高考数学大一轮复习 核心素养提升练三十九 8.4 直接证明与间接证明、数学归纳法 理（含解析）新人教A-新人教A高三数学试题

核心素养提升练三十九直接证明与间接证明、数学归纳法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a.索的因应是 ()A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.要证<a,只需证b2-ac<3a2,只需证b2-a(-b-a)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,只需证(2a+b)(a-b)>0,只需证(a-c)(a-b)>0.2.设a=,b=-,c=-,那么a,b,c的大小关系是 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【解析】选B.由已知,a=,b=,c=,因为+>+>2,所以b<c<a.3.若1<x<10,下面不等式中正确的是 ()A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx)B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx)C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2【解析】选D.因为1<x<10,所以x2>x,0<lgx<1,lg(lgx)<0,lgx2>lgx>(lgx)2,lgx2>(lgx)2>lg(lgx).4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 ()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出命题的否定.方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根.5.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.其中正确命题的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;若l⊥α,m⊂β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等式“=”的证明过程:“等式两边同时乘以得,左边=·===1,右边=1,左边=右边,所以原不等式成立”,应用了________的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)

【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法.答案:综合法7.设n∈N*,则-______

-(填“>”“<”或“=”).【解析】要比较-与-的大小,即判断(-)-(-)=(+)-(+)的符号,因为(+)2-(+)2=2[-]=2(-)<0,所以-<-.答案:<8.用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”时,假设内容是________.

【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于三、解答题9.(10分)求证:1-+-+…+-=++…+(n∈N*). 【证明】①当n=1时,左边=1-=,右边=,所以等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,1-+-+…+-=++…+成立.那么当n=k+1时,1-+-+…+-+-=++…++-=++…+++=++…++,所以n=k+1时,等式也成立.综上,对于任意n∈N*,等式都成立.【变式备选】1.求证抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切. 【证明】如图,作AA′、BB′垂直于准线,取AB的中点M,作MM′垂直于准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|=|AB|,由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,所以|AB|=|AA′|+|BB′|,所以只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|)由梯形的中位线定理知上式是成立的.所以,以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.2.已知数列,,,…,,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.【解析】S1==,S2=+=,S3=+=,S4=+=.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是猜想Sn=,下面我们用数学归纳法证明这个猜想.①当n=1时,左边=S1=,右边===,猜想成立.②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即+++…+=,当n=k+1时,+++…++=+===,所以,当n=k+1时猜想也成立.由①②知,猜想对任意n∈N*都成立.(15分钟30分)1.(5分)证明命题“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”,一个同学给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-,又因为x>0,所以ex>1,0<<1,所以ex->0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.他使用的证明方法是 ()A.综合法 B.分析法C.反证法 D.以上都不是【解析】选A.该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.2.(5分)若a,b,c∈R,且ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是 ()A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3C.++≥2 D.abc(a+b+c)≤【解析】选B.因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c2≥1,又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)2≥1+2×1=3.3.(5分)在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC一定是 ()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】选C.由sinAsinB<cosAcosB得cos(A+B)=-cosC>0,所以cosC<0,即△ABC一定是钝角三角形.4.(15分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列. (1)证明:,,,依次构成等比数列.(2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.并说明理由.【解析】(1)由已知,==2d是常数(n=1,2,3),所以,,,依次构成等比数列.(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,则=a1,且=,即a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(-<t<1,t≠0),化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.显然t=-不是上面方程的解,矛盾,假设不成立,所以不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.【一题多解】(2)假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,则a1>0,a1+3d>0,=a1,且=,所以=a1,①且=,即=(a1+d),②联立①②,得=a1(a1+d),即=a1,化简得d3-6a1d2-3d=0,即d(d2-6a1d-3)=0,所以d=0(舍),d=(3±2)a1,但d=(3±2)a1不是①②的解,所以不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.【变式备选】已知a>0,函数f(x)=x3-a,x∈[0,+∞),设x1>0.记曲线y=f(x)在