2020-2021学年安徽省黄山市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年安徽省黄山市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数（其中i是虚数单位）2+2i-|«+i|=（）

A.0B.2C.-2/D.2i

2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取

一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）人.

A.630B.615C.600D.570

3.如图Rt^。'A'B'是一平面图形的直观图，斜边B'=2,则这个平面图形的面积

4.随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A,记“向上的点数之差为奇数”

为事件8,贝U（）

A.ACBW0B.AQB

C.A,B互斥但不对立D.A,B对立

5.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三

分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，

球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注口七3）（）

A.125.77B.864C.123.23D.369.69

6.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为卷，得，则密码被破译的概率为

（）

A.—12B.—C.—5D.1

636

7.一艘海轮从4处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟

后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在B

处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是（）海里.

c.1073D.20M

8.已知△AO8,存在非零平面向量祈，满足|赢|=4,I而|=2|无|，且EA•而=3，则

||的最小值()

A.B.3C.2D.-^5.

53

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9.下列命题：其中正确命题的是()

A.若A与B是互斥事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)

B.若事件A,B,C彼此互斥，则尸(A)+P(B)+P(C)=1

C.对立事件一定是互斥事件

D.若事件4,B满足P(A)+P(8)=1,则A与8是对立事件

10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感

染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”.过去7日，甲、乙、丙、丁

四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是()

甲地：总体平均数彳＜3,且中位数为0;

乙地：总体平均数为2,且标准差sW2；

丙地：总体平均数彳43,且极差cW2；

丁地：众数为1,且极差cW4.

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

11.如图，矩形ABC。中，AB=2AO=2,E为边A8的中点.将沿直线QE翻折成

△AQE(点4不落在底面8CZJE内)，若M在线段4c上(点M与4,C不重合)，

则在△AOE翻转过程中，以下命题正确的是()

B.存在点M,使得平面40c成立

C.存在点M,使得MB〃平面AOE成立

D.四棱锥Ai-BCDE体积最大值为返

4

12.点。在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

—•—♦

A.若动点尸满足而=金+入——H_把一）（人＞0）,则动点P的轨迹一

lABlsinBlAClsinC

定经过aABC的垂心

AC_ABBC_BA

B.若金，)OB*)则点。为△ABC的内心

lAClIABTIBC1|BAT

C.若（OA+OB）（OB+OC）*BC=0,则点。为△ABC的外心

D.若动点尸满足而=赢以（一———卜一——）（入＞0）,则动点P的轨迹一

IABIcosBIACIcosC

定经过△ABC的重心

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）

13.已知复数2巫二iz的共朝复数为』贝

22

14.已知向量£（1,m）,b=（3,-2）.且G+E）1E，则向量；与向量三的夹角余弦值

为.

15.已知三个事件A,B,C两两互斥且P（A）=0.3,P（B）=0.6,P（C）=0.2,则P

（AUBUC）=.

16.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面

为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.现有如图所示的“堑堵”ABC-

AiBCi,其中ACLBC,AAi=AC=l,当''阳马"四棱锥8-4ACG体积为■时，则“堑

堵”即三棱柱ABC-481cl的外接球的体积为

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请

在答题卷的相应区域答题.）

17.已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.满足2c=a+2加osA.

(1)求B；

(2)若a+c=10,b=6,求△ABC的面积.

18.某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率

分布直方图如图:

（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）

（2）某老师抽取了10名学生的分数：羽，X2,冷，…，》o,已知这10个分数的平均数x

=90,标准差s=6,若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准

差.

圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为

32-ncm,高为30a“，圆锥的母线长为20c〃z.

（1）求这种“笼具”的体积;

(2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米4元，共需

多少元？

20.已知i是虚数单位，复数Z「i,Z『1+i，

A4Ji41+1

(i)求⑷，zi，iz3|,IZ.I；

(2)随机从复数Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等

于1的概率.

21.设G为AABC的重心，G为ABCG的重心，过G作直线/分别交线段AB,AC(不与

端点重合)于M,N.若疝=x藤，AN=yAC-

(1)求证：工△为定值；

xy

(2)求x+y的取值范围.

22.已知矩形ABC。满足AB=2,BC=&,△PA8是正三角形，平面PA8_L平面ABCD

(1)求证：PCYBD-,

(2)设直线/过点C且/，平面ABCZ),点F是直线/上的一个动点，且与点P位于平

面ABC。的同侧，记直线PF与平面R48所成的角为0,若0<CF<2j§,求tanO的取

值范围.

B

参考答案

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数（其中i是虚数单位）2+2i-|«+ik（）

A.0B.2C.-2iD.2i

解:（匾产+12=2,

：.2+2i-|-s/3+z|=2+2i-2=2i.

故选：D.

2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取

一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）人.

A.630B.615C.600D.570

解：高一年级共有学生1200人，

按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，

样本中共有男生42人，

则高一年级的女生人数约为：1200X吗线=570.

80

故选：D.

3.如图RtaO'A'B'是一平面图形的直观图，斜边0,"=2,则这个平面图形的面积

C.&D.2&

解：•.•氐△O'Ab是一平面图形的直观图，斜边08=2,

直角三角形的直角边长是加,

二直角三角形的面积是x亚x/5=i，

原平面图形的面积是1又2近=2M

故选：D.

4.随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A,记“向上的点数之差为奇数”

为事件8,则()

A.4C1BW0B.AQB

C.A,B互斥但不对立D.A,B对立

解：随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A,

记“向上的点数之差为奇数”为事件B,

则事件A与事件B既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件，

故A,B,C均错误，。正确.

故选：D.

5.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三

分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，

球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？(注n七3)()

A.125.77B.864C.123.23D.369.69

解：由题意，空心金球，它的直径12寸.

可得体积为：V=&JTR3=4X63=864

3

•.•球壁厚0.3寸，

二空心的球的部分体积为：V=yJIR3=4X(6-0,3)3=740.77

,该个空心金球的黄金中为：864-740.77=123.23.

VI立方寸金重1斤.

...金球重是123.23.

故选：C.

6.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为［•,X则密码被破译的概率为

()

125

A.—B.—C.—D.1

636

解：甲、乙两人独立地破译一份密码，

设事件A表示甲能破译密码，事件B表示乙能破译密码，

则P(A)=2，P(B)=工，

32

密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码,

密码被破译的概率为：

P=1-P（AB）=1-P（A）2（B）

=2

故选：B.

7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟

后到达8处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在8

处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是（）海里.

A.10^2B.20MC.10^3D.2072

解：如图，由已知可得，ZBAC=30Q,/ABC=105°,AB=20,

从而NACB=45°.

在AA8c中，由正弦定理可得BC=.神，Xsin30°=10料.

8.己知△AOB,存在非零平面向量祈，满足|赢|=4,|QB|=2|0C\＞且在•五=3，则

||的最小值（）

A.B.3C.2D.

53

解：设则I祠=2r,取48的中点因为在,不=3，

所以(CM+MA)•(CM+MB)=就+,(俞畸+忌•而=3,

所以而『-《同=3,

所以I屈I取最小值时，|而|也取最小，

|CMlmin=l0Ml-l0Cl»此时°，C,M三点共线，

设此时I而曰，则应1=1而1=42-3,I同=242-3,

因为cosZOMA+cosZOMB=0,

所以由余弦定理得0M+AM2-OA2+OM2+BM2-OB2=0,

即2(r+f)2+2(户-3)=16+4产，得产-2次+11-2产=0,

由△=4产-44+8产20,得t2,

3

所以同=24七2-3》,

O

所以I港I的最小值为生号.

3

故选：D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.)

9.下列命题：其中正确命题的是()

A.若A与B是互斥事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)

B.若事件A,B,C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1

C.对立事件一定是互斥事件

D.若事件A,8满足P(A)+P(B)=1,则4与8是对立事件

解：选项A：根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确,

选项8：P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,可能会小于1,故B错误，

选项C：根据对立事件的概念可得。正确，

选项。：事件4抛掷1枚均匀的硬币，朝上的概率是尚，事件B：抛掷一枚均匀的骰子

所得点数为偶数的概率为4，

但是A,B不对立，故O错误，

故选：AC.

10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感

染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”.过去7日，甲、乙、丙、丁

四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是()

甲地：总体平均数彳43,且中位数为0；

乙地：总体平均数为2,且标准差sW2；

丙地：总体平均数彳43,且极差cW2；

丁地：众数为1,且极差cW4.

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似

病例不超过5人”.

甲地：总体平均数彳43,且中位数为0，

存在连续7天中某一天新增疑似病例超过5人的可能，故甲地不一定符合标准，故A错

、口

乙地：总体平均数为2,且标准差sW2,

存在连续7天中某一天新增疑似病例超过5人的可能，

例如7天中增增病例数为1,1,1,1,2,2,6,

满足总体平均数为2,且标准差sW2,故乙地不一定符合标准，故B错误；

丙地：总体平均数且极差cW2,

每天新增疑似病例没有超过5人的可能，故丙地一定符合标准，故C正确：

丁地：众数为1,且极差cW4.

每天新增疑似病例没有超过5人的可能，故丁地一定符合标准，故。正确.

故选：CD.

11.如图，矩形4BCD中，AB=2AD^2,E为边48的中点.将沿直线OE翻折成

△4QE（点Ai不落在底面3CDE内），若M在线段4c上（点M与4,C不重合），

则在△4OE翻转过程中，以下命题正确的是（）

A.存在某个位置，使OEL41C

B.存在点M,使得BMJ_平面AOC成立

C.存在点M,使得朋8〃平面AQE成立

D.四棱锥4-BCDE体积最大值为返

4

解：对于A,假设存在某个位置，使DEA.AiC,取DE中点0,

连接4。，CO,显然A}OLDE,

而40nAic=A”.•.£）£：，平面A\OC,OCu平面AiOC,

J.DEVOC,则CE=CD,但CE=&,CD=2,不可能相等，

所以不可能有DELMC,

所以A选项错误；

对于B,若存在点使得平面AQC成立，

因为CDu平面4OC,所以BM_L£）C,

又因为BCLCO且BMCBC=B,所以

。£>_1_平面BCM,又因为CMu平面BCM,

那么COLCM,又因为4£><OC,直角边大于斜边，矛盾，

所以B选项错误；

对于C,取CD中点N,连接MN,BN,•:M是A,C的中点，

：.MN//A\D,而MNC平面A\DE,Z）Eu平面4DE,〃平面AtDE,

由DN与EB平行且相等得DNBE是平行四边形，BN//DE,

同理得BN〃平面AiDE,而BNCMN=N,；.平面BMN〃平面A\DE,

BA/u平面BMN,〃平面A\DE,

所以选项C正确

2_

当平面4QE,平面BCDE时，4到平面BCDE的距离最大为返,

2

又SB°E=2X1-IX1=-1,

22

―鼻鼠乎平

3224

所以选项。正确.

故选：CD.

12.点。在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（)

A.若动点P满足而=示+入(__%---+-——%----)

1（人＞0）,则动点P的轨迹一

lABlsinBlAClsinC

定经过aABC的垂心

B.若0A，(A，,—皿，)=Qg*(—丝〒—BA,)=0,则点。为△ABC的内心

|AC||AB|iBCliBAl

C.若（赢+而）•标=（祈+而）•前=0，则点。为△ABC的外心

D.若动点P满足而=赢◎（一———卜一A1,——）（入＞0）,则动点P的轨迹一

IABIcosBIACIcosC

定经过△ABC的重心

解：对于4根据正弦定理：J-ALLJ^l,所以蒜和至+菽共线，设点。为BC的

sinCsinB

中点，所以标+菽=2标，故动点尸的轨迹一定经过△A8C的重心，故A错误；

ACAB一ACAB、

都为单位向量，满足菱形的性质特征,0A(z

对于8：由于w南

IACTIABT

=根・（叁〒=0,故向量示和/A角平分线垂直相交于点。，则点。为△

iBCliBAl

ABC的内心，故B正确;

对于C：取48的中点/）,由于水+而=2而，且满足（赢+而）・标=。，说明则点。

是AB垂直平分线上的点，故点。为△ABC的外心，故C正确；

对于。：与选项A答案，也根据正弦定理：展1上21,所以下和标+而共线，设

sinCsinB

点。为BC的中点，所以标+标二2标，故动点P的轨迹一定经过△ABC的重心，但是

一和一^—就不对了，故O错误.

IABIcosBIACIcosC

故选：BC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）

13.已知复数z半得力z的共朝复数为工则z二;=1.

解：；2=^^力

••.zG=|z|2=（J（坐）2+g）2）2=i

故答案为：1.

14.已知向量之=（1,m）,b=（3,-2），且（Z+E）1E，则向量Z与向量E的夹角余弦值

为史.

-5―

解：根据题意，设向量;与向量芯的夹角为仇

向量;=（1,m）,b=（3,-2）＞则;+E=（%WJ-2）,

若（Z+E）J_E，则（Z+E）・E=12-2（"7-2）=0,解可得,"=8,

贝Ia=（L8）,则Ial='l+64=A/^，Ibl=V9+4=V13,

a,b=3-16=-13,

a*b

故-13

COS0|；||brV65><V13

故答案为:

15.已知三个事件A,B,C两两互斥且P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(C)=0.2,则P

(AUBUC)=0.9

解：三个事件A,B,C两两互斥,

P(B)=0.6,可得P(B)=1-0.6=0.4,

则P(4UBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9.

故答案为：0.9.

16.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面

为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.现有如图所示的“堑堵”ABC-

A1B1C1,其中ACLBC,A4i=AC=l,当“阳马”四棱锥B-A/CG体积为1■时，则''堑

堵”即三棱柱4BC-A山Ci的外接球的体积为返冗.

-2一

解：由已知可得，BCJ_平面AiACCi,

则VB-AAIC]C=,X1X1XBC=£,

OO

解得BC=1.

此时“15堵”即三棱柱ABC-A而G的外接球的直径A[B=d12+12+/=a,

二三棱柱ABC-A向G的外接球的体积为X亭"二冬冗.

故答案为：返冗.

2

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请

在答题卷的相应区域答题.）

17.已知△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.满足2c=a+2加osA.

(1)求B；

(2)若〃+c=10,b=6,求△ABC的面积.

解：(1)由题意：

因为正弦定理：/二?八,

sinAsinBsmC

所以对于2c、=〃+2加osA,有2sinC=sinA+2sin8cosA,

/.2sin|Ti-(A+B)]=sinA+2sinBcosA,/.2sinAcosB+2cosAsinB=sirL4+2sinBcosA,

整理得：2sirb4cosi5=sinA,V0<A<n,sinA^O,cosB

IT

•・•在△ABC中，A0<B<TT,故8蓝-；

M

(2)由(1)及题意可得：/?2=〃2+。2-2«CCOSB=(a+c)2-3<7C=100-3〃c=36,ac=---，

3

•c1.R1y64vV31673

,,SAABC=^acsinB=yX-X——，

所以△ABC的面积为回返.

3

18.某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率

分布直方图如图：

(1)估计这100名学生分数的中位数与平均数：(精确到01)

(2)某老师抽取了10名学生的分数：XI,及，心，…，幻。，已知这10个分数的平均数7

=90,标准差s=6,若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准

差.

(参考公式:

（参考数据：2102=44100,1922=36864,1102=12100）

解：（1）因为0.05+0.15+0.25=0.45V0.50.05+0.15+0.25+0.35=0.8>0.5,

所以中位数为X满足70Vx<80,

由(爷X0.35+0.1+0.1=0.E>解得x=80-孚-71.4-

设平均分为y,

则y=O.O5X45+0.15X55+0.25X65+0.35X75+0.1X85+0.1X95=71.0,

(2)由题意，剩余8个分数的平均值为lOx-100-80

UQ"7

£x--10X(90)2

因为10个分数的标准差

51

所以X，..+X：Q=10X(6)2+10X(90)2=81360,

222

(xf+--+xfo)-8O-lOO-8X(9O)

所以剩余8个分数的标准差为

720=275-

19.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中

圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为

32TTC，〃，高为30cm,圆锥的母线长为20cm.

（1）求这种“笼具”的体积；

（2）现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米4元，共需

多少元？

解：（1）设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为/,高为历，

根据题意可知：2nr=32n,r=16tro,hj=V20^-16^=12cm>

“笼具”的体积V=7Tr2h。兀r2hi=6656兀cm?；

（2）圆柱的侧面积S]=2兀rh=2兀X16X30=960Kan2.

22

圆柱的底面积S1=兀/=256兀cm,圆锥的侧面积S3=TT"=TTX16X20-32（）TOTO,

，“笼具”的表面积为1536TTC〃?2,

1536兀X100X41536K_

故造100个“笼具”的总造价:

10425兀，

Z=1+i，Z=

20.已知i是虚数单位，复数Z「i,2Z3#，4I7T-

(1)求⑷,|Z2|,|Z3|,|Z»|；

(2)随机从复数Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等

于1的概率.

=

解：⑴由题意知：|Z1|=1,|z2I=V1+1V2.

+=

Z3=Yll-i.Iz3|=VT+1=V2,

Z一巫)―.I7|.耳巫.

(2)设随机从复数Z2,Z3,Z,中有放回的任取两个复数的样本点为(a,b),

则该随机试验的样本空间为Q={(Z2,Z2),(Z2,Z3),(Z2,Zl),(Z3,Z2),(Z3,

Z3),(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Z4,Z3),(Z4,Z4)}

所以n(fl)=9,

设事件A="所取两个复数的模之积等于1”,

则事件A={(Z2,Zi),(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Zi,Z3)},

二〃(A)=4,故p(A)=%*.

21.设G为△ABC的重心，G为ABCG的重心，过G'作直线/分别交线段AB,AC(不与

端点重合)于M,N.若疝=xQ,AN=yAC.

(1)求证：工