lnx+2),令/(%)=尤(lnx+2),则/付口”恒成立.

又尸(x)=lnx+3,故当xeU，+s，，f'(x)>0,故在区间上为增函数.

又/(e2a之/(%)恒成立，则e2Q»x在区间［：，+")上恒成立，即2ox21nx,2a4

X

构造g(x)=g,xe1±,+oo],则g，(x)=l—?x,令g，(x)=O有％=e,

%[ejx

故当xe［，,e］时，g'(x)>0,g(x)为增函数；当xe(e,+8)时，g'(x)<0,g(x)为减函数.

故g(x)Wg(e)=：,故2。2工，即42人.

ee2e

故答案为：—,+coI-

［2e)

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：若/(可在区间。上有最值，贝U

⑴恒成立：VxeD,/(x)>Oo/(x)n,n>0；VxeD,/(x)<0o/(x)max<0；

⑵能成立：3xeD,/(x)>0<^/(x)max>0；BxeA/(x)<0<^/(x)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：«>/(x)(或a</(%)),则

(1)恒成立：a>/(x)<^a>/(x)max；a<f(x)^a<f(x)nin-,

⑵能成立：«>/(x)oa>/(x)min；a<f(x)<^a<f(x)^.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在①"%)是三次函数，且/(0)=3,/'(0)=0,/")=—3,尸⑵=0,②"%)是二次函数,

且必尸=l这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.

(1)求函数八％)的解析式;

(2)求/(%)的图象在x=l处的切线/与两坐标轴围成的三角形的面积.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；

(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线/的方程即可计算作答.

【详解】选①，

⑴依题意，设/(力=加+灰2+◎；+〃(0/0),则=3依2+2Zzx+c,

〃0）=d=3

/（0）=c=0

由己知得《

f'（l）=3a+2b+c=-3,解得"=一3‘c=°'"=3,

r（2）=12a+4Hc=0

所以函数〃尤)的解析式是y(x)=V—3r+3；

⑵由⑴知，/'⑴=-3,/(1)=1,则有切线/的方程为丁一1=一3。-1),

4

当x=0时，y=4,当y=0时，％=§，

-148

所以切线/与两坐标轴围成的三角形的面积S=—x4x—=—.

233

选②，

⑴依题意，设/'(x)=於2+bx+c(a*0),贝ijy'(x)=2av+Z?,

于是得：x2(2av+Z?)-(2x-l)(ax2+bx+c^=1,化简得(a-Z?)/+(6-2c)x+c=l,

a=b

因为上式对任意x都成立，所以“二2c,解得。=2,b=2,c=l,

c=l

所以函数八％)的解析式为/⑺=2/+2x+1；

(2)由⑴知，:(x)=4x+2,贝ij/'⑴=6,又/'(1)=5,则有切线/的方程为广5=6(尤-1),

当x=0时，，=一1,当y=o时，x=~,

6

所以切线/与两坐标轴围成的三角形的面积S=Lx2xl=L.

2612

16.已知圆C经过尸(4,-2),Q(-1,3)两点，且在y轴上截得线段长为4g,半径小于5.

(1)求直线P。与圆C的方程.

(2)若直线/〃PQ,且/与圆C交于点4、B,NAO3=90°，求直线/的方程.

【答案】(1)直线尸。的方程为：x-y-l=O；

圆C的方程为：(x—I)?+V=13.

(2)直线/的方程为x+y+3=0或x+y—4=0.

【解析】

【分析】(1)由点斜式求出直线PQ的方程，求出尸。的中垂线，圆心C在中垂线上，设C(“，n-1),

则，=|CQ|2=(〃+l)2+(〃—4尸，再代弦长公式得/=(2百)2+|〃|2,解方程即可.

(2)设/为x+y+m=。，与圆C的方程联立，代韦达定理，因为NAO3=90°，

+%%=0，代入计算求出m.

3+2

【详解】解：(1)尸。为y—3=——-x(%+l)EPx+y-2=0,

-1-4

3-24-1

C在PQ的中垂线y———=1x(%———)即y=x—1上，

设C(w,n-1),则户=|CQ|2=(〃+1)2+(〃—4产，

22

由圆C在y轴上截得的线段长为46，有户=(2百y+|〃|2,An+12=2n-6n+17

；."=1或5,户=13或37(舍)，

.•.圆C的方程为：(x—ly+V=13.

(2)设，为x+y+根=。

x+y+m=0

由、2,得2%2+(2加一2)%+加之一12=0,

(%-1)+/=913

xx=212

设A(Xpyj,B(X2,%)，则再+々=1一加，i2——-——，

ZAOB=90°,.•・+X%=0，

xrx2+(玉+m)(x2+m)=0,

•**m2+m—12=0,**•tn=3—4(均湖足△>()),

/./为%+y+3=0或x+y-4=0.

2

17.己知数列｛4｝的前n项和S„=气*.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足对任意的正整数小——……％=(〃+1)2恒成立，求证：々24.

TI

【答案】(1)a”=n

(2)证明见解析

【解析】

S—S],〃N2,

【分析】(1)利用4==:，进而求得答案；

51,n=1

b

(2)根据题意先求出然后根据(1)求出么，进而通过基本不等式证明问题.

%

【小问1详解】

2

因为

〃2

所以当〃之2时，％=S〃一S"]=尘土二一色二正B=

nnn—L2[

I2+1

当〃=1时，Q]=S1=W-=L满足％=〃.

所以｛4｝的通项公式为a”=n.

【小问2详解】

因为包刍刍……4=("+1)2,

,

b.2仇b,i

所以当时，」•一•二....­=«"9,

Q]。2。3

所以4="丫522),

ann'

又”=1时，旦=22=4,满足久=叫广，

qann-

b(n+1)2

所以对任意正整数"，J2-，由(1)得，4=〃，

4n

所以〃=("+1厂="-+2"+1=,;+1+2>2L-+2=4,当且仅当〃=1时等号成立.

nnn'n

InY

18.已知函数/(x)=——.

x+1

(1)求/a)在(0,e］上的最大值；

(2)若关于x的不等式上应〉工恒成立，求上的取值范围.

1-xX

【答案】(1)工

e+1

【解析】

【分析】⑴求出函数“X)的导数/'(%),由函数"(x)=l+：-lnx的单调性判断在(o,e］上的单

调性作答.

(2)把给定不等式作等价变形，利用导数分段判断函数g(x)=lnx-人(1-£)在(0,1),(1,+<功上值的

X

符号即可作答.

【小问1详解】

x+11111

InX-------InxId------Inx

由/⑴=-1求导得：/(力=x__________x____

(%+1)2X+1)'

4"w(x)=l+--Inx,有"(x)在(0,+8)上单调递减，_&w(e)=1+--lne=—>0,

%ee

，/、u(x\

当x£(0,e］时，w(x)>0,即/(力=73>。,则/⑺在Qe］上单调递增，

(X+1)

所以〃力2=〃6)==・

【小问2详解】

f(x)kInxk„1「1kj2、1八

依题思，---->-=不---r7--—>0=^Inx—(1—%)>0,%>0且xwl,

1-xx+x1-xL%_

令g(%)=ln九一"(1一％2),x>o,有g⑴=。,

x

gf(x)=---1(-2%2_]+炉)=工+与(]+工2)=&+：+左,^h(^x)=kx2+x+k,x>0,

JCJCX-XJC

当上时，由/z(x)=g+x+左>0,得g'(x)>0,则g(x)在(0,+oo)上单调递增，

又g⑴=0,则当0<%<1时，g(x)<0,」Hg(x)<0,不合题意，

1X

当左<0时，在二次函数例»中，A=l—4左2，

当A〉0,即—[<%<。时，入(％)图象对称轴x=--->0,

人(x)图象与X轴正半轴有两个公共点，即〃(x)有两个零点占,马,%>0,%2>0且%％2=1，

不妨设0<为<1<%2，则时，h(x)>0,有g'(x)>0,g(x)在(％/)上单调递增，

当xe(玉])时，g(x)<g⑴=0,7二g(x)<0,不合题意，

1-X

当AW0,即左<—g时，A(x)<0,有g'(x)4。，则g(x)在(0,+s)上单调递减，

当xe(0,1)时，-3—>0,g(x)>0,则一rg(x)>0,

1-x1-x

当xe(l,+00)时，-^-7<0,g(x)<0,贝！l^^ga)〉。，

1-x-1-x

综上得，当上<—工时，&恒成立，所以左的取值范围是1-8,-2.

2l-xxI2」

【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数

单调性、最值是解决问题的关键.

22

19.在平面直角坐标系xQy中，己知椭圆C:=+[=l(a〉5〉0)的长轴为4,过坐标原点的直线交C

ab

于P、Q两点，若分别为椭圆C的左、右顶点，且直线E4与直线PB的斜率之积为-工.

2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点P在第一象限，轴，垂足为E，连QE并延长交。于点G,

(i)证明：-PQG为直角三角形；

(ii)若-PQG的面积为《，求直线尸。的斜率.

22

【答案】19.—+2L=i

42

20.证明见解析，k=l

【解析】

【分析】(1)根据离心率以及斜率关系即可求解”,仇c的值，

(2)联立直线与椭圆方程，即可根据坐标运算得点G坐标，由斜率公式即可求解，根据三角形的面积公

式以及弦长公式，结合不等式以及对勾