2020-2021高中人教版数学4学案：2. 3.1 平面向量基本定理

2o3.1平面向量基本定理

考试标准

学考高考

课标要点

要求要求

平面向量基本定理bb

平面内所有向量的

aa

一组基底

向量发角的概念bb

知识导图

「|基本定理内容卡:温.)

1盟凄一一区囤--------1不共线向量e,©

T向量的夹角H向量垂直~1

学法指导

lo平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点.

2、为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的

方向及模的大小作图观察九，七取不同值时的图形特征，得到

平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量ei,e2

表示出来.

3、＞$.△ABC中，明确错误!与错误!的夹角与错误!与错误!的夹角互补。

川川川川川川川川川川I川川川川川川川川川川川川川I川川川h蜀的舀陶•回目学I习IU川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川I

1.平面向量基本定理

(1)定理：如枭ei,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么

对于这~平面内的任意向量。，有且只有一对实数力，22,使a=

九ei+丸202.

(2)基底：不共线的向量e\,e2叫作表示这一平面内所有

向量的一组基底.

错误！平面向量基本定理的理解

(1)错误!1,错误!2是同一平面内的两个不共线的向量,错误!1,错误!

2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底.

(2)平面内的任一向量错误!都可以沿基底进行分解、

(3)基底错误!1,错误!2确定后，实教九1、九2是唯一确定的.

2、关于两向量的夹角

obB

(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量。和力，作错误!=

a,错误！=b,则NAOB二氏叫作向量〃与办的夹角.

①范围：向量。与力的夹角的范围是［0。，180°；.

②当9=0°时与办同包、

③当。=180°时，a与b反向、

(2)垂直:如枭。与力的发角是90。，我们说。与力垂直，记

作a.Lb.

错误！两向量发角概念的正确理解

(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任

一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直、

(2)校照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对

应的角才是两向量的夹角，如图所示，NBAC不是向量错误!与向

量错误!的夹角，NBAD才是向量错误!与向量错误!的夹角.

［小试身手］

1、判断下列命题是否正确。(正确的打“小,错误的打“X”)

n;一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面

内所有向量的基底.()

(2)若ei,e2是同一平面内两个不共线向量，则Aiei+he2"i,

石为卖教)可以表示该平面内所有向量.()

(3)若oei+Z?e2=cei+de2(mb,c,d£R),贝1。=c/="。()

答案：(I)x(2)7(3Jx

2、设。是平行四边形ABCD两对角线的支点，给出下列向

量组：

①错误！与错误!；②错误！与错误!；③错误！与错误！；④错误！与错误！，其中可作

为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()

A、①②B、①③

C①④D.③④

解析：①错误!与错误!不共线；②错误！二一错误!，则错误!与错误!共线；

③错误!与错误!不共线；④错误！=一错误!，则错误!与错误!共线、由平面向

量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故

①③满足题意、

答案：B

3、在△ABC中，向量错误!,错误!的夹角是指()

C

A、/CABB./ABC

C、ZBCAD,以上都不是

解析：由两向量发角的定义知，错误!与错误!的夹角应是NA3C

的补角，故选D.

答案：D

4、如图所示，向量错误!可用向量ei,e2表示为、

解析：由图可知，错误！=4ei+3e2.

答案：错误！=4ei+3e2

甲川团川川川川卅川川川川川川川川川川川出川川川川"川川hH圜圈图•医困15］川川川川川川川川川川川"川川川川川川川川川川川川川川I

类型一平面向量基本定理的理解

例1设ei,e2是不共线的两个向量，给出下列团组向量：

①ei与ei+e2；

②ei-2e2与&-2ei；

③ei-2e2与4e2-2ei；

@ei+e2与ei-。2。

其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的兵__________(写

出满足条件的序号，

【解析】①设ei+e2=/lei,贝！1错误!无解，

ei+e2与ei不共线，即ei与C1+C2能作为一组基底、

②设ei—2e2="C2—2ei),贝1(1+2%)ei—(2+X)ei=0,

则错误!无解，「.ei-2。2与e2-2ei不共线，

即a—2改与e2-2ei能作为一组基底、

(3)*.*ei-2ei=-错误！(4e2-2ei),

ei-lei与4e2-2ei共线，

即c\—2e2与4e2-2ei不能作为一组基底、

④设。1+。2=丸(e\-ei),则(1一为。1+(1+A)e2=0,

贝J错误!无解，:・ei+e2与ei-e2不共线，即ei+e2与ei一及能作

为~组基底、

【答嚎】③

由基底的定义知，平面a内两个不共线的向量错误!1、错误!2叫做

表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量

能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可.

方法归纳

对基底的理解

(1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否

共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底.

(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都

可以由这组基底唯~线性表示出来、设向量。与力是平面内两

个不共线的向量，若XlG+y仍=%2。+)2。，贝“错误！

提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基

底表示，我达式不一样,

跟踪训练1下面三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基

底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向

量的基底；

③零向量不可以作为基底中的向量.其中正确的说法是

()

Ao①②

B、②③

U①③

D、①②③

解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组

不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可

看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B

项正确、

答案：B

平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向

量的基底，一定要注意“不共线''这一条件,在做题时今易忽略此

条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底、

类型二用基底表示平面向量

例2如图所示，在口ABCD中，&E,F分别为BC,DC也

上的中点，DE与BFa于点、G,若错误！=。,错误！=5,试用访力表

示向量错误！，错误!。

AaB

【解析】Dk=错误！+错误！+错误！

=-错误！+错误！+错误!错误！

=-错误！+错误！+错误!错误！-a~错误!

错误！=错误！+错误！+错误！

=-错误！+错误！+错误!错误！=b~错误!

解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过

向量的加、减、数乘以及向量共线的结论,杷其他相关的向量用

这~组基底表示出来、

方法归纳

用基底表示向量的两种方法

(1J运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直

至用基底表示为止.

(2J通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的

唯一性求解、

跟踪训练2(1)本例条件不变，试用基底a,8表示错误!；

(2)若本例中的基向量”错误!，错误!"换为"错误!，错误!”即若错误！=G,

错误！="试用4,〃表示向量错误!，错误!。

解析：(1)由平面几何知识如BG=错误!BF,故错误！=错误！+错误！=

错误！+错误!错误！=a+错误!错误！=a+错误协-错误!a=错误!a+错误仍.

(2)错误！=错误！+错误！=2错误！+错误！=-2错误！+错误！=~2b+U.

错误！=错误！+错误！=2错误！+错误！=-2错误！+错误！=-2。+8。

用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形

法则或平行四边形法则.

类型三向量的夹角

例3已知1。|=\b\y且a与力的夹角为120°,求a+8

与〃的夹角及。一力与〃的夹角,

【瞥折】如图，作错误！二防错误！二6ZAOB=120°,以错误!，

错误!为邻边作平行田边形OACB,

则错误！=a+b,错误!=a-b.

因为同二|办I,所以平行8边形。ACB为菱形、

所以错误!与错误!的夹角ZAOC=60°,

错误!与错误!的夹角即为错误!与错误!的夹角ZABC=30°.

所以。+方与〃的夹角为60°,a—办与。的夹角为30°o

作图，由图中找到错误！一错误!与错误!的夹角，利用三角形、田边

形的知识求角、

方法归纳

两个向量夹角的实质及求解的关键

门)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两

个非零向量构成的角.

(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个

向量的起点重合，然后按骐“一作二证三算''的步骤，并结合平面

几何知识求出两个向量的夹角.

跟踪训练3已知|a|=|b|=2,且〃与力的夹角为60°,

求。+〃与。的夹角，。一〃与。的夹角.

B

OA

解析：如图，作错误！=a,错误！=8，且NAQB=60°,以OA,0B

为邻边作口OACB,

见I错误！=错误！+错误！=a+力，错误！二错误！一错误！二。一》，错误！=错误！二

a.

因为|a|=|例=2,所以△OAB为正三角形.

所以ZOAB=60°=ZABC.

即。一b与a的荚角为60°.

因为|a|二|例，所以口OACB为爰形、

所以0CJLA3,所以NCQ4=90°—60°=30。。

即a+5与a的夹角为30°o

作出向量错误！，错误！，错误！+错误!，错误！一错误！，利用平面几何知识

求解.

2o3o1

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r基础见阈7（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1、已知向量a=ei-2e2,。=2ei+。2,其中ei,e2不共线，则a

+力与c=6ei—2及的关系是（J

A、不共线B、共线

C,相等D、不确定

斛析:\9a+b=3ei-ei,

c=2（a+b）.;・a+》与。共线、

答案：B

2、当向量〃与方共线时，则这两个向量的夹角夕为（）

A、0°B.90°

C,180°D、0。或180。

解析：当向量a与力共线，即两向量同向时夹角。=0°,反向时

夹角6>=180%

答案：D

3、已知AD是△A5C的中线，错误！=Q,错误！=》，以〃，b为

基底表示错误!，则错误！二()

Ao错误！(a-b)B、2b-a

Co错误!(b—a)D,2b+a

解折：如图,A。良2ABC的中线，则D为线段BC的中点,

从而错误！二错误！(错误！+错误!)，见I错误！=2错误！一错误！=25-Q.

答案:B

4、在正方形A5CD中，与错误!的夹角等于()

A、45°B,90°

C.120°D、135°

解析:如图所示，

AD

将AC,7平移到错误!,则错误！与错误！的夹角即为错误！与错误！的夹

角,夹角为135。.

答嚎:D

5、若。点在三角形ABC的边3C上，且错误！=4错误！二/错误！+

s错误!，则3r+s的值为()

Ao错误！Bo错误！

C.错误！D。错误！

解析：'・•错误！=4错误！=［错误！+S错误！，

・••错误！=错误!错误！=错误!(错误！一错误!)=厂错误！+S错误！，

・••厂二错误！,S=一错误！。

3r+s=错误！一错误！二错误！。

答案：C

二、填空题(每小题5分，共15分)

6、已知向量m力是一组基底，实数x,y满足(3x-4y)a+(2x

-3y)b=6a+3b,则x-y的值为、

解折：因为a,8是一组基底，所以。与力不共线，

因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,

所以错误!解得错误!所以x—y=3.

答案：3

7、已知。，A,3是平面上的三个点，直线A3上有一点C,

满足2错误！+错误！=0,若错误！=4,错误！=力，用4,办表示向量错误!，

则错误！=o

解析：错误！=错误！一错误！，错误！=错误！一错误！，•:2错误！+错误！=0,

，2(错误！一错误!)+(错误！一错误！)=0,二•错误！=2错误！一错误！二2。一

答案：2a-b

8、在正方形A3CD中，£是。。边上的中点，且错误！二小错误!

=b,贝1错误！=o

解析：错误！=错误！+错误！=错误！一错误!错误！=b~错误!

答嚎：力一错误!〃

三、解答题(每小题10分，共20分)

9、已知ei,e2是平面内两个不共线的向量，a-3ei—2ei,b

=-2ei+e2,c=7ei-4e2,试用向量。和力表示c.

解析：因为不共线，所以可设c=M+y加

贝」xa+y5=x(3ei-2e2)+y(-2ei+ei)

-(3x-2yJei+(~2x+y)ei-lex-4e2.

又因为ei,e2不共线，

所以错误!解得错误!所以c=a-2b.

10、如图所示，设M,N,P是△A3C三边上的点，且错误！=错误!

错误！，错误！二错误!错误！，错误！二错误!错误！，若错误！=4,错误！二"试用。力将

错误!、错误!、错误!表示出来、

解析：N」P,=错误！一错误！=错误!错误！一错误!错误！=错误!〃一错误仍，

错误！=错误！一错误！=-错误!错误！一错误!错误！

=一错误!。一错误！(a-b)=一错误!a+错误!"

错误！=-错误！=-(错误！+错误!)=错误！(a+b).

［能力提升7(20分钟，40分)

11、设非零向量a,b,c满足|a|=|b\-|c|,a+8=c，则向

量a,办的夹角为()

A、150°B、120°

C、60°D、30°

解析：设向量a,。的夹角为仇

作错误！=a,错误！=b,贝1c=a+8=错误!(图略)，

a,办的夹角为180°-ZCo

V\a\=\b\=\c\,AZC=60°,：.0=120°.

答案:B

12.

A

ZK

BHC

如图，在△ABC中，已知AB=2,BC=3,ZABC=60°,

AHLBC于H,M为AH的中3、,若R^二丸错误！+〃错误!，贝1％+〃=

_______•

解析：因为AB=2,ZABC=60°,AH±BC,所以BH=1,又

M为AH的中点，BC=3,所以错误！=错误!错误！=错误!（错误！+错误！）=错误!

（错误！+错误!错误!）=错误!错误！+错误!错误！,所以A+〃=错误！。

答嚎：错误！

13、如