2023-2024学年人教B版数学必修第二册同步检测（解析版）5

5.2数学探究活动

必备知识基础练

L为了了解甲、乙两人的工作效率，随机抽取了甲、乙两人在10天中每天加工零件的个

数，用茎叶图表示如图所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件

个数的个位数，则估计甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和.

甲乙

981179

3210021244

5113002

2.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人,

85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

3.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准

差为()______________________________________

分数54321

人数2010303010

A4B.嘤

C.3D.|

4.高一(3)班有男同学27名，女同学21名.在一次语文测验中，男同学得分的平均数

是82,中位数是75,女同学得分的平均数是80,中位数是80.

(1)求这次测验全班成绩的平均数(精确到0.01);

(2)估计全班成绩不超过80分的同学至少有多少人；

(3)分析男同学得分的平均数与中位数相差较大的主要原因.

5.在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是()

A.样本容量一定时总体容量越大，估计越精确

B.总体容量与估计的精确度无关

C.总体容量一定时样本容量越大，估计越精确

D.总体容量一定时样本容量越小，估计越精确

6.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)

数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),

[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则

样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()

A.90B.75

C.60D.45

7.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数

量得到频率分布直方图如图，则

(1)这20名工人中一天生产该产品数量在［55,75)的人数是.

(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为

(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为

8.已知一组数据：

125121123125127129125128130129

126124125127126122124125126128

(1)填写下面的频率分布表：

分组频数累计频数频率

[120.5,122.5)

[122.5,124.5)

[124.5,126.5)

[126.5,128.5)

1128.5,130.5]

合计

(2)作出频率分布直方图；

(3)以这组数据为样本估计总体的众数、中位数和平均数.

关键能力综合练

一、选择题

1.在某次测量中得到的A样本数据如下：2,4,4,6,6,6,8,8,8,9.若B样本数据恰好是A样

本数据每个都加2后所得数据，则4,8两样本的下列数字特征相同的是()

A.众数B.平均数

C.中位数D.标准差

2.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，

得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为人”众数为，加，平均值为X,贝11()

A.nig=m。=xB.me=m（）Vx

C.xD.mo<me<x

3.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据的每一个数据都加上60,得到

一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）

A.57.2,3.6B.57.2,56.4

C.62.8,63.6D.62.8,3.6

4.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中

位数的估计值为（）

A.62,62.5B.65,62

C.65,62.5D.62.5,62.5

5.从甲、乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示（单位：cm）.根据

数据估计（）

甲乙

614

52127

75368

445

A.甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐

B.乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐

C.甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐

D.乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐

6.（易错题）为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如下图所

示的频率分布直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40,后6组的频

数和为87.设最大频率为“，视力在4.5到5.2之间的学生人数为从则mb的值分别为（）

A.0.27,0.96B.

C.27,0.96D.27,96

二、填空题

7.若样本数据为，X2,•••,xio的标准差为8,则数据2加一1,2x2—1,…，2xio-I的标

准差为.

8.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层

抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的

件数为;测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时,

980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为小时.

9.（探究题）对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率

分布直方图（如图），但是年龄组为［25,30）的数据不慎丢失，则依据此图可得：

（1）年龄组［25,30）对应小矩形的高度为；

（2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在［25,35）内的人数为.

三、解答题

10.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个

轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：

97

96

95

94

93

92

91

9

K)12345678910

（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；

（2）若轮胎的宽度在［194,196］内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供

的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波

动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好.

学科素养升级练

1.（多选题）下列说法正确的是（）

A.一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数

B.统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数

C.样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据

D.众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

2.若40个数据的平方和是56,平均数是当，则这组数据的方差是,标准差

是•

3.(学科素养一数据分析)为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组

织了一次普法知识竞赛，统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，用

茎叶图表示如下：

甲||乙

87859

3119123

(1)根据图中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪

个单位职工对法律知识的掌握更为稳定；

(2)求被抽取的这10名职工成绩的平均数和方差.

(分层抽样的平均数和方差公式：

设样本中不同层的平均数分别为二”72,方差分别为3,S%…，相应

一n一n

的权重分别为孙，5,…，w,„则这个样本的平均数和方差分别为X=Z助Xj,s2=Z助.国+

1=11=1

(XX)2],其中X为样本平均数.)

5.2数学探究活动

必备知识基础练

1.解析：甲10天每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,所求平均

——1

数为x¥=J^X(18+19+20+20+21+22+23+31+31+35)=24.

乙10天每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32,所求平均数为

—1

x乙=正又(11+17+19+21+22+24+24+30+30+32)=23.

答案：2423

2.解析：由平均数、中位数、众数的定义可知，平均数3=

1X100+1X95+2X90+4X85+1X80+1X75

=87；因为得85分的有4人，所以众数是85；

1+1+2+4+1+1

把成绩由大到小排列为100,95,90,90,85,85,85,85,80,75,故中位数是85.

答案:C

5X20+4X10+3X30+2X30+1X10

3.解析：平均数为=3.

100

jQ

故$=丽*[20*(5—3)2+10X(4—3)2+30X(3-3)2+30X(2-3)2+10X(1-3)2]=W

答案：B

4.解析：(1)利用平均数计算公式，得

—1

x=TH-？OX(82X27+80X21)«=81.13.

(2)因为男同学得分的中位数是75,

所以至少有14名男生得分不超过75分.

又因为女同学得分的中位数是80,

所以至少有11名女生得分不超过80分.

所以全班至少有25人得分不超过80分.

(3)男同学得分的平均数与中位数相差较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的

和得分低的相差较大.

5.解析：当样本容量越大时，估计总体越精确.

答案：C

6.解析：产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)X2=0.30(),已知样本中产品净

重小于100克的个数是36,设样本容量为“，则普=0.300,所以〃=120,净重大于或等于98

克并且小于104克的产品的个数是120X0.75=90.

答案：A

7.解析：(1)在［55,75)的人数为(0.040X10+0.025X10)X20=13.

(2)由图可知,中位数在［55,65)范围内.设中位数为x,则0.2+(x-55)X0.04=0.5,解

得x=62.5.

(3)0.2X50+0.4X60+0.25X70+0.1X80+0.05X90=64.

答案：(1)13(2)62.5(3)64

8.解析：(1)

分组频数累计频数频率

[120.5,122.5)T20.1

[122.5,124.5)T30.15

[124.5,126.5)TFT80.4

[126.5,128.5)7F40.2

[128.5,130.5]T30.15

合计正正正正201

⑵

(3)在［124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为

125.5.设中位数为X,则0.25+。-124.5)X0.2=0.5,解得x=125.75.使用“组中值”求平均数:

7=121.5X0.1+123.5X0.15+125.5X0.4+127.5X0.2+129.5X0.15=125.8.

所以可估计总体的众数为125.5,中位数为125.75,平均数为125.8.

关键能力综合练

1.解析：根据题意，8样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得，则平均数、众

数、中位数都增加2,根据标准差公式可知，标准差不变.故选D.

答案：D

2.解析：由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6,

故中位数为人=”"­=5.5.又众数为"如=5,

十一一3X2+4X3+5X10+6X6+7X3+8X2+9X2+10X2

平均值X=------------------------------------35------------------------------------

1799-

=5.97,..m()<me<x.

答案：D

3.解析：每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不变.

答案：D

4.解析：•.•最高的矩形为第三个矩形，

.••时速的众数的估计值为65.

前两个矩形的面积为(0.01+0.03)X10=0.4.

V0.5-0.4-0.1,昔X10=2.5,

中位数的估计值为60+2.5=62.5.

故选C.

答案：C

5.解析：由题中的茎叶图可知，甲种玉米的株高主要集中在20〜30cm段，乙种玉米

的株高主要集中在30〜40cm,则甲种玉米的平均株高小于乙种玉米的平均株高，但乙种玉米

的株高较分散.故选D.

答案：D

6.解析：由频率分布直方图知组距为0.1,由前4组的频数和为40,后6组的频数和为

87,知第4组的频数为40+87—100=27,即视力在4.6到4.7之间的频数最大，为27,故最

大频率a=0.27.视力在4.5到5.2之间的频率为1-0.01—0.03=0.96,故视力在4.5到5.2之间

的学生人数%=0.96X100=96.

答案：B

7.解析：已知样本数据XI,X2,•••,XI0的标准差为s=8,则$2=64,数据2%］—1,2X2

-1,…，2xio—1的方差为22s2=22X64,所以其标准差为」2?><64=16.

答案：16

8.解析：由分层抽样可知，

第一分厂应抽取100X50%=50(件).

由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为I020X50%

+980X20%+)030X30%=l015(小时).

答案：501015

9.解析：⑴设年龄组［25,30)对应小矩形的高度为人,5X(0.01+/2+0.07+0.06+0.02)

=1,解得/?=0.04.

(2)由(1)得志愿者年龄在［25,35)内的频率为5X(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在

［25,35)内的人数约为0.55X800=440.

答案：⑴0.04(2)440

10.解析：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均数：I?=-^X(195+l94+196+193+l94+197

+196+195+193+197)=195,乙厂10个轮胎宽度的平均数：膜=导(195+196+193+192

+195+194+195+192+195+193)=194.

(2)甲厂10个轮胎中宽度在［194,196］内的数据为195,194,196,194,196,195,

平均数：7i=1x(195+194+196+194+196+195)=195,

方差：s仁/义［(195-195)2+(194—195，+(196—195)2+(194-195)2+(196-195)2+

(195-195)4=1,

乙厂10个轮胎中宽度在［194,196］内的数据为195,196,195,194,195,195,

平均数：72=1x(195+196+195+194+195+195)=195,

方差：^=|X[(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+

(195-195)2]=*

•••两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，

.•.乙厂的轮胎相对更好.

学科素养升级练

1.解析：用样本估计总体情况时，在一组数据中，众数、中位数和平均数可能是同一

个数,例如：数据10,11,11,11,