2017年上学期北师大版九年级数学全册导学案(含答案)

第1课时菱形的性质

出示11标

1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形

的关系；

2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合

情推理能力；

3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能

力.

预习导学

自学指导：阅读课本P2~4,完成下列问题.

1.有一组邻边相笠的平行四边形叫做菱形.

3.菱形具有平行四边形的一切性质.

2.菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴.它有两条对称轴,两条对称轴互相垂

直.

4.菱形的四条边都相等.

5.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组近比.

知,识探究

1.请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

(2)菱形中有哪些相等的线段？

解：(1)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。

(1)菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.

自学反馈

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0.

(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)有哪些特殊的三角形？

BC

活动1小组讨论

例1已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点0.

求证：（1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC±BD.

证明：（1）•.•四边形ABCD是菱形，

AAB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.

又•.•AB=AD,

.,.AB=BC=CD=AD.

（2）VAB=AD,

/.△ABD是等腰三角形.

又•.•四边形ABCD是菱形，

/.0B=0D（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ABD中，

V0B=0D,

/.A0±BD,

即AC1BD.

例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,ZBAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和

对角线AC的长.

解：•••四边形ABCD是菱形，

.••AB=AD（菱形的四条边都相等），

AC1BD（菱形的对角线互相垂直），

0B=0D=|BD=1X6=3（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ABD中，

VZBAD=60°,

.'.△ABD是等边三角形.

r.*.AB=BD=6.

在RtZkAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2.

...OA=」AB?-OB?=V62-323=3瓜

/.AC=20A=6V3.

教师被此题由菱形的性质可知AB=AD,结合NBAD=60°,即可得到aABD是等边三角形，从而可

求AB的长度.在根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求A0,继而求出

AC.

活动2跟踪训练

1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,下列说法塔误的是（）

A.AB/7DCB.AC=BDC.AC±BDD.OA=OC

2.如图，在，菱形ABCD中，AC=6,BD=8,则菱形的边长为（）

A.5B.40C.6D.8

3.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm,则菱形的面积为（）

A.B.C.Gem?D.2V3cm2

4.菱形O4BC在平面直角坐标系中的位置如图所示，ZAOC=45Q,OC=42,则点B的坐标为（）

A.（0,1）B.（1,72）C.（V2+1.1）D.（1,72+1）

5.如图，在菱形ABCD中，AB=5,ZBCD=120°,则对角线AC等于.

A

6.如图，在菱形A3CD中，对角线AC、5。相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCO的周长为24,

则。”的长等于

7.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点连结AE、CE,请找出图中一对全等三角形为

8.如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC交BC的延长线于点E.求证：DE=」BE.

课堂小结

1.菱形的定义.

2.菱形的性质.

3.菱形与平行四边形的关系.

当堂训练

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.

答案提示

【预习导学】

自学反馈

解：（D相等的线段：AB=CD=AD=BC,0A=0C,0B=0D.

相等的角：ZDAB=ZBCD,ZABC=ZCDA,ZAOB=ZDOC=ZAOD=ZBOC=90°，N1=N2=N3=N4,Z5=

Z6=Z7=Z8.

(2)等腰三角形：AABCADBCAACDAABD

直角三角形：RtAAOBRtABOCRtACODRtADOA

【合作探究】

活动2跟踪训练

1.B2.A3.D4.C5.56.3

7.AABD义ACDB(或△AOE四△COE或△ABE&ACBE)

8.；ABCD是菱形，，AD〃BC,AB=BC=CD=DA.又＜NABC=60°,.*.BC=AC=AD.VDE/7AC,；.ACED为

平行四边形.，CE=AD=BC,DE=AC..*.DE=CE=BC,.*.DE=1BE.

2

第2课时菱形的判定

出示II标

理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题

预习今学

自学指导：阅读课本P5~7,完成下列问题.

知识探究

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四边相等的四边形是菱形.

自学反馈

1.判断下列说法是否正确：

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；()

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；()

(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；()

(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.()

2.3BCD的对角线AC与BD相交于点0,

(1)若AB=AD,则DIBCD是形；

(2)若ACJ_BD,则,CD是形；

(3)若NBA0=NDA0,贝ljZZMCD是形.

介作探究

活动1小组讨论

例1.已知:如图，在DABCD中,对角线AC与BD交于点0,AC_LBD.

求证：EIABCD是菱形.

B

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.OA=OC.

XVAC1BD,

ABD是线段AC的垂直平分线.

；.BA=BC.

二四边形ABCD是菱形（菱形定义）.

例2已知:如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求证：四边形ABCD是菱形.

证明:VAB=CD,AD=BC,

工四边形ABCD是平行四边形.

又•.•ABFBC,

四边形ABCD是菱形（菱形定义）.

活动2跟踪训练

1.如图，在睁氏》中，添加下列条件不能判定是菱形的是（）

A.AB=BCB.AC±BDC.BD平分NABCD.AC=BD

2.已知DE〃AC、DF〃AB,添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）

A.AD平分NBACB.AB=AC,且BD=CD

C.AD为中线D.EF±AD

3.将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得

到的平面图形是()

A.三角形B.不规则的四边形

C.菱形D.一般平行四边形

4.如图，在♦ABCD中，AE.、CF分别是NBAD和NBCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF

为菱形的是()

A.AE=AFB.EF±AC

C.ZB=60°.D.AC是NEAF平分线

5.如图所示，在|ABCD中，ACLBD,E为AB中点，若0E=3,则■ABC。的周长是.

6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE±AB,DF1BC,垂足分别是E、F,并且DE=DF.求证:

(1)AADE^ACDF；

(2)四边形ABCD是菱形.

7.如图，OABCD的两条对角线AC、BD相交于点0,AB=5,AC=8,DB=6.

求证:，四边形ABCD是菱形.

D

课堂小结

菱形常用的判定方法：

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.有四条边相等的四边形是菱形.

当堂训练

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.

答案提示

【预习导学】

自学反馈

1.(1)X(2)V(3)X(4)X

2.(1)菱(2)菱(3)菱

【合作探究】

活动2跟踪训练

1.D2.C3.C4.C5.2.4

6.证明:(1)VDE±AB,DFXBC,/.ZAED=ZCFD=90°.

•:四边形ABCD是平行四边形，NA=NC.

ZAED=ZCFD,

•在AAED和4CFD中，＜NA=NC,-

DE=DF,

.,.△AED^ACFD(AAS).

(2)VAAED^ACFD,.\AD=CD

•.•四边形ABCD是平行四边形，.•.四边形ABCD是菱形.

7.证明：•.,四边形ABCD是平行四边形，

.,.0A=0C=4,0B=0D.=3.,

又AB=5,则32+42=52，即0A2+0B2=AB2.

/.ZA0B=90°，即ACJLBD,

四边形ABCD是菱形.

第3课时菱形的性质与判定的综合

出示II标

1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.

2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.

3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合

作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.

预习寻学

阅读教材P8-9,能灵活运用菱形的性质及判定.

自学反馈

1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6,

(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

⑶若NADC=120°,求AC的长.

(4)菱形ABCD的面积-

合作探究

活动1小组讨论

例1如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.

B

C

求：（1）对角线AC的长度;

⑵菱形ABCD的面积.

解：⑴、•四边形ABCD是菱形,

r.ACXBD,BPZAED=90°,

DE=-BDX10=5(cm)

2

.•.在RtZkADE中，由勾股定理。可得:

.*.AC=2AE=2X12=24(cm).

+

(2)S菱形ABCD=SAABDSACBD

=2XSAABD=2XBXBDXAE

=BDXAE=10X12=120(cm2).

教师向友菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.

活动2跟踪训练

L如图，菱形ABCD的周长为40cm,它的一条对角线BD长10cm,则NABC=.

AC=cm.

2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点0,AC=4cm,BD=8cm,则这个菱形的面积

是cm2.

3.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,BC=CD,锐角NBAC的角平分线AE交BC于点E,AF是CD边

上的中线，且PC,CD与AE交于点P,QC_LBC与AF交于点Q.求证：四边形APCQ是菱形.

A

C

课堂小结

通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？

当堂训练

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.

答案提示

C.......£1

【预习导学】

自学反馈

解:(1)6.

(2)垂直平分.

⑶673.

(4)18x/3.

【合作探究］

活动2跟踪训练

1.120°56

2.16

3.解：由AB=AC=AD,可知AABC、ZkADC是等腰三角形..

TAE是NBAC的角平分线，AF是CD边上，的中线，则NAEC=NAFC=90°.

VPC±CD,QC±BC,

.,.ZQCE=ZPCD=90°.

...AE〃QC,PC〃AF,

，四边形APCQ是平行四边形.

在RtZXPEC和Rt^QFC中，ZPEC=ZQFC=90°,ZPCE=90°-ZPCQ=ZQCF,

由BC=CD,可知EC=CF,

ARtAPEC^RtAQFC,

.*.PC=CQ.

...平行四边形APCQ是菱形.

第1课时矩形的性质

出向I标

1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.

2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；

3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力.

预习导学

自学指导：阅读课本P1114,完成下列问题.

1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.

3矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质.

4.矩形的四个角都是直角.

5.矩形的对角线相笠.

6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的二生.

知识探究

1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一

对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

(1)随着Na的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

(2)当Na是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长

度有什么关系？

操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.

矩形性质1矩形的四个角都是直角.

矩形性质2,矩形的对角线相等.

2如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点0,0B与AC是什么关系？

解：由矩形性质2得：AC=BD,再由平行四边形性质得：AO=OC,BO=OD,所以AO=BO=CO=DO=；AC=，BD.

因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

(1)矩形是不是中心对称图形？如果是，那么对称中心是什么？

(2)矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条？

解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

自学反馈

1.矩形是轴对称图形吗?如果是的话它有几条对称轴？

2.请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“J”，若“有病”请开药方：

(1).矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.()

(2).平行四边形是矩形.()

(3).平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形

的对角线互相平分)矩形也具有.()

3.已知aABC是RtA,NABC=90°,BD是斜边AC上的中线.若BD=3cm,则AC=cm;

合作探究

活动1小组讨论

例1如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0,ZA0D=120°,AB=2.5cm,求矩形对角线的长.

证明：•.•四边形ABCD是矩形,

/.AC=BD(矩形的对角线相等),

OA=OC=Ic,OB=OD=1BD.

/.OA=OD.

VZA0D=120°,

/.ZODA=ZOAD=-（180°-120°）=30°.

2

又•••NDAB=90°（矩形的四个角都是直角）,

/.BD=2AB=2X2.5=5.

活动2跟踪训练

L矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对边相互平行B.对角线相等

C.对角线相互平分D.对角相等

2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120。，那么对角线与矩形短边的长度之比为（）

A.3：2B.2：1

C.1.5：1D.1：1

3.如图，在矩形ABCD中，AB<BC,AC,BD相交于点0,则图中等腰三角形的个数是（）

A.8B.6

C.4D.2

4.在RtZXABC中，ZACB=90°,D、E为AB、AC的中点.则下列结论中错误的是（）

A.CD=ADB.ZB=ZBCD

C.ZAED=90°„D.AC=2DE

5.在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5,则斜边上中线长为.

6.矩形的一条对角线长10的，且两条对角线的一个夹角为60。，则矩形的宽为cm.

7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm,

BC=8cm,则4AEF的周长=cm.

B

8.如图，矩形ABCD中，E为AD上.一点，EF_LCE交AB于F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,

则AE=.

9.在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD,DF_LAE,垂足为F.求证：DF=DC.

课堂小结

L矩形的定义及性质.

2.矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

当堂训练

教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.

答案提示

【预习导学】

自学反馈

1.解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条.

2.(1)V(2)X(3)V

3.6

【合作探究】

活动2跟踪训练

l.B2.B3.C4.D5.6.56.57.98.3

9.解：连接DE.VAD=AE,AZAED=ZADE.

•矩形ABCD,

，AD〃BC,ZC=90°.

工NADE=NDEC,AZDEC=ZAED.

又•.•DFJ_AE,

NDFE=NC=90°.

VDE=DE,

/.△DFE^ADCE.；.DF=DC.

第2课时矩形的判定

出示11标

1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他

相关结论；

2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到

解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；

3.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转

化等数学思想方法；

4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生

对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

预习好学

自学指导：阅读课本P14~16,完成下列问题.

1.对角线相笠的平行四边形是矩形.

2.有三个角是直角的四边形是矩形.

知识探究

L如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相

邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？

问题:当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?

命题：对角线相等的平行四边形是矩形.

已知：如图，在UZABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.

求证：口ABCD是矩形.

教师~根据平行四边形的对边相等，再加上AC=BD,AB=AB得出AABC名4BAD,得出NABC=NBAD；

又AD〃BC,得出NABC+NBAD=180°,.•.NABC=NBAD=90°..•.对角线相等的平行四边形是矩形.

2.李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边一一直角、边一一直角、边——直角、边”，

她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？

命题：有三个角是直角的四边形是平行四边形.

已知：四边形ABCD,ZA=ZB=ZC=90°.

求证：四边形ABCD是矩形.

教师乃被NA=NB=90°得出AD〃BC,NB=NC=90°得出AB〃DC,得出四边形ABCD是平行四边形，又

有角是90°,所以是矩形.

自学反馈

1.能够判断一个四边形是矩形的条件是()

A.对角线相等B.对角线垂直

C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等

2.矩形的一组邻边分别长3cm和4cm,则它的对角线长cm.

3.如图，直线EF〃MN,PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是NEAC、NMCA、NNCA、

NFAC的角平分线，

Q

⑴AB和CD、BC和AD的位置关系？

(2)NABC、NBCD、NCDA、NDAB各等于多少度？

⑶四边形ABCD是()

A.菱形B.平行四边形C.矩形D.不能确定

(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？

A作探究

活动1小组讨论

例1如图，在。ABCD中，对角线AC和BD相较于点0,ZkABO是等边三角形，AB=4.

求6BCD的面积.

AD

/O

BC

解：•••△ABO是等边三角形，

/.0A=0B=AB.

,:四边形ABCD是平行四边形，

/.0A=0C,0B=0D.

.,.OA=OC=OB=OD.

.,.AC=BD.

四边形ABCD是矩形.

/.ZABC=90°.

V0A=AB=4,AC=20A=8,

...由勾股定理得：BC=J8?-4?=4五

，Z3VBCD的面积是BCXAB=4x=1

教师+三先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求.

活动2跟踪训练

1.下列说法错误的是（）

A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形

B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.有两个角是直角的四边形是矩形

2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

__________D

3.在四边形ABCD中，AC和BD的交点为0,则不能判断四边形ABCD是矩形的是（）

A.AB=CD,AD=BC,AC=BD

B.AO=CO,BO=DO,ZA=90°

C.ZA=ZC,ZB+ZC=180°,ZAOB=ZBOC

D.AB〃CD,AB=CD,ZA=90°

4.如图，在四边形ABCD中，已知AB〃DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成

为矩形，只需再加上一个条件是.（填上你认为正确的一个答案即可）

AD

BI----------------1c

5.如图，直角/4。8内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为.

6.延长等腰△加（；的腰BA到D,CA到E,分别使AD=AB,AE=AC,则四边形BCDE是,其判定

根据是，

7.已知四个角都是直角的四边形叫做矩形.如图是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直

于BC的线段AE剪下aABE,然后放到4DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形.那

么小张剪出的原四边形ABCD是形.判定的依据是.

B

8.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

（1）先解出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD,EF=GH；

（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是:；

（3）将直角尺靠近窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无

缝隙时（如图③④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：.

A,,B

C''I）

Eril<

G''II

①②③④

9.如图，在QABCD中，DE_LAB,BF±CD,垂足分别为E,F.

（1）求证：Z^ADE义Z\CBF；

（2）求证：四边形BFDE为矩形.

课堂小结

矩形的判定方法：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

当堂训练

教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分.

答案提示

【预习导学】

自学反馈

1.C2.5

3.⑴解：AB〃CD,BC/7AD.

⑵解：90°.

⑶C

(4)解：相等.因为矩形的对角线相等.

活动2跟踪训练

1.D2.D3.C4.如NA=90°5.12

6.矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形

7.平行四边形有三个角是直角的四边形是矩形

8.(2)平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(3)矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.

9.证明:(1)VDE±AB,BFXCD,

ZAED=ZCFB=90°.

•..四边形ABCD为平行四边形，

.,.AD=BC,NA=NC.

ZAED=NCFB,

在4ADE和4CBF中，IzA^ZC,

AD=BC.

.,.△ADE^ACBF(AAS).

(2)•.•四边形ABCD为平行四边形，

.•.CD〃AB.

.,.ZCDE+ZDEB=180°.

VZDEB=90",

/.ZCDE=90°.

.•.NCDE=NDEB=NBFD=90°.

四边形BFDE为矩形.

第3课时矩形的性质与判定的运用

出示II标

1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际

动手操作能力.

2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学.生找到解题思路的能力，

使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.

预习芋学

自学指导：阅读课本P17~19,完成下列问题.

自学反馈

L如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0,已知NA0D=120°,AB=2.5cm,则NDA0=,AC=

cm,§矩形ABCD=.

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件,可使它成为矩形.

今作探究

活动1小组讨论

例1如图，在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与BD交于点0,AE1BD,垂足为E,ED=3BE.求AE

的长.

解；四边形ABCD是矩形，

.•.AO=BO=DO='BD（矩形的对角线相等且互相平分），

ZBAD=90°（矩形的四个都是直角）.

VED=3BE,

/.BE=0E.

又；AE±BD,

/.AB=A0.

.*.AB=A0=B0,

即△ABO是等边三角形.

.,.ZAB0=60°.

.\ZADB=90o-ZAB0=30°.

在RtZkAED中,

VCZADB=3O°,

./J

例2如图，在△ABC中，AB=AC,AD为NBAC的平分线，AN为AABC外角NCAM的平分线，CE1AN,

垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.

证明：TAD平分NBAC,AN平分NCAM,

1

:.ZCAD=2ZBAC,ZCAN=2ZCAM.

1_1_

/.ZDAE=ZCAD+ZCAN=2(ZBAC+ZCAM)=2X18O°=90°.

在aABC中，

VAB=AC,AD为NBAC的平分线，

.,.AD±BC.

/.ZADC=90°.

又・“艮_1_煦,

.•.ZCEA=90°.

...四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.

活动2跟踪训练

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,以下说法错误的是（）

A.ZABC=90°B.AC=BDC.0A=0BD.0A=AD

2.如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°,两条对角线的长度的和为20cm,则这个矩形的一条

较短边的长度为（）

A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm

AD

3.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点

之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是

()

A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形

B.BD的长度增大

C.四边形ABCD的面积不变.

D.四边形ABCD的周长不变

4.如图，四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一，个条件，不

能使四边形DBCE成为矩形的是()

A.AB=BEB.DE±DCC.ZADB=90°D.CE±DE

5.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若NAOB=60°,AC=10,则AB=.

6.在四边形ABCD中，AB〃DC,ZC=90°,若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩

形，你所添加的条件是.(写出一种情况即可

7.如图，0是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5,AD=12,则四边形ABOM

的周长为.

8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,ZA0B=60°,AE平分NBAD,AE交BC于E,则

ZB0E的大小为.

9.如图，ABCD中，点0是AC与BD的交点，过点0的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.

(1)求证：AAOE^ACOF；

(2)请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由.

B'

10.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将aABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,

延长AF交CD于点G.

(1)猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；

(2)若AB=3,AD=4,求线段GC的长.

课堂小结

1.说说你的收获.

2.说说你的困惑.

3.说说你的方法.

当堂训练

.教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分.

答案提示

【预习导学】

自学反馈

1.30°5—V3

4

2.AC=BD

活动2跟踪训练

l.D2.D3.C4.B5.56.答案不唯一，如：AB=CD.7.20

8.75°

9.解：(1)•.•四边形ABCD是平行四边形，

.,.A0=0C,AB〃CD.

:.ZE=ZF.

又NA0E=NC0F.

.,,△AOE^ACOF.

⑵连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形,

理由如下：由(1)可知aAOE会aCOF,.,.OE=OF.

,:AO=CO,四边形AECF是平行四边形.

VEF=AC,四边形AECF是矩形.

10.解：(1)GF=GC.

理由：连接GE,〈E是BC的中点,

ABE=EC.

■:AABE沿AE折叠后得到△AFE,

ABE=EF..,.EF=EC.

•.•在矩形ABCD中，

/.ZC=90°.ZEFG=90°.

EG=EG,

•在RtzlXGFE和RtZkGCE中，.

EF=EC.

ARtAGFE^RtAGCE(HL).

.\GF=GC.

(2)设GC=x,则AG=3+x,DG=3-x.

在RtZkADG中,42+(3-x)2=(3+x)2.

解得x=-.故GC=±

33

第1课时正方形的性质

出示11标

1.在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得

出正确的结论.

2.进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息

相互转化的能力.

3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯

与能力.

4.培养学生勇于探索、团结协作交流的精神。激发学生学习的积极性与主动性。

预习导学

自学指导：阅读课本P20~21,完成下列问题.

知识探究

1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形既是矩形又是菱形,它既具有矩形的性质,又有菱形的性质.

3正方形的四个角相等都是直角,四条边相等.

4.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

自学反馈

正方形的性质：

1.边：都相等且；

2.角：四个角都是；

3.对角线：两条对角线互相且，并且每一条对角线平分；

4.正方形既是图形，又是图形，正方形有对称轴.

介作探究

活动1小组讨论

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之

间有怎样的关系？请说明理由.AD

解：BE=DF,且BEJLDF.理由如下：I------------K

（1）•.•四边形ABCD是正方形，\

.-.BC=DC,ZBCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.I

/.ZDCF=1800-ZBCE=180°-90°=90°.'\

：.ZBCE=ZDCF.L-/I\

又TCEXF,B-cF

.,.△BCE^ADCF.

.•.BE=DF.

⑵如图，延长BE交DE于点M.-----------\

VABCE^ADCF.[\

:.ZCBE=ZCDF.\

VZDCF=90°.

：.ZCDF+ZF=90°.\

/.ZCBE+ZF=90°.B---c---

/.ZBMF=90°.

.\BE±DF.

活动2跟踪训练

1.菱形，矩形，JE方形都具有的性质是（）

A.对角线相等且互相平分B.对角线相等且互相垂直平分

C.对角线互相平分D..四条边相等，四个角相等

2.正方形面积为36,则对角线的长为（）_

A.6B.6，^C.9D.9，^

3.如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）

A.14B.15C.16D.17

4.如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,点M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.小明

认为：若MN=EF,则MN_LEF；小亮认为：若MN_LEF,贝UMN=EF.你认为（）

A.仅小明对B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对

I)

N

5.如图：延长正方形ABCD的边BC至E,使CE=AC,连接AE交CD于F,则NAFC=

BCE

6.如图，正方形ABCD的边长为2,4BPC是等边三角形，则4CDP的面积是.，

7.如图，已知正方形ABCD的边长为1,连结AC、BD,CE平分NACD交BD于点E,则DE=.

8.如图，,正方形ABCD的对角线AC、BD交于点0,N0CF=N0BE.求证:0E=0F.

9.如图正方形ABCD的边长为4,E、F分别为DC、BC中点.

(1)求证：△ADEgZkABF.

(2)求AAEF的面积.

课堂小结

'边：正方形的对边平行且相等.

正方形的性质J角：正方形的四个角都是直角•

对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角.

对称：既是轴对称，又是中心对称，它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心.

平行四边形

想

当堂训练

教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分.

答案提示

【预习导学】

自学反馈

L四条边对边平行

2.直角

3.垂直平分相等一组对角

4.中心对称轴对称四条

活动2跟踪训练

l.C2.B3.C4.C5.112.56.17.

8.解：•.•四边形ABCD是正方形，

，ACJ_BD,OB=OC.，NA0B=NB0C=90°.

XVZOCF=ZOBE,

/.△OCF^AOBE.

.*.OE=OF.

9.解：(1)•.•四边形ABCD为正方形，

/.AB=AD,N=90°,DC=CB.

TE、F为DC、BC中点，

/.DE=i)C,BF=^BC,

22

，DE=BF.

AD=AB,

•.•在aADE和AABF中，＜NB=N。，

DE=BF,

.,.△ADE^AABE(SAS)；

(2)由题知△ABF、△ADE、4CEF均为直角三角形，

且AB=AD=4,DE=BF=1X4=2,CE=CF=lx4=2,

22

:.S△佃=S证方形ABCD-SAADE-SAABF-SACEF=4X4-Ax4X2-1X4X2-1X2X2=6.

222

第2课时正方形的判定

出示II标

1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.

,2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,

并能对自己的

猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力.

,3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.

预习导学

自学指导：阅读课本P22~24,完成下列问题.

1.对角线相等的菱形是正方形.

2.对角线,垂直的矩形是正方形.

3.有一个是直角的菱形是正方形.

知识探究

1.将一张.长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？

解：因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪

一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可.

自学反馈

1.已知四边形ABC。中，■■■■■■»,如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形,

那么这个条件可以是（）

B.AB=CD

C.AD=BCD.BC=CD

2.下列命题正确的是（）

A.两条对角线相等的菱形是正方形

B.对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形

C.两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形

D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

3.在四边形AZJCD中，。是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）

A.AC=BD,AB//CD,AB=CD

AD//BC,ZA=ZC

C.AO=BO=CO=DO,AC±BD

0.AO=CO,BO=DO,AB=BC

4.菱形ABC。中，对角线AC,AD相交于点。，若再补充一个条件能使菱形ABC。成为正方形，则这

个条件是

-（只填一个条件即可）.

5.如图，将一张矩形纸片ABCO折叠，使落在AD边上，然后打开，折痕为顶点B的落点为

F.则四

边形ABEF是形.

A.--------------,DA.,D4f---------------------[~.D

\~~~-\B\\

B----------------CCB----------sC

令作探究

活动1小组讨论

例1如图，在矩形ABCD中，BE平分NABC,CE平分NDCB,BF〃CE,CF〃BE.求证：四边形BECF是

正方形.

解：VBF/7CE,CF〃BE,

四边形BECF是平行四边形.

,/四边形ABCD是矩形，

/.ZABC=90°,ZDCB=90°.

又VBE平分ZABC,CE平分NDCB,

/.ZEBC=-ZABC=45°,-ZECB=-ZDCB=45°.

22

:.ZEBC=ZECB.

/.EB=EC.

平行四边形BECF是菱形.

在4EBC中，

VZEBC=45°,ZECB=45°,

.*.ZBEC=90°.

.,•菱形BECF是正方形.

例2问题：(1)如图，在AABC中，EF为AABC的中位线,

①若NBEF=30,，则NBAC=.

②若EF=8cm,则AC=.

(2)在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？

(3)四边形EFGH的形状有什么特征？

解：(1)①30，②16cm

(2)EF=GH,EF〃HG,

(3)四边形EFGH是平行四边形.

例3如果例2中四边形ABCD变为特殊的四边形,中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？

解：如图所示.

平行四边形的中点四边形为平行四边形;

矩形的中点四边形为菱形；

菱形的中点四边形为矩形；

正方形的中点四边形为正方.

教师乃文决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.

活动2跟踪训练

1.如图，在△ABC中，=90°,8。平分/ABC,DE上BC,DF.LAB,垂足分别为E、F,求

证：四边形阻尸是正方形.

A

2.如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，ABF=CG=DH,四边形EFGH是什么图形？证明

你的结论.

3.如图所示，点E,F,G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.

课堂小结

L本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？

2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做?

当堂训练

教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分.

答案提示

【预习导学】

自学反馈

1.D2.A3.C

4.NBA。=90（或ADLAB,AC=B。等）5.正方

活动2跟踪训练

1.解：VZABC=90°,DELBC,DF.LAB,

四边形尸是矩形.

•.•8。平分Z4BC,DELBC,DF±AB,

:.DE=DF.：.以矩形BEDF是正方形.

2.解：四边形EFGH是正方形，证明过程如下：

V四边形ABCD是正方形，,AB=BC=CD=DA.

♦：AE=BF=CM=DN,:.HA=EB=FC=GD.

VNA=NB=NC=ND=9()。，

，Rt^^H=RtBFEsRtCGF三RtDHG.

:.EF=FG=GH=HE,.•.四边形EFMN是菱形.

又NAHE=NBEF,ZAHE+ZAEH=90°,

：.ZAEH+ZBEF=90°,：.NHEF=90°.

...四边形EFMN是正方形.

3.证明：连接BD.如图所示：

•.•点E,F,G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点,

/.EF是4BCD的中位线，GH是aABD的中位线，

.•.EF〃BD,EF=-BD,GH〃BD,GH=-BD,

22

，EF〃GH,EF=GH,

/.四边形EFGH是平行四边形.

第二章一元二次方程

2.1认识一元二次方程

第1课时一元二次方程

出示目标

1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。

2、能力培养：能根据具体情景应用知识。

3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。

预习芋学

自学指导阅读教材第31至32页，并完成预习内容.

(1)如果设未铺地毯区域的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为(8—2x)

m,宽为为(5—2x)m.

根据题意，可得方程(8—2x)(5—2