3.2.2奇偶性(2)课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质．2.应用函数的性质解决简单的问题.3.体会数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用.活动方案活动一巩固函数奇偶性的概念，判断复杂函数的奇偶性【解析】

当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－x2＋2x－3＝－f(x)；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3＝－f(x)．又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数．【解析】

当x<－1时，－x>1，所以f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；当x>1时，－x<－1，所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)；当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，所以f(－x)＝0＝f(x)，所以对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．活动二利用函数奇偶性求函数解析式及单调区间【解析】(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，所以f(x)＝x2＋2x，所以m＝2.y＝f(x)的图象如图所示：设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1，求f(x)的解析式并求其单调区间．求给定区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为已知区间上的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．思考1►►►观察下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？活动三探究奇函数与偶函数的单调性【解析】

偶函数在y轴两侧的图象的升降方向是相反的，即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．思考2►►►观察下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？【解析】

奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的，即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同．例

3已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在区间[0,1)上单调递增．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求实数a的取值范围．已知f(x)是R上的偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，若有f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，求实数a的取值范围．【解析】

由于f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故其图象关于y轴对称，且在区间(－∞，0)上单调递减．由于f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，根据其图象性质可知|－2a＋3|>|2a－1|，两边平方得(－2a＋3)2>(2a－1)2，整理得8>8a，解得a<1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)．1.利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出相应区间上的单调性．2.解含“f”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；二是f(x)的单调性已知，特别是f(x)为偶函数时，应把不等式f(x1)<f(x2)转化为f(|x1|)<f(|x2|)或f(|x1|)>f(|x2|)的形式，利用x∈[0，＋∞)的单调性求解.活动四函数奇偶性与单调性的综合应用【解析】(1)函数定义域为R，其定义域关于原点对称．因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.(1)求证：f(0)＝1；(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．【解析】(1)令x＝0，y＝0，得2f(0)＝2f(0)2，所以f(0)＝0或f(0)＝1.又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)．又f(0)＝1，即f(－y)＝f(y)，即对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．判断抽象函数的奇偶性时，赋值后出现f(－x)和f(x)是关键，故赋值要恰当，要认真体会赋值法在解题中的作用．检测反馈245131.(2022·桂林高一期中)已知奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在区间(－∞，0)上函数f(x)的解析式是(

)A.f(x)＝－x(1－x) B.f(x)＝x(1＋x)C.f(x)＝－x(1＋x) D.f(x)＝x(x－1)【解析】

当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)．因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．【答案】B2451324513【答案】D24533.(多选)(2022·宝鸡高一期末联考)若f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝4x－x2，则下列说法中错误的是(

)A.f(x)的单调增区间为(－∞，－2]和[0,2] B.f(－π)<f(5)C.f(x)的最大值为4 D.f(x)>0的解集为(－4,4)124531【解析】

因为当x≥0时，f(x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)的草图如图所示．对于A，f(x)的单调增区间是(－∞，－2]和[0,2]，故A正确；对于B，在区间[2，＋∞)上，f(x)单调递减，则f(－π)＝f(π)>f(5)，故B错误；对于C，f(x)的最大值为f(2)＝f(－2)＝4，故C正确；对于D，f(x)>0的解集为(－4,0)∪(0,4)，故D错误．故选BD.【答案】BD24534.(2022·天津滨海新区高一期末)已知函数f(x)是定义在区间[－3,3]上的奇函数，且在区间[0,3]上单调递减，则满足f(2m＋1)＋f(1)<0的实数m的取值范围是________.1【解析】

因为f(x)是定义在区间[－3,3]上的奇函数，且在区间[0,3]上单调递减，所以f(x)在区间[－3,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－3,3]上单调递减．不等式f(2m＋1)＋f(1)<0，即为f(2m＋1)<－f(1)＝f(－1)，则2m＋1>－1且－3≤2m＋1≤3，解得－1<m≤1，故实数m的取值范围是(－1,1]．【答案】(－1,1]24535.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象，完成以下问题.(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的解析式；(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋