2015年重庆市中考数学试卷(A卷)（含解析版）

2015年重庆市中考数学试卷（A卷）

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

L（4分）（2015•重庆）在-4,0,-1,3这四个数中，最大的数是（）

A.-4B.0C.-1D.3

2.（4分）（2015•重庆）下列图形是轴对称图形的是（）

6

◎A.。B.C.

3.（4分）（2015•重庆）化简J冠的结果是（）

A.473B.273C.372D.2灰

4.（4分）（2015•重庆）计算（a2b）3的结果是（）

A.a6b3B.a2b3C.a5b3D.a6b

5.（4分）（2015•重庆）下列调查中，最适合用普查方式的是（)

A.调查一批电视机的使用寿命情况

B.调查某中学九年级一班学生的视力情况

C.调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况

D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况

6.（4分）（2015•重庆）如图，直线ABIICD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H.若

Z1=135。，则N2的度数为（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

7.（4分）（2015•重庆）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个

数分别为198,230,220,216,209,则这五个数据的中位数为（）

A.220B.218C.216D.209

8.（4分）（2015•重庆）一元二次方程x2-2x=0的根是（

A.xi=O,X2=_2B.xi=l,X2=2C.XI=1,X2=_2D.xi=O,X2=2

9.（4分）（2015•重庆）如图，AB是。。直径，点C在。。上，AE是。。的切线，A为切

点，连接BC并延长交AE于点D.若NAOC=80°,则NADB的度数为（）

10.（4分）（2015•重庆）今年"五一"节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中

途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），S与t

之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是（）

A.小明中途休息用了20分钟

B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C.小明在上述过程中所走的路程为6600米

D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

11.（4分）（2015•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①

个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12

个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（

A.21B.24C.27D.30

12.（4分）（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与

x轴平行，A,B两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数y=」的图象经过A,B两点，则菱形

c.2yD.472

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）（2015•重庆）我国"南仓"级远洋综合补给舱满载排水量为37000吨，把数37000

用科学记数法表示为.

14.（4分）（2015・重庆）计算：20150-|2|=.

15.（4分）（2015•重庆）已知AABOADEF,△ABC与△DEF的相似比为4：1,则△ABC

与小DEF对应边上的高之比为.

16.（4分）（2015•重庆）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AB=4&.以A为

圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D,则图中阴影部分的面积是.（结果保

留H）

17.（4分）（2015•重庆）从-3,-2,-1,0,4这五个数中随机抽取一个数记为a,a的

（2x+3<C41

值既是不等式组的解，又在函数丫=——的自变量取值范围内的概率

l3x-l>-ll2X2+2X

是____________

18.（4分）（2015•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4近，AD=10.连接BD,NDBC的角

平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BCE.当射

线BE，和射线BC都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若△BFD为等腰三角形，则线段

DG长为.

三、解答题（共2小题，满分14分）

19.（7分）（2015•重庆）解方程组!k2X-4①

l3x+y=l②

20.（7分）（2015•重庆）如图，在^ABD和^FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,

BC=DE,ZB=ZE.求证：ZADB=ZFCE.

BDE

四、解答题（共4小题，满分40分）

21.（10分）（2015•重庆）计算：

（1）y（2x-y）+（x+y）2；

⑵(y-l上士丝1

V+Iy2+y

22.（10分）（2015•重庆）为贯彻政府报告中"全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内

所有的小微企业按年利润w（万元）的多少分为以下四个类型：A类（w<10）,B类（10<w

<20）,C类（20<w<30）,D类（W230）,该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行

统计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：

某镇各类4嗷企业个数条形统计图各类型微小企业个数占该镇小

（1）该镇本次统计的小微企业总个数是,扇形统计图中B类所对应扇形圆心

角的度数为度，请补全条形统计图；

（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业

派一名代表参会.计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参

会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求出所抽取的

2个发言代表都来自高新区的概率.

23.（10分）（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一

串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为"和

谐数例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个

位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个"和谐数"，再加

22,545,3883,345543,都是“和谐数".

（1）请你直接写出3个四位"和谐数"；请你猜想任意一个四位"和谐数”能否被11整除？并

说明理由；

（2）已知一个能被11整除的三位"和谐数"，设其个位上的数字x（14x“，X为自然数），

十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.

24.（10分）（2015•重庆）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD,其中ABUCD,

大坝顶上有一瞭望台PC,PC正前方有两艘渔船M,N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔

船M的俯角a为31。，渔船N的俯角B为45。.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂

足为E,且PE长为30米.

（1）求两渔船M,N之间的距离（结果精确到1米）；

（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=l：0.25,为提高大坝防洪能力，请

施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH,加固后背水坡

DH的坡度i=l：1.75,施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备,

工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每

天填筑土石方多少立方米？

（参考数据：tan31°=0.60,sin31°=0.52）

RA,H

五、解答题（共2小题，满分24分）

25.（12分）（2015•重庆）如图1,在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,点E是NBAC角

平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点

F是BD的中点，DH±AC,垂足为H,连接EF,HF.

（1）如图1,若点H是AC的中点，AC=2"”，求AB,BD的长；

（2）如图1,求证:HF=EF；

（3）如图2,连接CF,CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说

明理由.

26.（12分）（2015•重庆）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-近x?+交X

4

轴于A,B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴

的交点为D.

（1）求直线BC的解析式；

（2）点E（m,0）,F（m+2,0）为x轴上两点，其中2cm<4,EE\FF分别垂直于x轴，

交抛物线于点F,F,交BC于点M,N,当ME，+NF的值最大时，在y轴上找一点R,使|RF

-RE1的值最大，请求出R点的坐标及|RF-RE1的最大值；

（3）如图2,已知x轴上一点P（20）,现以P为顶点，2T为边长在x轴上方作等边三

2

角形QPG,使GP_Lx轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到

达点A时停止，记平移后的△QPG为△QPG，.设△QPG，与△ADC的重叠部分面积为S.当

Q'到x轴的距离与点Q，到直线AW的距离相等时，求s的值.

2015年重庆市中考数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1.（4分）（2015•重庆）在-4,0,-1,3这四个数中，最大的数是（）

A.-4B.0C.-1D.3

考点：有理数大小比较.

分析：先计算|-4|=4,|-1|=1,根据负数的绝对值越大，这个数越小得-4<-1,再根据

正数大于0,负数小于0得到-4<-1<0<3.

解答:解：,J|-4|=4,|-1|=1,

-4<-1,

二-4,0,-1,3这四个数的大小关系为-4<-1<0<3.

故选D.

点评：本题考查了有理数大小比较：正数大于0,负数小于0;负数的绝对值越大，这个数

越小.

2.（4分）（2015•重庆）下列图形是轴对称图形的是（）

@。CD.

考点：轴对称图形.

分析：根据轴对称图形的概念求解.

解答：解：A、是轴对称图形，故正确;

B、不是轴对称图形，故错误;

C、不是轴对称图形，故错误;

D、不是轴对称图形，故错误.

故选A.

点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称

轴折叠后可重合.

3.（4分）（2015•重庆）化简J］口的结果是（）

A.473B.273C.3FD.276

考点：二次根式的性质与化简.

分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可.

解答：解：V12=2V3.

故选：B.

点评：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.

4.（4分）（2015•重庆）计算（a2b）3的结果是（）

A.a6b3B.a2b3C.a5b3D.a6b

考点：塞的乘方与积的乘方.

分析：根据幕的乘方和积的乘方的运算方法：①（am）n=amn（m,n是正整数）；②（ab）

n=ain（n是正整数）；求出（a2b）3的结果是多少即可.

解答:解：（a2b）3

=（a2）3«b3

=a6b3

即计算（a2b）3的结果是a6b3.

故选：A.

点评：此题主要考查了累的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①

（am）n=amn（m,n是正整数）；②（ab）^a与n（n是正整数）.

5.（4分）（2015•重庆）下列调查中，最适合用普查方式的是（）

A.调查一批电视机的使用寿命情况

B.调查某中学九年级一班学生的视力情况

C.调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况

D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况

考点：全面调查与抽样调查.

分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的

调查结果比较近似.

解答：解：A、调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故A不

符合题意；

B、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故B符合题意；

C、调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故C

不符合题意；

D、调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D不符合

题意；

故选：B.

点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对

象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义

或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用

普查.

6.（4分）（2015•重庆）如图，直线ABIICD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H.若

C.45°D.35°

考点：平行线的性质.

分析：根据平行线的性质求出N2的度数即可.

解答：解:■■■ABHCD,Z1=135",

Z2=180°-135°=45°.

故选C.

点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补.

7.（4分）（2015•重庆）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个

数分别为198,230,220,216,209,则这五个数据的中位数为（）

A.220B.218C.216D.209

考点：中位数.

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）

为中位数.

解答:解:先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：198,209,216,220,230.

位于最中间的数是216,

则这组数的中位数是216.

故选C.

点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要

先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中

间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

8.（4分）（2015•重庆）一元二次方程x2-2x=0的根是（）

A.xi=0,X2=_2B.xi=l,X2=2C.XI=1,X2=-2D.xi=0,X2=2

考点：解一元二次方程-因式分解法.

分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

解答：解：x2-2x=0,

x（x-2）=0,

x=0,x-2=0,

xi=O,X2=2,

故选D.

点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一

次方程，难度适中.

9.（4分）（2015•重庆）如图，AB是。。直径，点C在。。上，AE是。。的切线，A为切

点，连接BC并延长交AE于点D.若NAOC=80。，则NADB的度数为（）

考点：切线的性质.

分析：由AB是。。直径，AE是O0的切线，推出AD_LAB,ZDAC=ZB=lzAOC=40°,推出

2

ZAOD=50°.

解答：解：；AB是。。直径，AE是。。的切线，

ZBAD=90",

,/ZB=lzAOC=40°,

2

二ZADB=90°-ZB=50°,

故选B.

点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC,构建直角三角形,

求NB的度数.

10.（4分）（2015•重庆）今年"五一"节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中

途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t

之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是（）

A.小明中途休息用了20分钟

B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C.小明在上述过程中所走的路程为6600米

D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

考点：一次函数的应用.

分析：根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40〜60分钟休息，60〜100分钟爬山

（3800-2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间的关系进行解

答即可.

解答：解：A、根据图象可知，在40〜60分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时

间为：60-40=20分钟，故正确；

B、根据图象可知，当t=40时，s=2800,所以小明休息前爬山的平均速度为：2800+40=70

（米/分钟），故B正确；

C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为3800米，故错误；

D、小明休息后的爬山的平均速度为：（3800-2800）+（100-60）=25（米/分），小

明休息前爬山的平均速度为：2800+40=70（米/分钟），

70>25,所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；

故选：C.

点评：本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题.

1L（4分）（2015•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①

个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12

个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）

考点：规律型：图形的变化类.

分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=7求解即可.

解答：解：观察图形得：

第1个图形有3+3xl=6个圆圈，

第2个图形有3+3x2=9个圆圈，

第3个图形有3+3x3=12个圆圈，

第n个图形有3+3n=3(n+1)个圆圈，

当n=7时，3x(7+1)=24,

故选B.

点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公

式，难度不大.

12.(4分)(2015•重庆)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与

x轴平行，A,B两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数y=」的图象经过A,B两点，则菱形

C.2&D.4加

考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征.

分析：过点A作X轴的垂线，与CB的延长线交于点E,根据A,B两点的纵坐标分别为3,1,

可得出横坐标，即可求得AE,BE,再根据勾股定理得出AB,根据菱形的面积公式:

底乘高即可得出答案.

解答：解：过点A作X轴的垂线，与CB的延长线交于点E,

A,B两点在反比例函数y=2的图象上且纵坐标分别为3,1,

x

•A,B横坐标分别为1,3,

AE=2,BE=2,

AB=2\历，

Sg®ABCD=jRxi®=2<\/2x2=4<\/2,

点评：本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是

解题的关键.

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）（2015•重庆）我国"南仓"级远洋综合补给舱满载排水量为37000吨，把数37000

用科学记数法表示为3.7x104.

考点：科学记数法一表示较大的数.

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中n为整数.确定n的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

解答：解：将37000用科学记数法表示为3.7X104.

故答案为：3.7X104.

点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中141al

<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

14.（4分）（2015•重庆）计算：20150-|2|=-1.

考点：实数的运算；零指数幕.

专题：计算题.

分析：原式第一项利用零指数暴法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得

到结果.

解答：解：原式=1-2

=-1.

故答案为：-1.

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

15.（4分）（2015•重庆）已知AABOADEF,△ABC与△DEF的相似比为4：1,则AABC

与ADEF对应边上的高之比为4：1.

考点：相似三角形的性质.

分析：根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.

解答：解:AABC-ADEF,AABC与ADEF的相似比为4：1,

△ABC与4DEF对应边上的高之比是4：1,

故答案为：4：1.

点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解

此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比.

16.（4分）（2015•重庆）如图，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，AB=4&.以A为

圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D,则图中阴影部分的面积是8-2H.（结果保留H）

A

D

CR

考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形.

分析：根据等腰直角三角形性质求出NA度数，解直角三角形求出AC和BC,分别求出4ACB

的面积和扇形ACD的面积即可.

解答：解：丫&ACB是等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,

ZA=ZB=45°,

■/AB=4«,

AC=BC=ABxsin45°=4,

==8,45冗・心物,

SAACB=-^XACXBC-1x4X4S扇形ACD：

360

•••图中阴影部分的面积是8-2n,

故答案为：8-2H.

点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质的应用,

解此题的关键是能求出4ACB和扇形ACD的面积，难度适中.

17.（4分）（2015•重庆）从-3,-2,-1,0,4这五个数中随机抽取一个数记为a,a的

（2x+3<41

值既是不等式组的解，又在函数丫=——的自变量取值范围内的概率是

2

13X-1>-112X+2X-

2

考点：概率公式；解一元一次不等式组；函数自变量的取值范围.

分析:[2x+3<41

由a的值既是不等式组Q的解，又在函数y=——的自变量取值范围

l3x-l>-ll2X2+2X

内的有-3,-2,可直接利用概率公式求解即可求得答案.

解答•‘2x+3<4„

'解：；不等式组<的解集是:

3x-1>-11

2x+3<C4

a的值既是不等式组的解的有：-3,-2,-1,0,

3x-1>-11

:函数y=————的自变量取值范围为：2X2+2X*0,

2X2+2X

二.在函数y=—1—的自变量取值范围内的有-3,-2,4；

2x+2x

，2x+3<41

：a的值既是不等式组;的解，又在函数y二一I—的自变量取值范围

l3x-l>-U2X2+2X

内的有：-3,-2；

a的值既是不等式组J的解，又在函数y=_1_的自变量取值范围

13x-l>-ll2X2+2X

内的概率是：Z.

5

故答案为：2.

5

点评：此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.（4分）（2015•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4\，历，AD=10.连接BD,NDBC的角

平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BCE.当射

线BE，和射线BC都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若△BFD为等腰三角形，则线段

DG长为例.

-L

考点：旋转的性质.

分析：根据角平分线的性质，可得CE的长，根据旋转的性质，可得BC，=BC,EC=EC；根据

等腰三角形，可得FD、FB的关系，根据勾股定理，可得BF的长，根据正切函数，可

得tanNABF,tanNFBG的值，根据三角函数的和差，可得AG的长，根据有理数的减

法，可得答案.

解答：解：作FK_LBC于K点，如图:

在RtZkABD中，由勾股定理，得

BD=VAB2+AD2=7(V6)2+102=14

设DE=x,CE=4\后-x,

由BE平分NDBC,得

BD=DEan14_X

BCEC'To-476-x'

解得X------2,EC=.El

33

在RtABCE中，由勾股定理，得

BE=VBC2+CE2^102+2=5^2

由旋转的性质，得

,

BE=BE=-^/12IBC'=BC=1O,E，C=EC=5灰.

33

△BFD是等腰三角形，BF=FD=x,

在RtAABF中，由勾股定理，得

x2=(4A/6)2+(10-x)2,

解得x=生，

5

AF=10-丝工.

55

1576

tanZABF=^=—^==2^,tanZFBG=E','=3=近,

AB4A/6120BC'106

娓十企

tanzABG=tan(zABF+zFBG)=tan/ABF+tan/FBG=6「=21低,

1-tanNABF，tanNFBG1_，6、R6119

1l20XT

tanzABG=^="匹，

AB119

AG=41遍x4加

119119

DG=AD-AG=10-&24=_686=28；

11911917

故答案为：义.

17

点评：本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义，利用三角

函数的和差得出AG的长是解题关键.

三、解答题（共2小题，满分14分）

19.（7分）（2015•重庆）解方程组（k2X-4①

.3x+y=l②

考点：解二元一次方程组.

专题：计算题.

分析：方程组利用代入消元法求出解即可.

解答“f行2x-4①

解：《，

13x+y=l②

①代入②得：3x+2x-4=l,

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=-2,

则方程组的解为.

1尸_2

点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加

减消元法.

20.（7分）（2015•重庆）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,

BC=DE,ZB=ZE.求证：ZADB=ZFCE.

BDE

考点：全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：根据等式的性质得出BD=CE,再利用SAS得出：AABD与AFEC全等，进而得出

ZADB=NFCE.

解答：证明：•：BC=DE,

BC+CD=DE+CD,

即BD=CE,

在^ABD与^FEC中，

'AB=EF

-NB=NE，

BD=EC

△ABDV△FEC（SAS）,

/.NADB=ZFCE.

点评：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE,再利用全等

三角形的判定和性质解答.

四、解答题（共4小题，满分40分）

21.（10分）（2015•重庆）计算：

C1）y（2x-y）+（x+y）2；

⑵（V-1--8-）上空巴

V+Iy2+y

考点：分式的混合运算；整式的混合运算.

专题：计算题.

分析：（1）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结

果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分即可得到结果.

解答：解：（1）原式=2xy-y2+x2+2xy+y2

=4xy+x2；

y(y+l)

⑵原式二

(y-3)2

_y2+3y

y-3'

点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22.（10分）（2015•重庆）为贯彻政府报告中"全民创新，万众创业"的精神，某镇对辖区内

所有的小微企业按年利润w（万元）的多少分为以下四个类型：A类B类（10<w

<20）,C类（20<w<30）,D类（W230）,该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行

统计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题:

某镇各类〃嘴企业个数条开缀计图各类型微小企业个数占该镇小

（1）该镇本次统计的小微企业总个数是25,扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度

数为72度,请补全条形统计图；

（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业

派一名代表参会.计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参

会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求出所抽取的

2个发言代表都来自高新区的概率.

考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图.

分析：（1）由题意可得该镇本次统计的小微企业总个数是：4+16%=25（个）；扇形统计图中

B类所对应扇形圆心角的度数为：-AX360°=72°；又由A类小微企业个数为：25-5-

25

14-4=2（个）；即可补全条形统计图；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽取的2

个发言代表都来自高新区的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解答：解：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是：4+16%=25（个）；

扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为：AX360°=72°；

25

故答案为：25,72；

A类小微企业个数为：25-5-14-4=2（个）；

补全统计图：

某镇各类〃媾企业个数条形统计图

（2）分别用A,B表示2个来自高新区的，用C,D表示2个来自开发区的.

画树状图得:

开始

ABCD

/1\/N/T\/4\

BCDACDABDABC

•••共有12种等可能的结果，所抽取的2个发言代表都来自高新区的有2种情况，

.•.所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率为：-1=1.

126

点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点

为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.（10分）（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一

串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为"和

谐数例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个

位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个"和谐数"，再加

22,545,3883,345543,...»都是"和谐数”.

（1）请你直接写出3个四位"和谐数"；请你猜想任意一个四位"和谐数"能否被11整除？并

说明理由；

（2）已知一个能被11整除的三位"和谐数”，设其个位上的数字x（1WX“，x为自然数），

十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.

考点：因式分解的应用；规律型：数字的变化类.

分析：（1）根据"和谐数”的定义（把■个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出

的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个"和谐数"，

设任意四位"和谐数”形式为：近根据和谐数的定义得到2=山b=c,则

abcdJOOOa+lOOb+lOc+dJOOOa+lOOb+lOb+dgia+iOb为正整数，易证得任意四

111111

位"和谐数"都可以被11整除；

（2）设能被11整除的三位"和谐数"为：右，则

运101x+10y=99x+52x-丁”』为正整数.故y=2x（lvx“，x为自然

11111111

数）.

解答：解:（1）四位"和谐数”：1221,1331,1111,6666...（答案不唯一）

任意一个四位"和谐数"都能被11整除，理由如下：

设任意四位"和谐数"形式为：豆而，则满足：

最高位到个位排列：d,c,b,a

个位到最高位排列：a,b,c,d.

由题意，可得两组数据相同，则：a=d,b=c,

贝ijabcdhlOOOa+lOOb+IOc+d-lOOOa+lOOb+IOb+augiech为正整数

•••四位"和谐数"能被11整数，

又ra,b,c,d为任意自然数，

二任意四位"和谐数"都可以被11整除；

（2）设能被n整除的三位"和谐数"为：xyz,则满足:

个位到最高位排列：x,y,z.

最高位到个位排列：z,y,x.

由题意，两组数据相同，贝IJ：x=z,

故xyz=xyx=101x+10y,

故运lOlx+l叽99X+11/2X-&0为正整数.

11111111

故y=2x（l<x<4,x为自然数）.

点评：本题考查了因式分解的应用.解题的关键是弄清楚"和谐数"的定义，从而写出符合题

意的数.

24.（10分）（2015•重庆）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD,其中ABUCD,

大坝顶上有一瞭望台PC,PC正前方有两艘渔船M,N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔

船M的俯角a为31。，渔船N的俯角。为45。.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂

足为E,且PE长为30米.

（1）求两渔船M,N之间的距离（结果精确到1米）；

（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=l：0.25,为提高大坝防洪能力，请

施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH,加固后背水坡

DH的坡度i=l：1.75,施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备,

工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每

天填筑土石方多少立方米？

（参考数据：tan310=0.60,sin31°=0.52）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；分式方程的应用；解直角三角形的应用-坡度坡

角问题.

分析：（1）在直角APEN,利用三角函数即可求得ME的长，根据MN=EM-EN求解;

(2)过点D作DN_LAH于点N,利用三角函数求得AN和AH的长，进而求得△ADH

的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求

解.

解答：解：(1)在直角APEN中，EN=PE=30m,ME=----左—=50(m),

tan310

贝!jMN=EM-EN=20(m).

答：两渔船M、N之间的距离是20米；

(2)过点D作DQJ_AH于点Q.

由题意得：tanNDAB=4,tanH=—,

7

在直角ADAQ中，AQ=------四---=幽=6(m),

tan/DAB4

在直角△DHQ中，HQ=------四---=4=42(m).

tanZDAB1

7

故AH=HQ-AQ=42-6=36(m).

SAADH=-AH»DQ=432(m2).

2

故需要填筑的土石方是V=SL=432xl00=43200(m3).

设原计划平均每天填筑xm3,则原计划螫K天完成，则增加机械设备后，现在平均

X

每天填筑2xm3.

根据题意，得：10x+(43200-10-20)•2X=43200,

x

解得:x=864.

经检验x=864是原方程的解.

答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米.

BH

点评：本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角

形.

五、解答题（共2小题，满分24分）

25.（12分）（2015•重庆）如图1,在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,点E是NBAC角

平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点

F是BD的中点，DH±AC,垂足为H,连接EF,HF.

（1）如图1,若点H是AC的中点，AC=2«,求AB,BD的长；

（2）如图1,求证：HF=EF；

（3）如图2,连接CF,CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说

明理由.

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

分析：（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；

（2）如图1,连接AF,证出△DAEVAADH,ADH0△AEF,即可得到结果；

（3）如图2,取AB的中点M,连接CM,FM,在ADE中，AD=2AE,根据三角形

的中位线的性质得到AD=2FM,于是得到FM=AE,由NCAE=lzCAB=30°ZCMF=ZAMF