湖北省荆门沙洋县联考2024年中考数学最后一模试卷含解析

湖北省荆门沙洋县联考2024年中考数学最后一模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1.如图图形中，可以看作中心对称图形的是()

G④D.

2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B,顶点为P,若AABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则b?

-4ac的值为()

A.1B.4C.8D.12

3.若抛物线y=/-3x+c与y轴的交点为(0,2),则下列说法正确的是()

A.抛物线开口向下

B.抛物线与x•轴的交点为(-1,0),(3,0)

C.当x=l时，y有最大值为0

D.抛物线的对称轴是直线x=士3

2

4.二次函数y=ax?+bx+c(a#0)的图象如图，下列四个结论：

①4a+c<0；②m(am+b)+b>a(m^-1)；③关于x的一元二次方程ax?+(b-1)x+c=0没有实数根；@ak4+bk2<

a(k2+l)2+b(k2+l)(k为常数).其中正确结论的个数是()

5.如图，矩形ABCD内接于。O,点P是上一点，连接PB、PC,若AD=2AB,则cos/BPC的值为()

D

A-fB-¥C-TD-f

6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD

交于点H,连接DH,下列结论正确的是（）

①△ABGsZ\FDG②HD平分NEHG③AG_LBE④SAHDG：SAHBG=tanNDAG⑤线段DH的最小值是26-2

C.①②④⑤D.①②③④

7.若不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（）

■•■■h，

I二4二

A.5<a<6B.5<a<6C.5<a<6D.5<a<6

8.关于x的一元二次方程x2-23x+m=O有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.m<3D.m>3

9.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘

制成了统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

10.如图，已知R3ABC中，ZBAC=90°,将AABC绕点A顺时针旋转，使点D落在射线CA上，DE的延长线交

BC于F,则NCFD的度数为（）

A.80°B.90°C.100°D.120°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

k

11.如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=—（x>0）的图象经过点D,交BC边于点E.若ABDE

的面积为1,则女=

12.如图，在ABC中，AB=AC=6后'，ZBAC=90°,点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两

点重合于点F,若DE=5,则AD的长为

13.因式分解：a2-a=.

14.如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB,AC.若

ZB=56°,ZC=45°,则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为米.（sin5630.8,tan56%4.5）

K—IOOTK—x

15.大连市内与庄河两地之间的距离是160千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从大连市内开往庄河，则汽车距

庄河的路程W千米）与行驶的时间忒小时）之间的函数关系式为.

16.PA、PB分别切（DO于点A、B,NPAB=60。，点C在。O上，则NACB的度数为.

17.如图，A3是。。的直径，BD,CZ>分别是过。。上点3,C的切线，且N5OC=110。.连接AC,则NA的度数

是_____

A

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）（1）计算：（一1）2°16—卜2|+（g—»）°x我+（3）

x"+2x—1X—4

⑵先化简，再求值：（......-其中X是不等式3x+7>l的负整数解.

xx-2x--4x+4

19.（5分）有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2,4,6,B组的两张分别写有3,1.它们除了数字

外没有任何区别，随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表

或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则

乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？

20.（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减

少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平

均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

21.（10分）如图，AABC中，45=8厘米，AC=16厘米，点尸从A出发，以每秒2厘米的速度向5运动，点。从C

同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为f.

⑴用含f的代数式表示：AP=,AQ=.

⑵当以A,P,。为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？

22.（10分）我市某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工

人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系:

7.5x(0<%<4)

y=<工人甲第几天生产的产品数量为70件？设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数

[5%+10(4<%<14)

图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？

州七件）

23.（12分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数机，当其自变量的值为小时，其函数值等于-机，则称-，〃为

这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差"称为这个函数的反向距离.特别

地，当函数只有一个反向值时，其反向距离”为零.

例如，图中的函数有4,-1两个反向值，其反向距离〃等于1.

（1）分别判断函数y=-x+Ly=-2，y=3有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；

x

（2）对于函数7=丫2-/丫，

①若其反向距离为零，求）的值；

②若-l<b<3,求其反向距离n的取值范围；

（3）若函数y="请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应机的取值范围.

-x-3x（x<m）

24.（14分）如图，一次函数以=丘+伙时0）和反比例函数及=一（川刈）的图象交于点A（—1,6）,B（〃，-2）.求一次

x

函数与反比例函数的解析式;根据图象直接写出山22时，%的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,

这个点叫做对称中心进行分析即可.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形，关键掌握中心对称图形定义.

2、B

【解析】

设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为（xi,0）,（X2,0）,利用二次函数的性质得到P利

2a4a

hc\h-

用XI、X2为方程ax2+bx+c=0的两根得到XX2=—,Xl-X2=则利用完全平方公式变形得到AB=|X1-X2|=一,

1+aa

接着根据等腰直角三角形的性质得到I如土1=1•正，然后进行化简可得到b2-lac的值.

4a2\a\

【详解】

设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为（xi,0）,（X2,0）,顶点P的坐标为（・=,）,

2a4a

则xi、X2为方程ax2+bx+c=0的两根，

.bc

..Xl+X2="—,XpX2=—,

aa

XI(X2+々)2，

AB=|-X2|=JX]-2)=2—4%%2=J(-—)-4--=b।J"，

\aa|a|

•••AABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，

.,4ac-b2,1y/b2-4ac

•<1------------1=­,—n—,

4a2\a\

&-4ac)2_b~-4ac

16a24a2'

，b2-lac=l.

故选B.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a加)与x轴的交点坐标问题转化为解

关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质.

3^D

【解析】

A、由a=l>0,可得出抛物线开口向上，A选项错误；

B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x

轴的交点为(1,0)、(1,0),B选项错误；

C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；

3

D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=--,D选项正确.

2

综上即可得出结论.

【详解】

解：A、Va=l>0,

二抛物线开口向上，A选项错误；

B、；抛物线y=x1-3x+c与y轴的交点为(0,1),

/.c=l,

抛物线的解析式为y=x1-3x+l.

当y=0时，有x1-3x+l=0,

解得：Xl=l,X1=1,

.•.抛物线与X轴的交点为(1,0)、(1,0),B选项错误；

C、；抛物线开口向上，

；.y无最大值，C选项错误；

D、•.•抛物线的解析式为y=x1-3x+l,

.••抛物线的对称轴为直线X=--D选项正确.

2a2x12

故选D.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函

数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

4、D

【解析】

①因为二次函数的对称轴是直线x=-l,由图象可得左交点的横坐标大于-3,小于-2,

b

所以----=-1,可得b=2a,

2a

当x=-3时，y<0,

即9a-3b+c<0,

9a-6a+c<0,

3a+c<0,

Va<0,

:.4a+c<0,

所以①选项结论正确；

②•・,抛物线的对称轴是直线x=-l,

Ay=a-b+c的值最大，

即把x=m(m声-1)代入得：y=am2+bm+c<a-b+c,

/.am2+bm<a-b,

m(am+b)+b<a,

所以此选项结论不正确；

③ax?+(b-1)x+c=O,

△=(b-1)2-4ac,

Va<0,c>0,

；・ac<0,

/.-4ac>0,

■:(b-1)2>0,

...关于X的一元二次方程ax2+(b-1)x+c=O有实数根；

④由图象得：当x>-1时，y随x的增大而减小，

•.•当k为常数时，0<k2<k2+l,

二当x=k2的值大于x=k2+l的函数值，

即ak4+bk2+c>a(k2+l)2+b(k2+l)+c,

ak4+bk2>a(k2+l)2+b(k2+l),

所以此选项结论不正确；

所以正确结论的个数是1个，

故选D.

5、A

【解析】

连接BD,根据圆周角定理可得cosNBDC=cos/BPC,又BD为直径，贝！JNBCD=9O。，设DC为x,则BC为2x,根

据勾股定理可得BD=&x,再根据cos/BDC=2^=a=好，即可得出结论.

BDy/5x5

【详解】

连接BD,

•.•四边形ABCD为矩形，

；.BD过圆心O,

VZBDC=ZBPC(圆周角定理)

:.cosZBDC=cosZBPC

VBD为直径，

.\ZBCD=90°,

..DC1

<-----,

BC2

.•.设DC为x,

则BC为2x,

BD=7r)C2+BC2=业+(2x)2=A/5x,

DCxJ5

..cosZBDC=-----=[—=——，

BD75x5

VcosNBDC=cosNBPC,

J5

:.cosZBPC=——・

5

故答案选A.

【点睛】

本题考查了圆周角定理与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的应用.

6、B

【解析】

首先证明AABE丝ADCF,△ADG^ACDG(SAS),△AGB^ACGB,利用全等三角形的性质，等高模型、三边关

系一一判断即可.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是正方形，

.\AB=CD,ZBAD=ZADC=90°,NADB=NCDB=45。.

•.•在△ABE和△DCF中，AB=CD,ZBAD=ZADC,AE=DF,

.,.△ABE四△DCF,

/.ZABE=ZDCF.

\•在△ADG和△CDG中，AD=CD,ZADB=ZCDB,DG=DG,

/.△ADG^ACDG,

/.ZDAG=ZDCF,

/.ZABE=ZDAG.

；NDAG+NBAH=90。，

.\ZBAE+ZBAH=90°,

；.NAHB=90。，

•\AG±BE,故③正确，

同理可证：AAGB也Z\CGB.

VDF//CB,

/.△CBG^AFDG,

/.△ABG^AFDG,故①正确.

VSAHDG:SAHBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tanZFCD,ZDAG=ZFCD,

.".SAHDG:SAHBG=tanZFCD=tanZDAG,故④正确.

取AB的中点O,连接OD、OH.

由勾股定理得，OD="淳=2行，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，

DH最小=1逐-1.

无法证明DH平分NEHG,故②错误，

故①③④⑤正确.

故选B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握

它们的性质进行解题.

7、C

【解析】

首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得

到关于a的不等式，从而求出a的范围.

【详解】

解不等式组得：2VxWa,

•.•不等式组的整数解共有3个，

...这3个是3,4,5,因而5WaVL

故选C.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键.求不等式组

的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

8、A

【解析】

分析：根据关于x的一元二次方程送2x+m=O有两个不相等的实数根可得△=(-273)2-4m>0,求出m的取值

范围即可.

详解：••・关于x的一元二次方程xZ26x+m=O有两个不相等的实数根，

/.△=(-273)2-4m>0,

故选A.

点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a加，a,b,c为常数)的根的判别式A=b?-4ac.当△>()时，方程有两

个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程没有实数根.

9、C

【解析】

根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个

数的平均数叫中位数.

【详解】

捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30,

中间两个数分别为30和30,则中位数是30,

故选C.

【点睛】

本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握.

10、B

【解析】

根据旋转的性质得出全等，推出NB=ND,求出NB+NBEF=/D+NAED=90。，根据三角形外角性质得出

ZCFD=ZB+ZBEF,代入求出即可.

【详解】

解：,将AABC绕点A顺时针旋转得到AADE,

/.△ABC^AADE,

NB=ND,

VZCAB=ZBAD=90°,ZBEF=ZAED,ZB+ZBEF+ZBFE=180°,ZD+ZBAD+ZAED=180°,

/.ZB+ZBEF=ZD+ZAED=180°-90°=90°,

:.ZCFD=ZB+ZBEF=90°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，掌握旋转变换的性

质是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解析】

分析：设D(a,利用点D为矩形OABC的AB边的中点得到B(2a,-),则E(2a,—),然后利用三角形

aa2a

ikk

面积公式得到(―-丁)=1,最后解方程即可.

2a2a

详解：设D(a,-),

a

•・•点D为矩形OABC的AB边的中点，

.k

•*«B(2a,—),

a

•••E(2a,—)9

2a

VABDE的面积为1,

.1,kk、5加

••—(---)=1,解得k=L

2a2a

故答案为L

点睛：本题考查了反比例函数解析式的应用，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角坐标系中点

的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数k的取值.

12、3后或2屈

【解析】

过点A作AGLBC,垂足为G,根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=CG=6,设BD=x,贝！JDF=BD=x,EF=7-x,

然后利用勾股定理可得到关于x的方程，从而求得DG的长，继而可求得AD的长.

【详解】

如图所示，过点A作AGLBC,垂足为G,

TAB=AC=6&，ZBAC=90°,

•*,BC=J74g2+A02=12,

VAB=AC,AG±BC,

.\AG=BG=CG=6,

设BD=x,贝!)EC=12-DE-BD=12-5-x=7-x,

由翻折的性质可知：ZDFA=ZB=ZC=ZAFE=45°,DB=DF,EF=FC,

/.DF=x,EF=7-x,

在RtADEF中，DE2=DF2+EF2,即25=x2+(7-x>,

解得：x=3或x=4,

当BD=3时，DG=3,AD="+62=3后,

22

当BD=4时，DG=2,AD=72+6=2^/10-

AAD的长为3石或2JIU,

故答案为：3小或2屈.

【点睛】

本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线，灵活运用勾股定理是解题的关

键.

13、a(a-1)

【解析】

直接提取公因式a,进而分解因式得出答案

【详解】

a2-a—a(a-1).

故答案为a(«-D.

【点睛】

此题考查公因式，难度不大

14、60

【解析】

根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决.

【详解】

ADAD

；NB=56°,ZC=45°,ZADB=ZADC=90°,BC=BD+CD=100米Iz，；.BD=---------CD=--------------,

tan56tan457

ADAD

/--------7+---------7=100,解得，AD=60

tan56tan45

考点：解直角三角形的应用.

15、y=160-80x(0<x<2)

【解析】

根据汽车距庄河的路程y(千米)=原来两地的距离-汽车行驶的距离，解答即可.

【详解】

解：•.•汽车的速度是平均每小时80千米，

,它行驶x小时走过的路程是80x,

汽车距庄河的路程y=160-80x(0W烂2),故答案为：j=160-80x(0<x<2).

【点睛】

本题考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到所求量的等量关系是解题的关键.

16、60°或120°.

【解析】

连接OA、OB,根据切线的性质得出NOAP的度数，NOBP的度数；再根据四边形的内角和是360。，求出NAOB的

度数，有圆周角定理或圆内接四边形的性质，求出NACB的度数即可.

【详解】

解：连接OA、OB.

VPA,PB分别切。。于点A,B,

，OA_LPA,OB±PB；

.,.ZPAO=ZPBO=90°；

又,.•/APB=60。，

.•.在四边形AOBP中，ZAOB=360°-90°-90°-60°=120°,

...ZADB=—xZAOB=-xl20°=60°,

22

即当C在D处时，ZACB=60°.

在四边形ADBC中，ZACB=180°-ZADB=180°-60°=120°.

于是NACB的度数为60。或120°,

故答案为60。或120°.

【点睛】

本题考查的是切线的性质定理，圆内接四边形的性质，是一道基础题.

17、4.

【解析】

试题分析：连结BC,因为AB是。。的直径，所以NACB=90。，ZA+ZABC=90°,又因为BD,CD分别是过。O

上点B,C的切线，NBDC=440。，所以CD=BD,所以NBCD=NDBC=4。,又NABD=90。，所以/A=NDBC=4。.

考点：4.圆周角定理；4.切线的性质；4.切线长定理.

三、解答题(共7小题，满分69分)

/、x—2

18、(1)5；(2)-------，3.

x

【解析】

试题分析：(1)原式先计算乘方运算，再计算乘运算，最后算加减运算即可得到结果；

(2)先化简，再求得x的值，代入计算即可.

试题解析：

(1)原式=1-2+卜2+4=5；

(2)原式=(x+2)(x-2)Jl)x口=二,

x(x-2)x-4X

-1-2

当3x+7>l,即x>一2时的负整数时，(x=-l)时，原式=-----=3..

-1

19、(1)P(抽到数字为2)=-；(2)不公平，理由见解析.

3

【解析】

试题分析：(1)根据概率的定义列式即可；(2)画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而

得解.

试题解析：(l)P=g；

(2)由题意画出树状图如下：

开始

一共有6种情况，

42

甲获胜的情况有4种，P=-=~，

63

21

乙获胜的情况有2种，P=~=~,

63

所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平.

考点：游戏公平性；列表法与树状图法.

20、每件衬衫应降价1元.

【解析】

利用衬衣平均每天售出的件数x每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.

【详解】

解：设每件衬衫应降价X元.

根据题意，得(40-x)(l+2x)=110,

整理，得X2-30X+10=0,

解得Xl=10,x2=l.

•••“扩大销售量，减少库存”，

Axi=10应舍去，

•\x=l.

答：每件衬衫应降价1元.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数X每件盈利=每天销售的利润是解题关

键.

21、(1)AP=2t,AQ=16-3t；(2)运动时间为3秒或1秒.

7

【解析】

(1)根据路程=速度x时间，即可表示出AP,AQ的长度.

(2)此题应分两种情况讨论.(1)当AAPQs^ABC时；(2)当AAPQsZ\ACB时.利用相似三角形的性质求解即

可.

【详解】

(1)AP=2t,AQ=16-3t.

(2)；NPAQ=NBAC,

APAQQAIt16-3?5田16

..当---=----时，△APQS^AABC,即—=-------，解得/=—;

ABAC8167

“APAQ..It16-3?„

当——=一三时，△APQ^AACB,n即n一=------,解得t=l.

ACAB168

运动时间为一秒或1秒.

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【点睛】

考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.注意不要漏解.

22、⑴工人甲第12天生产的产品数量为70件；⑵第11天时，利润最大，最大利润是845元.

【解析】

分析：(1)根据y=70求得x即可；(2)先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根

据，，总利润=单件利润x销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可.

本题解析：

解：(1)若7.5x=70,得x=彳>4,不符合题意；

则5x+10=70,

解得x=12.

答：工人甲第12天生产的产品数量为70件.

(2)由函数图象知，当OSx"时，P=40,

当4Vxs14时,设？=1«+1),

(4k,h40,IkI,

将(4,40)、(14,50)代入，得解得

14k4b=50,lb=36.

；.P=x+36.

①当0<x<4时，W=(60-40)-7.5x=150x,

随x的增大而增大，

当x=4时，W**=600；

②当4<x<14时，W=(60-X-36)(5X+