2020年全国II卷理科数学高考真题（答案版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，有一项是符合题目要求的。

1,已知集合0={-21,0,123},A={-1,O,1}>3={1,2},则①(AB)=

A.I}

B.{-223}

C{-2,-1,0,3}

D.{-2-1,0,2,3}

答案：A

解析：

〃={-Z-LO,1,2,3},/={-LO,1},8={L2}

<U8={-LO,L2}，G(/U8)={-2,3}

2.若a为第四象限角，则

A.cos2<z>0

B.cos2a<0

C.sin2a>0

D.sin2a<0

答案：D

解析：

aw(24”一52Jbr),/sZ

2aw(4A〃-”,4A”)

z.sin2a<0

3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订

单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报

名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单

超过1600份的概率为0.05,o志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第

二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者

A.10名

B.18名

C.24名

D.32名

答案：B

4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、

下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石

板构成第一环，向外每环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环

多9块，向外每环依次增加9块。已知每层环数相同，且下层比中层多729

块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）

A.3699块

B.3474块

C.3402块

D.3339块

答案：C

5.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为

A.

5

275

B.

5

375

C.

4后

D.

5

答案：B

6.数列(%)中，q=2，%"+,=%"％,若矶+嗫+…+10=2'3-25,则％=

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：C

7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的

点为在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为

A.E

B.F

8.设。为坐标原点，直线％与双曲线

C:-=1(。>0/>0)的两条渐近线分别交于。,E两点。若^ODE的面积为

a"b~

8,则C的焦距的最小值为

A.4

B.8

C.16

D.32

答案：B

9,设函数/(x)=ln12x+l|—ln|2x—1|,则/(x)

1、

qZ,+00)

A.是偶函数，且在2单调递增

(-11)

B.是奇函数，且在2'2单调递减

/1、

(-00,--■)

C.是偶函数，且在2单调递增

(-8-1)

D.是奇函数，且在一万单调递减

答案：D

9G

10.已知△ABC是面积为丁的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上。若

球。的表面积为16万，则°到平面ABC的距离为

A.G

3

B.2

C.1

2

D.2

答案：C

11.若2*-2><3-*-37,则

A.—x+1)>0

B.ln(y—x+1)<0

C.ln|x-y|>0

D.b?|x—y|<0

答案：A

12.0T周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列4%%…满足

4'{°'1}('=12…)，且存在正整数加，使得*=q(i=l,2,...)成立，则称其为

0T周期序列，并满足心,“=q(i=l,2,...)的最小正整数加为这个序列的周期，对

1"J

于周期为m的0T序列q%,…,C(Z)=(左=-1)是描述其

C(A:)<-(^=1,2,3,4)

性质的重要指标,下列周期为5的0T的序列中,满足5的序

列是

A.11010...

B.11011...

C.10001...

D.11001...

答案：C

a.%=0或1

“及)41=£>即・4105个积至多一个为1

5.1

xiioioiioio

511011

C.10001

pfioofi

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直，则k=.

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个

小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有一种。

15.设复数Z],满足匕|=0|=2,则4+z2=6+i,则匕-Zz|=

16.设有下列四个命题：

Pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

出：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面a,直线加1平面a,则加1/.

则下述命题中所有真命题的序号是—

①P1八，4

②P1△P2

③「P2Vp3

④V」P4

填空题答案:

13.42/2

解析：

•.,（版―各州=0,

:.k--=0

2

k=—

2

14.36

解析：C：/”36

15.2V3

解析：

㈤=同=2

Z1+Z2=y/3+2

|z,-z21=2^1

16.①③④

解析：

耳Jx/>X/»V

①耳n/J

②4"X

③MU巴V

④V

©dX3)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作

答。

(一)必考题，共60分。

17.(12分)

AABC中，sin224—sin2S-sin2C=sin5sinC,

(1)求A；

(2)若8C=3,求周长的最大值.

参考答案：

(1)

在“3C中，sin:J-sin2J?-sin2C=sin5sinC

由正弦定理可知，

a~-b'—c2①

a2=b2+c'-2bccosA②

.“I.,2

••cosA=—•♦•%=—汽

23

(2)

^ABC41»BC=3=a

Vsin2J-sin2B-sin2C=sin6sinC=J="+c'+6c

9=b?+c[+he之3bc

工be£3(当6=c=6等号成立)

(A+r)2=Z>2+c2bc=b2-*-c?x-^bc^hc-9^-bc<12

(6+c)g=25

工周长=a+b+c=3+6+。43+24(b=c=®取最大值)

••・周长最大值为3+24

18.（12分）

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块

中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据

（X/y）（i=l,2,…,20）,其中Xj和yj分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单

位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

202020_220_220

£%=60,£%=1200£卜产）=80£（y「y）=9000,£卜闵（丫“卜800.

i=li=li=li=li=l

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样

区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）

（2）求样本（冷凹）（'=12…,20）的相关系数（精确到o.oi）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表

性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合

理的抽样方法，并说明理由。

r

7r

附：相关系数V.=1,及，L414.

答案：

（1）12000

（2）0.94

（3）根据各地块间植物覆盖面积进行分层抽样

解析：

（1）野生动物估计值■照X200-12000

20

58008141nod

,80x90002V2»33

（3）根据各地块间植物邀盖面积进行分层抽样

19.(12分)

22

已知椭圆G:—+~T=l(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,G

的中心与。2的顶点重合.过F且与X轴垂直的直线交G于A、B两点，交。2于

C、D两点，且31岩网•

(1)求G的离心率；

(2)设M是G与G的公共点.若阿司=5,求G与02的标准方程.

答案：

(1)^=—

2

(2)C,:—+^-=1.G：y2-12x

3627

解析：

2

(1)C2»y=4cx这里c=

不妨C(c92c),D(c,-2c)

则|CD|=12c—(—2r)|=4c

|^|=||CZ)|=|x4<'=3c

不妨A(c,1c)5(c,—^c)

2o2

代入G得［+J=1。/+-=1

『b，41-e2

«4e2(I—e2)+9e2=4(1—e2)

=4e2-4J+9e2=4-4e2

。4/-175+4=0

<=>(4e2—1X^2-4)=0又EW(0,1)

(2)设”(Ajo).由MeG得5=|MF|=%+C

由得a-；Xo=|MF|=5

20.如图I,已知三棱柱ABC-A百G的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，

M,N分别为BC,4G的中点，尸为AA/上一点，过8©和P的平面交AB于

E,交AC于F.

(1)证明：AAVN,且平面AAMNL平面Egc/；

设。为的中心，若。平面。一，且

(2)A4GAEgC

AO^AB,求直线gE与平面4AMN所成角的正弦值

答案：

(1)if明IAA.IMN

n四边形48MV为平行四边形

||MN

由以11叫

得4XJIMV

BB'MN

4GliUBC

8CJI6C将

B£.£F共面

又丁区BCC、是矩形nMNLBC

JMNJ.8C

|£F||BC'

rtU/5C是正三角形，ViBCLAM

60面43/

BC\\ET

n£F_LAM4W.n面A\NM±面做C；F

(2)例已知以”为坐标收点,m的方询为*轴正方向，|A”|为单位长.建。如图所示的

空网/I用坐标HM-听，如82.XA/-75.

连接NP.西四边形40”为平行四边JU.故。V'?.£/g.；.3,由⑴如詈百4小仆_1平匍”皮?

.作04M.•足为。.咐.\、_1平面彳6。

/i6

故“7个.1^.

3

如

又・一是平面44WJV的法臼量，故“M、•C。'，.

所以直线B\E与平面44A/N所成用的正弦位为

21.(12分)

已知函数〃x)=sin2xsin2x

(1)讨论〃x)在区间(0,4)的单调性;

(2)证明：|/(x)归挛；

O

3”

(3)设〃eN*,证明sin2xsin22元sin?4x…sin?2nx<—.

4〃

答案：

⑴，(x)=sin'x(2sinjrcosx)=2gin'jrco”

/(x)»2((sin:x)cosx-*-sin'x(-sinx))=2(3sin;xcos2x-sin4x)

•2sin:x(3cos2x-sin:x)»2sh：X4cas1x-l)

■861nx8sx♦-)(cosx--)

X2<

(O.->(->—)(—»4T)

3333T3

co&rIIi11

coir>—--<co5x<-CO8X<一

222222

/(X)■0-0♦

/(X)tJt

故/⑶在(吟,《g.<)t-.m,a(-,—)±M.

(2)由四元均值不等大

小国…n2VW吟

(3)由于(sinhsin2x…$in'2'x)：

=|sii'Jsn，…川？'】I

=siix||sii:isii1lx-*$ia'2'*'xsii2'i||sii:2'x

=|ii111/(J|/(2ib-/U*'jlilsioJ'x

一lilflhi—I,

所以、in：vsin'21-sin'2'x4(

4"

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔

将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

已知曲线Cl,。2的参数方程分别为

1

2x=t+-

x=4cos0,,;，。为参数),

,(6为参数)，C：

=4sin2^2

yy-t——

（1）将C,C2的参数方程化为普通方程:

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Cl,C2的交点

为尸，求圆心在极轴上，且经过极点和尸的圆的极坐标方程.

答案：

x+y=4cos20+4sin-8=4

⑴Cti(

222

C2:X-/=(/+-)-(/--)=4

x+y=42n

1=4