2022-2023学年上海市杨浦区重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市杨浦区重点中学高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知常数a6R,直线k：x+ay—2=0,l2：ax+y+1=0,则a=1是11〃/2的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.己知常数如果函数丫=85（2%+缶的图像关于点弓,0）中心对称，那么|初的最

小值为（）

A-R-r-n-

A.3D-4。6U'2

3.若直线ax+by=1与圆C：M+y2=i相交，则点p（a,b）与圆C的位置关系是（）

A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.以上都有可能

4.在平面直角坐标系中，△48C的顶点坐标分别为/（1,一2）,8（—7,0）,点C在直线y=5上

运动，。为坐标原点，G为的重心，则布・耐、OGOB，而.元中正数的个数为几，

贝Un的值的集合为（）

A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.[1,2,3}

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.半径为2,弧长为2的扇形的圆心角为弧度.

6.函数y=tanx的最小正周期是.

7.向量3=（3,4）的单位向量睨为.

8.若角a的终边过点P（4,-3）,则sin有+a）的值为.

9.如果复数z=1+2i（其中i为虚数单位），则z-z=.

10.己知直角坐标平面上两点PM-1,1）、P2（2,3）,若P满足可户=2两，则点P的坐标为

11.在△ABC中，角A,B,C所对的边为Q,b,c,若Q=4,b=6,c=9,则角C=.

12.直线，:y=2x-1绕着点4（1,1）逆时针旋转压与直线。重合，则，i的斜截式方程是.

13.已知函数y=1-sinx-cosx的最大值为.

14.直角三角形ABC中，AB=3,4c=4,BC=5,点M是三角形A8C外接圆上任意一点,

则荏•福的最大值为.

15.已知常数me/?,若关于x的方程x+/七正=m有且仅有一个实数解，则m的取值范

围是.

16.已知常数teR,集合S={z\\z-1|<3,zEC},T={z\z=竽1+t,weS},若SUS=S,

则t的取值范围是.

三、解答题(本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知直线，：x—2y+1=0.

(1)若直线小2x+y+l=0,求直线I与直线I1的夹角；

(2)若直线％与直线/的距离等于1，求直线％的一般式方程.

18.(本小题14.0分)

设常数p6R,已知关于x的方程/+px+2=0.

(1)若p=2,求该方程的复数根；

(2)若方程的两个复数根为a、0,且|a-0|=1,求p的值.

19.(本小题14.0分)

记/"(X)=2sin2x+4sin2x.

(1)求关于x的方程/"(%)=0的解集；

(2)求函数y=/(x)的单调减区间.

20.(本小题18.0分)

如图，设力BCDEF是半径为1的圆。的内接正六边形，M是圆。上的动点.

(1)求|南+能—宿|的最大值；

(2)求证：拓相+祈52为定值；

(3)对于平面中的点P,存在实数x与y,使得而=x而+y/，若点P是正六边形4BCDEF内

的动点(包含边界)，求％-y的最小值.

21.(本小题20.0分)

设f(z)是一个关于复数z的表达式，若+yi)=/+y/(其中》,y,x19y1€R,i为虚数

单位)，就称/将点P(x,y)对应”到点Qdyi).例如：/(z)=:将点(0,1)“/对应”到点

(0,-1).

⑴若/(z)=z+l(zeC),点Pi(l,l)“f对应”到点Qi，点P2“对应”到点<?2(1，1)，求点Qi、

P?的坐标.

(2)设常数k,teR,若直线，：y=kx+t,/(z)=z2(zeC)，是否存在一个有序实数对(匕t)，

使得直线，上的任意一点P(x,y)“/对应”到点Q(xi，yj后，点Q仍在直线I上？若存在，试求

出所有的有序实数对(k,t);若不存在，请说明理由.

(3)设常数a,b€R,集合。{z|z6C且Rez>0}和4={w|weC且|w|<1},若/(z)=察满

足：①对于集合。中的任意一个元素z,都有f(z)ea；②对于集合4中的任意一个元素w,

都存在集合。中的元素z使得w=/"(z).请写出满足条件的一个有序实数对(a,b),并论证此时

的f(z)满足条件.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：a=1,则直线"：%+y—2=0,12：%+y4-1=0,

这两条直线的斜率都为-1,且不重合，则匕〃。，

反之,若I"/%，则a=+1,

当a=-1时直线4：x—y-2=0,-%+y+1=0,

此时两条直线的斜率都为-1,且不重合，则，“〃2，

则a=1是的充分不必要条件.

故选：A.

两条不重合的直线，若斜率相等，则平行，由此可判断.

本题考查两条直线的位置关系，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•.・函数y=cos(2%+0)的图像关于点得,0)中心对称，

2xy+(p=^+kn9kEZ,

即9=/CTT—号，fc6Z,

o

当k=1,9=7T—¥=£

oo

即Wl的最小值为看

故选：c.

根据函数的对称性，求出w的表达式，然后进行求解即可.

本题主要考查三角函数的性质，利用余弦函数的对称性进行求解是解决本题的关键，是基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，是基础题.

先求圆心到直线ax+by=1的距离，通过关系判断点P(a,b)与圆的位置关系.

【解答】

解：•・,直线ax+by=1与圆C：/+y2=i相交，

.•・圆心到直线距离d=T=<丁=1,得+人2>1,

Ja2+6

则点P(a,b)到圆心距离为Va?+炉>1=r-

•・•点P与圆C的位置关系为：P在圆外.

故选：C.

4.【答案】A

【解析】解：设C(m,5),G(x,y),

1-7+mr,m

X=-z—=-2+—

_l.3,即G(—2+日,1),

{7n+

令赤.瓦?=(-2+9-2=-4+3>0,则巾>12：

令否-08=-7(-2+/)+0=14-与>0,则m<6；

令而-OC=m(-2+y)+5=1m2-2m+5>0恒成立，

所以当m<6或m>12时，n=2；当6SmW12时，n—1,

综上，n的值的集合为{1,2}.

故选：A.

利用重心坐标公式表示出点G的坐标，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，并解不等式，分

类讨论，即可.

本题考查平面向量数量积的坐标运算，重心坐标公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

5.【答案】1

【解析】解：因为扇形的半径为2,弧长为2,

所以扇形的圆心角a=|=1弧度.

故答案为：1.

利用扇形的弧长公式即可求解.

本题考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题.

6.【答案】兀

【解析】解：函数y=tanx的最小正周期是兀，

故答案为：n.

由题意，利用正切函数的周期性，得出结论.

本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题.

7.【答案】(|2)

【解析】解：•.,方=(3,4)，

・・・向=5，

••・%=号》

故答案为：(1,1).

可求出|11=5,从而得出瓦=塔，代入坐标即可.

本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算,

考查了计算能力，属于基础题.

8.【答案】七

【解析】

【分析】

利用三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行转化求解即可.

本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的定义是解决本题的关

键.

【解答】

解：sin(当+a)=—sin(^+a)=—cosa,

•••角a的终边过点P(4,-3),

44

•••cosa==-

J42+(_3)25，

则sin怎+a)=—cosa=-"

故答案为：一/

9.【答案】5

【解析】解：•.•复数z=1+2i(其中i为虚数单位)，

二z•2=(1+2i)(l-2i)=I2+22=5.

故答案为:5.

利用共规复数的定义、复数的运算法则即可得出.

本题考查了共轨复数的定义、复数的运算法则，属于基础题.

10.【答案】(1,勺

【解析】解：设点P(x,y),

•••Pi(—1,1)、P2(2,3),

•••第=(x+l,y—1)，恒=(2-%3-y)，

P^P=2两，

(x+l=2(2—x)

解得

ly-l=2(3-y)

•••P(l，).

故答案为：

设点P(x,y),求出不，河的坐标，再结合第=2A及，求出x,y的值即可.

本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题.

11.【答案】n-arccos—

48

【解析】解：△ABC^,a=4,b=6,c=9,

由余弦定理得cose="6&=_空，

2x4x648

有CG(0,兀)，

7Q

所以C=n—arccos—.

故答案为：71-arccos

48

利用余弦定理求出cosC,再根据反余弦函数求出C的值.

本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题.

12.【答案】y=-3x+4

【解析】解：直线I：y=2x-1绕着点4(1,1)逆时针旋转今与

直线k重合，

设直线k的斜率为卜，则tanj=(^=l,解得化=一3,

所以直线Z1的点斜式方程为：y-l=-3(x-l),

化为斜截式方程是y=—3x+4.

故答案为：y=—3%4-4.

根据题意画出图形，结合图形利用直线，到直线。的角正切公

式tan。=磊点求出直线。的斜率，再写出点斜式方程，化为斜截式方程.

本题考查了直线的方程与应用问题，是基础题.

13.【答案】1+

【解析】解：y=1—sinx-cosx=1—(sinx+cosx)=1—V^sinfx+；),

yG[l-<^,l+<7],

所以函数的最大值为：1+。.

故答案为：i+

根据三角函数的性质，利用辅助角公式，即可求出答案.

本题考查三角函数的性质，属于基础题.

14.【答案】12

［解析］解:如图建立平面直角坐标系,4(0,0),S(3,0),C(0.4),

三角形4BC外接圆Q-1)2+(y-2)2=备

设M(|+?cosa,2+|sina)>贝UAM=(|+1cosa,2+

|sina),AB=(3,0)，

AB-AM^^+^-cosa<12,

故答案为：12.

建立坐标系，设M(|+|cosa,2+|s讥a),则AM=(|+|cosa,2+|sina),AB=(3,0).AB-AM=

£+cosa<12

本题考查了圆的参数方程、三角函数的单调性、数量积坐标运算，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题。

15.【答案】［一2,2)U{2V_2}

【解析】解：由4一/20,可得一2WXW2,

由题意可得>/4—%2=—X+m>

即直线y=-x+m与曲线y=74一%2只有一个交点,

又因为曲线y=54-％2表示以原点为圆心,2为半径且位于x轴上及上方的半圆,

如图所示：

当直线y=-x+m过(一2,0)时，m=-2,此时直线y=-x+m与半圆只有一个交点，

当直线过点(2,0)时，m-2,此时直线y=-x+zn与半圆有两个交点，

结合图象，当直线与半圆相切时，rn=2，N，

综上所述，m的取值范围是［-2,2)U{24攵}.

故答案为：［-2,2)U{2，至}.

将问题转化为直线y=-%+m与曲线y=，七百只有一个交点，作出图象,结合图象求解即可.

本题考查了转化思想、数形结合思想及直线与圆的位置关系，属于中档题.

若SUT=S,则两圆内含或内切，

y](t-I)2+1W2>

•••(t-I)2<3

|t-1|<解得1一<3wtw1+G，

即t的取值范围是[1一q,1+一司.

故答案为：[1—1+，司.

从复数模的几何意义进行分析，将sur=s的集合关系转化为圆的内切或内含问题，利用半径关

系即可求解.

本题考查了复数的几何意义，圆与圆的位置关系，属中档题.

17.【答案】解：(1)因为直线心x-2y+l=0,斜率为k=g,

直线匕：2x+y+1=0,k1=—2,

计算kki=—1,所以

即直线I与直线，i的夹角为余

(2)若直线%与直线，的距离等于1，则，〃[2,

设直线的一般式方程为％~2y+m=0,则斤不?=1

解得TH=1±A/-5,

所以直线%的一般式方程为％-2y+1±4亏=0.

【解析】(1)求出直线I的斜率，利用斜率判断两直线垂直，从而得出两直线的夹角;

(2)根据题意判断两直线平行，利用两平行直线间的距离公式求解即可.

本题考查了直线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：(1)若p=2,

则/+2%+2=0,即(％+1)2+1=0,解得％=-1±i；

(2)方程%2+p%+2=0的两个复数根为a、0,

则Q+/?=-p,a,B=2,

v|a-/?|=1,

・,・4a2+夕2_2aB—J(Q+0)2_4a0=yjp2—8=1，解得p=±3.

【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解；

(2)根据已知条件，结合韦达定理，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

19.【答案】解：(l)/(x)=2sin2x+4sin2x,

令/(x)=0，即2sin2x+4sin2x=0,

EP4sinx(cosx+sinx)=0,

Wfl4y/~2sinx-sin(x+^)=0,

解得％=/czr或％=/CTT—pkEZ,

故关于％的方程f(%)=0的解集是{%|%=kn•或％=Mr—ak6Z}.

(2)1/(%)=2sin2x+4sin2x=4sinx^cosx+sinx),

/'(%)=4[cosx(cosx+sinx)+sinx(—sinx+cosx)

=4(cos2%—sin2%+2sinxcosx)

=4(cos2x4-sin2x)

=4V-2sin(2x+-),

令f(x)<0,即2/CTT+TTV2久+，V2kn+2zr,

解得：/C7T4--<X</C7T+—,fcGZ,

oo

故/⑶的递减区间是(/OT+：,/OT+S(keZ).

【解析】(1)解方程，求出方程的解集即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出

函数的递减区间即可.

本题考查了三角函数问题，考查函数的单调性，方程的解，考查导数的应用，是中档题.

20.【答案】解：(1)因为M,。均在圆上运动，

贝1J|南+旅一祠|

=|/iC-AM|=|MC|<|FC|=2.(圆上两点间直径最长);

(2)证明：因为4、。为圆直径的两端，M为圆上的动点，

所以M42+M£)2=AD2=4,

故西?2+砸2

=\MA\2+|MD|2

=MA2+MD2=4.

即加2+而2为定值公

(3)建立如图所示的坐标系，则以?,一3,F(?W)，

则由赤=%笳+丫赤=x(?,一方+y(?W)

=(?(%+y),"(y—x))，即P(?(x+y)W(y-x))，

要使x-y最小，只需使y-x最大，即点P的纵坐标最大，

由点P在正六边形上及其内部运动，

1

则5(y-x)max=1，二y-xW2,从而x-yN-2,

即x-y的最小值为-2.

【解析】(1)根据向量的线性运算及圆上两点直径最短可求得;

(2)由4、。在直径两端点上，M在圆上运动，可知所证式等于直径的平方，为定值;

(3)建立坐标系，将x-y的几何意义找出来，从而求得最小值.

本题考查平面向量的基本运算，坐标法解决平面向量相关问题，属中档题.

21.【答案】解：(1)由知z=l+P则，(z)=z+l=2+i,故Qi(2,l),

设「2(第，)，则f(z)=z+1=(%+1)+yh

由Q2(l,l)知x+l=l,y=1,则％=0,y=1,即

(2)直线，上的任意一点P(%,y)“对应”到点Q(%i，yi),

所以z=x+yi,/(z)=z2=(x2—y2)4-2xyi,且、=k%+3

所以％2—y2=%],2xy=y1,即Q(%2-y2,2%y),

由题意，点QQi，%)仍在直线2上，

则2xy=k(x2-y2)+3又y=kx+t,

贝Ij2%(k%+t)=k[x2—(fcx+t)2]+t,

展开整理得(I+卜)%2+Qi+2k2t)x+kt2—t=0,

表3+々=o

则2t+2k2t=0,解得k=t=0,

kt2—t=0

所以，所求的有序实数对(/