重庆市江津中学2024届高一下数学期末质量检测试题含解析

重庆市江津中学2024届高一下数学期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=()A．2 B．3 C．4 D．52．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A． B． C． D．33．在三棱柱中，平面，，，，E，F分别是，上的点，则三棱锥的体积为（）A．6 B．12 C．24 D．364．集合，，则=()A． B． C． D．5．在锐角中，角的对边分别为.若，则角的大小为()A． B．或 C． D．或6．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．7．在中，角的对边分别为，且，，，则的周长为（）A． B． C． D．8．已知的定义域为，若对于，，，，，分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”，下例四个函数为“三角形函数”的是（）A．； B．；C．； D．9．已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（）A． B． C． D．10．在计算机BASIC语言中，函数表示整数a被整数b除所得的余数，如.用下面的程序框图，如果输入的，，那么输出的结果是（）A．7 B．21 C．35 D．49二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．12．已知为等差数列，，，，则______.13．_______________。14．在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为______．15．若直线的倾斜角为，则______.16．己知中，角所対的辻分別是.若，=，，则=______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，且，.（1）求，的值及的定义域；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.18．已知向量，，．（1）求函数的解析式及在区间上的值域；（2）求满足不等式的x的集合．19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.20．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若.（1)求角；（2）若，则周长的取值范围.21．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是:，.（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟?(精确到整数)（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】开始，输入，则，判断，否，循环，，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环，则，判断，是，输出，结束.故选择C.2、A【解析】

首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．3、B【解析】

等体积法：.求出的面积和F到平面的距离，代入公式即可．【详解】由题意可得，的面积为，因为，，平面ABC，所以点C到平面的距离为，即点F到平面的距离为4，则三棱锥的体积为.故三棱锥的体积为12.【点睛】此题考察了三棱锥体积的等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于较易题目．4、C【解析】

根据交集定义直接求解可得结果.【详解】根据交集定义知：故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.5、A【解析】

利用正弦定理，边化角化简即可得出答案．【详解】由及正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．故选A【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题．6、B【解析】

根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.【详解】因为，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.7、C【解析】

根据，得到，利用余弦定理，得到关于的方程，从而得到的值，得到的周长.【详解】在中，由正弦定理因为，所以因为，，所以由余弦定理得即，解得，所以所以的周长为.故选C.【点睛】本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题.8、B【解析】由三角形的三边关系，可得“三角形函数”的最大值小于最小值的二倍，因为单调递增，无最大值和最小值，故排除A，，符合“三角形函数”的条件，即B正确，单调递增，最大值为4，最小值为1，故排除C，单调递增，最小值为1，最大值为，故排除D.故选B.点睛：本题以新定义为载体考查函数的单调性和最值；解决本题的关键在于正确理解“三角形函数”的含义，正确将问题转化为“判定函数的最大值和最小值间的关系”进行处理，充分体现转化思想的应用.9、D【解析】

作出图形，可知，由四边形的最小面积是，可知此时取最小值，由勾股定理可知的最小值为，即圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出的值.【详解】如下图所示，由切线长定理可得，又，，且，，所以，四边形的面积为面积的两倍，圆的标准方程为，圆心为，半径为，四边形的最小面积是，所以，面积的最小值为，又，，由勾股定理，当直线与直线垂直时，取最小值，即，整理得，，解得.故选：D.【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10、B【解析】

模拟执行循环体，即可得到输出值.【详解】，，，，继续执行得，，继续执行得，，结束循环，输出.故选：B.【点睛】本题考查循环体的执行，属程序框图基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形，因为都是直角三角形，,是以1为首项，以1为公差的等差数列，，，故答案为.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.12、【解析】

由等差数列的前项和公式，代入计算即可.【详解】已知为等差数列，且，，所以，解得或（舍）故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和公式的应用，属于基础题.13、【解析】

本题首先可根据同角三角函数关系式化简得出，然后根据两角差的正弦公式化简得出，最后根据二倍角公式以及三角函数诱导公式即可得出结果。【详解】，故答案为【点睛】本题考查根据三角函数相关公式进行化简求值，考查到的公式有、、以及，考查化归与转化思想，是中档题。14、【解析】

设，求出的长，由几何概型概率公式计算．【详解】设，由题意得，，∴的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查几何概型，考查长度型几何概型．掌握几何概型概率公式是解题关键．15、【解析】

首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.【详解】由题知直线方程为，所以直线的斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.16、1【解析】

应用余弦定理得出，再结合已知等式配出即可．【详解】∵，即，∴，①又由余弦定理得，②，②－①得，∴，∴．故答案为1．【点睛】本题考查余弦定理，掌握余弦定理是解题关键，解题时不需要求出的值，而是用整体配凑的方法得出配凑出，这样可减少计算．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，定义域；（2）【解析】

（1）由已知得，可求出、，由对数函数的定义域可得，求出的范围，即可得到的定义域；（2）设，可得，由复合函数单调性，可得在上的单调性，从而可得时，的最大值，令，解不等式即可得到答案.【详解】（1）由已知得，即，解得，，由得，所以，即，所以定义域为.（2），设，由时，可得，因为在上单调递增，所以可得在上单调递增，故当时，的最大值为，由题意，，即，即，因为，所以，即.故时，存在，使得成立.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查复合函数单调性，考查存在性问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.18、（1）值域为．（2）【解析】

（1）由向量，，利用数量积运算得到；由，得到，利用整体思想转化为正弦函数求值域.（2）不等式，转化为，利用整体思想，转化为三角不等式，利用单位圆或正弦函数的图象求解.【详解】（1）因为，，所以．因为，所以，所以，所以，所以在区间上的值域为．（2）由，得，即．所以，解得，不等式的解集为．【点睛】本题主要考查了向量与三角函数的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】

(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【详解】（Ⅰ）证明：因为平面,所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:分别取的中点，连接,在三角形中，且；在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;又平面，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、（1）（2）【解析】

（1）利用切化成弦和余弦定理对等式进行化简，得角的正弦值；（2）利用成正弦定理把边化成角，从而实现的周长用角B的三角函数进行表示，即周长，再根据锐角三角形中角，求得函数值域.【详解】（1）由，得到，又，所以.（2），，设周长为，由正弦定理知，由合分比定理知，即，，即.又因为为锐角三角形，所以.，周长.【点睛】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目标表示成关于变量的函数，再研究函数性质进行问题求解.21、(1)分钟.(2)58分钟；(3)【解析】

（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意