2021-2022学年天津市河北区九年级（上）期末数学试卷

20212022学年天津市河北区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

2.（3分）下列事件中，是必然事件的是（）

A.一枚硬币，正面朝上

B.购买一张彩票，一定中奖

C.任意画一个三角形，它的内角和等于180°

D.存在一个实数，它的平方是负数

3.（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（）

A./+2x+l=0B.f+x+2=0C.7-1=0D.x2-2x-1=0

4.（3分）抛物线y=2（x-3）2+4顶点坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（2,4）

5.（3分）抛物线丫=（》-2）2-1可以由抛物线y=/平移而得到,卜列平移正确的是（）

A.先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度

B.先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度

C.先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度

D.先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度

6.（3分）如图，在中，N8AC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到

△AB'C（点8的对应点是点B',点C的对应点是点C'）,连接CC'.若NCC

B'=32°,则NB的大小是（）

C.77°D.87°

7.（3分）如图，。0是AABC的外接圆，半径为2cm,若BC=2a〃，则NA的度数为（）

8.（3分）如图，四边形ABCC内接于。0,若四边形A8C。是平行四边形，则NAOC的大

9.（3分）在等腰三角形ABC中，AC=BC=2,。是A8边上一点，以40为直径的。。恰

10.（3分）已知二次函数y=a（x+1）（.x-m）（a为非零常数，1<根<2）,当x<-1时，y

随x的增大而增大，则下列结论正确的是（)

①当x>2时，y随x的增大而减小；

②若图象经过点（0,1）,则-

③若（-2021,yi）,（2021,”）是函数图象上的两点，则yi<”；

④若图象上两点（上，>'i）>（―+«,”）对一切正数"，总有yi>”，贝!I

442

A.①②B.①③C.①②③D.①③④

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

11.（3分）在平面直角坐标系中，点4（-2,1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为.

12.（3分）大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”

这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是.

13.（3分）若点A（-2,yi）,B（1,”），C（2.”）是抛物线y=-（x+1）2+m上的三

点，则》，）2,K的大小关系为（用大于号连接）.

14.（3分）用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆

的半径是.

15.（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的篇），点O是这段弧的圆心，C

是会上一点，OCLAB,垂足为D,AB=\6Qm,CD=4Qm,则这段弯路的半径是m.

16.（3分）已知：如图，半圆O的直径43=12c小，点C,。是这个半圆的三等分点，则弦

AC,4。和弧CD围成的图形（图中阴影部分）的面积S是.

17.（3分）抛物线丫=公?+法+。（aWO）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为

（3,0）,对称轴为直线x=l,则当y<0时，x的取值范围是.

y

18.（3分）点A和8在直线y=-3x+6上，点A的横坐标是2，且48=5.当线段A8绕

4

点A顺时针旋转90°后，点B的坐标是或.

三、解答题：本大题共6个小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.（5分）解方程：2f+4x-l=0（用配方法）.

20.（6分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选题

有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求

助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.

（I）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是.

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的

概率.

21.（7分）已知A8是OO的直径，弦8与AB相交于点E,过点C作。。的切线，与BA

的延长线交于点P,ZB/JC=38°.

（I）如图①，连接O。，若。为第的中点，求/one的大小；

（II）如图②，连接80,若DE=DB,求/尸8。的大小.

——一

图①图②

22.（8分）已知某品牌床单进价为每件60元,每月的销量y（件）与售价x（元）的相关

信息如表（符合一次函数关系）:

售价(元/件)100110120130•••

月销售量(件)200180160140•••

(I)销售该品牌床单每件的利润是元(用含X的式子表示)；

(II)用含x的代数式表示月销量X

(III)设销售该品牌床单的月利润为w元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大

利润是多少？

23.(10分)在平面直角坐标系中，。为原点，点A(4,0),点8(0,3),把△ABO绕点

8逆时针旋转得到△4801,点A、。旋转后的对应点为A、0,,记旋转角为a.

(I)如图①，若a=90°,求44的长;

(II)如图②，若a=60°,求点。1的坐标;

(III)如图③，P为AB上一点，且必：PB=2：1,连接尸O'、PA',在△AB。绕点8逆

时针旋转一周的过程中,求△PO'A的面积的最大值和最小值(直接写出结果即可).

24.(10分)如图，抛物线y=2)+fev+c交x轴于AB的

4

坐标分别为(-1，0),(4,0).

(I)求抛物线的解析式；

(II)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求aCPB的面积最大时点尸的坐标；

(III)若M是抛物线上一点，且NMCB=NABC,请直接写出点M的坐

2021-2022学年天津市河北区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.（3分）下列图形是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：人不是中心对称图形，故本选项错误；

8、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

。、是中心对称图形，故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合.

2.（3分）下列事件中，是必然事件的是（）

A.一枚硬币，正面朝上

B.购买一张彩票，一定中奖

C.任意画一个三角形，它的内角和等于180°

D.存在一个实数，它的平方是负数

【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即

可.

【解答】解：A.一枚硬币，正面朝上，是随机事件，因此选项A不符合题意；

8.购买一张彩票，不一定会中奖，是随机事件，因此选项3不符合题意；

C.任意画一个三角形，它的内角和等于180°,是必然事件，因此选项C符合题意；

D.存在一个实数，它的平方是负数，是不可能事件，因此选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件，掌握随机事件、必然事件、不可

能事件是正确判断的前提.

3.（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（）

A.f+2x+l=0B./+X+2=0C.A2-1=0D.x2-2x-1=0

【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断.

【解答】解：A、△=22-4X1X1=。，方程有两个相等实数根，此选项错误；

B、A=12-4X1X2=-7<0,方程没有实数根，此选项正确；

C、A=O-4X1X（-1）=4>0,方程有两个不等的实数根，此选项错误；

。、△=（-2）2-4XlX（-1）=8>0,方程有两个不等的实数根，此选项错误；

故选：B.

【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关

系：（1）△>00方程有两个不相等的实数根；（2）△=00方程有两个相等的实数根；

（3）△<0=方程没有实数根.

4.（3分）抛物线y=2（x-3）2+4顶点坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,-4）D.（2,4）

【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标.

【解答】解：y=2（x-3）2+4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3,4）.

故选：A.

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-hi+k,顶点

坐标是（力，k）,对称轴是直线x=〃.

5.（3分）抛物线丫=（》-2）2-1可以由抛物线、=/平移而得到，下列平移正确的是（）

A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移I个单位长度

B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度

D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究.

【解答】解：抛物线y=/顶点为（0,0）,抛物线y=（x-2）2-1的顶点为（2,-1）,

则抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图

象.

故选：D.

【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线

顶点，从而确定平移方向.

6.（3分）如图，在Rt/XABC中，ZBAC=90°,将AABC绕点A顺时针旋转90°后得到

△AB'C（点B的对应点是点B',点C的对应点是点C'）,连接CC'.若/CC'

8'=32°,则NB的大小是（）

A.32°B.64°C.77°D.87°

【分析】旋转中心为点4,C、C为对应点，可知4C=AC',又因为/C4C'=90°,

根据三角形外角的性质求出/C'B'A的度数，进而求出的度数.

【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC,

\'ZCAC=90°,可知△CAC'为等腰直角三角形，贝IJ/CC'A=45°.

VZCCB'=32°,

/.ZCB'A=/C'CA+ZCC'B'=45°+32°=77°,

；NB=NC'B1A,

/.ZB=77°,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也

考查了等腰直角三角形的性质.

7.（3分）如图，OO是△ABC的外接圆，半径为2cm,若BC=2cm,则NA的度数为（）

A

B<-------<C

A.30°B.25°C.15°D.10°

【分析】连接08和OC,证明△OBC为等边三角形，得到NBOC的度数，再利用圆周

角定理得出/人

【解答】解：连接03和OC,

,/圆O半径为2cm,BC=2cm,

：.OB=OC=BC,

为等边三角形，

・,.NBOC=60°,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出

辅助线.

8.（3分）如图，四边形A88内接于。。，若四边形A8C0是平行四边形，则NAOC的大

A.45°B.50°C.60°D.75°

'a+B=180°

【分析】设NAOC的度数=a,N48C的度数=0,由题意可得i，求出S

a至8

即可解决问题.

【解答】解：设/AOC的度数=a,/ABC的度数=0；

V四边形ABCO是平行四边形，

ZABC=NAOC；

VZADC=Ap,ZADC=a；而a+0=18O°，

2

'a+6=180°

••41，

a至8

解得：p=120°,a=60°,ZADC=60°,

故选：C.

【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用.

9.（3分）在等腰三角形ABC中，AC=BC=2,。是AB边上一点，以AO为直径的。。恰

好与BC相切于点C,则8。的长为（）

【分析】连接OC,根据等腰三角形的性质得到NA=/B,ZA=ZACO,推出/COB=

2ZB,根据切线的性质得到/OCB=90°,求得/8=30°,根据直角三角形的性质得到

结论.

【解答】解：连接OC,

'：AC=BC,

ZA=ZB,

'：OA=OC,

：.ZA^ZACO,

ZCOB=ZA+ZACO=2ZA,

：.ZCOB=2ZB,

•・・OO与8c相切于点C

：.ZOCB=90°,

AZCOB+ZB=2ZB+ZB=90Q,

AZB=30°,

0C=^-BC=2^-,

33

：.0B=20C=^^.,

3_

：.BD=OB-OD=^H-,

3

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出

辅助线构造直角三角形是解题的关键.

10.（3分）已知二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1<小<2）,当x<7时，y

随x的增大而增大，则下列结论正确的是（）

①当x>2时，y随x的增大而减小；

②若图象经过点（0,1）,则-1<67<0；

③若（-2021,V）,（2021,”）是函数图象上的两点，则

④若图象上两点（上，yi）,（1+n,”）对一切正数〃，总有yi>”，则

4'4-2

A.①②B.①③C.①②③D.①③④

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否

正确，从而可以解答本题.

【解答】解：•••二次函数y=a（x+1）（x-瓶）（a为非零常数，1<〃?<2）,

.•・y=0时，x\=-1,X2=m,xi<X2,

又•・•当X<-1时，y随工的增大而增大，

/.67<0,开口向下，

・••当x>2时，y随x的增大而减小，故①正确;

若图象经过点（0,1）,则1=々（0+1）（0-%2）,得1=-。力，

•・"V0,1<W<2,

-l<a<-1,故②错误；

2

又对称轴为直线x=-l",\<m<2,

2

22

:.若（-2021,yi）,（2021,”）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则M<”,

故③正确；

若图象上两点（』，yi）,（工+〃，”）对一切正数〃，总有yi>”，

44

...该函数与x轴的两个交点为（-1,0）,（机，0）,

.•.（）<一］一口

24

解得故④正确；

2

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

11.（3分）在平面直角坐标系中，点A（-2,1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（2,

-1）.

【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点8的坐标.

【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（-2,1）与点B关于原点对称，则点8的坐

标为（2,-1）.

故答案为：（2,-1）.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐

标符号相反，即点P（X,j）关于原点。的对称点是P'（-x,-y）.

12.（3分）大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国梦”

这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是1.

一5一

【分析】由在我”“的”“中”“国”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，利

用概率公式计算可得.

【解答】解：..•在我”“的”“中"“国"''梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，

这张卡片上面恰好写着“中”字的概率是2

5

故答案为：1.

5

【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

13.(3分)若点A(-2,户)，B(1,”)，C(2.”)是抛物线y=-(x+l)?+加上的三

点，则)】，)2,”的大小关系为丫1>丫2>¥3(用大于号连接).

【分析】根据函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线X=-1,根据A,B,C三

点与对称轴的距离求解.

【解答】解：：抛物线y=-(x+1)2+机开口向下，对称轴为直线x=-l,

.♦.抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越小，

-1-(-2)<1-(-1)<2-(-1),

故答案为：y\>y2>y3.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象的性质.

14.(3分)用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆

的半径是2.

【分析】易得扇形的弧长，除以2n即为圆锥的底面半径.

【解答】解：扇形的弧长=120>X6=4n,

180

二圆锥的底面半径为4n+2n=2.

故答案为：2.

【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底

面周长.

15.(3分)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的篇)，点0是这段弧的圆心，C

是篇上一点，OC_LA8,垂足为。，AB=160m,CD=40m,则这段弯路的半径是100

m.

【分析】先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求解.

【解答】解：：AB=160〃i,

80机，

根据勾股定理可得：0铲=1^+0日,

即OB2=602+（0B-40）2,

解得08=100.

故答案是：100.

【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长.

16.（3分）已知：如图，半圆。的直径AB=12a〃，点C,。是这个半圆的三等分点，则弦

AC,AO和弧C£＞围成的图形（图中阴影部分）的面积S是6m/

【分析】由题意知，ZCOD=60a,进而得出△CQO是等边三角形，故阴影部分的面积

等于扇形OCO的面积.

【解答】解：连接CO、OD,CD,

•••c、。是这个半圆的三等分点，

：.CD//AB,NCOD=60°,

OC=OD,

...△OC。是等边三角形，CD=OC^lAB^6cm,

2

:・/\OCD与△CD4是等底等高的三角形，

1A,

S阴影=S扇形oco=—ITX6**=fmcnV.

6

故答案为：6ncm2.

B

【点评】本题主要考查了扇形面积公式应用，关键是判断出△OCO与△CD4是等底等高

的三角形，且△0C。是等边三角形，利用扇形的面积公式求解.

17.（3分）抛物线），=/+灰+。（aWO）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为

（3,0）,对称轴为直线x=l,则当yVO时，x的取值范围是-1<XV3.

【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x

轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，x的取值范围.

【解答】解：I.抛物线yucM+Zw+c（a#0）与x轴的一个交点坐标为（3,0）,对称轴

为直线x=l,

，抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,

由图象可知，当y<0时，x的取值范围是-l<x<3.

故答案为：

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与X轴

的另一个交点.

18.（3分）点A和B在直线y=-&x+6上，点A的横坐标是2，且AB=5.当线段AB绕

4

点A顺时针旋转90°后，点B的坐标是（5,工）或（-1,2）.

2—2―

【分析】利用网格结构作出直线的图象，求出直线与x、y轴的交点坐标，再根据相似三

角形对应边成比例求出点B的横坐标与纵坐标的变化值，然后分点B在点A的左边与右

边两种情况分别求解即可.

【解答】解：如图所示，直线y=-Wr+6与x轴、y轴的交点坐标分别为E（8,0）,F

(0,6),

根据勾股定理得，£F=762+82"10,

设点8的横坐标与纵坐标的变化值分别为x、y,则

x=y=AB—5

8百而元，

解得x=3,y—4,

•.,当x=2时，y=-3x2+6=9,

42

.•.点A的坐标为（2,2）,

2

①点B在点A的左边时，2+3=5,

2+4=11,

22

.•.点8的坐标为（5,工），

2

②点B在点A的右边时，2-3=7,

2-4=1,

22

.♦.点B的坐标是（-1,A）.

2

故答案为：（5,工）或（-1,1）.

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，建立网格结构平面直角坐标系，作出图形是解

题的关键.

三、解答题：本大题共6个小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.（5分）解方程：2?+4x-1=0（用配方法）.

【分析】先把方程的二次项系数化为1,再利用完全平方公式变形为（X+1）2=3,然后

2

利用直接开平方法求解.

【解答】解：7+僦-1=0,

2

?+2%+1=』+1,

2

（A-+1）2=旦

2

x+l=±^§_,

2_

所以XI=-24\后,X2=-2-V6

22

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+胆）2=〃的形

式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

20.（6分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选题

有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求

助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.

（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是—呆.

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的

概率.

【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先分别用A,B,C表示第一道单选题的3个选项，”，儿c表示剩下的第二道单

选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明

顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）♦.•第一道单选题有3个选项，

•••小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：

3

故答案为：1；

3

（2）分别用A,B,C表示第一道单选题的3个选项，a,b,c表示剩下的第二道单选题

的3个选项，

画树状图得：

开始

ABC

A\A\A\

ahrahrahc

共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，

，小明顺利通关的概率为：1.

9

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

21.（7分）已知48是。。的直径，弦8与A8相交于点E,过点C作。。的切线，与54

的延长线交于点P,ZBPC=38°.

（I）如图①，连接O。，若。为篇的中点，求/OOC的大小；

（II）如图②，连接B。，若DE=DB,求的大小.

图①图②

【分析】（I）连接0C,根据等弧所对的圆心角的相等可得/AO£>=90°,再利用切线

的性质可得/PCO=90°,从而求出/POC,进而求出/CO。，最后利用等腰三角形的

性质进行计算即可解答；

（II）利用（I）的结论可求出NBOC,从而求出NQ,最后利用等腰三角形的性质进行

计算即可解答.

【解答】解：（I）连接OC,

为篇的中点，

•••AD=BD-

，ZAOD=ZBOD=^ZAOB=90°,

2

；PC是00的切线，C为切点，

AZPCO=90°,

AZBPC=3S°,

AZPOC=90°-ZBPC=52°,

AZCOD^ZPOC+ZAOD=142Q,

'：OC=OD,

：.Z0CD=Z0DC=\9°,

：.NODC为19°；

(II)如图：

由(1)得：NPOC=52°,

/.ZB0C=180°-/POC=128°,

；./£)=工NBOC=64°,

2

,:DE=DB,

:.NB=/DEB=58°,

:.NPBD为58°.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的性质以及圆

周角定理是解题的关键.

22.（8分）已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）的相关

信息如表（符合一次函数关系）：

售价（元/件）100110120130.・・

月销售量（件）200180160140…

（I）销售该品牌床单每件的利润是（x-60）元（用含x的式子表示）；

（II）用含x的代数式表示月销量第

（Ill）设销售该品牌床单的月利润为w元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大

利润是多少？

【分析】（1）根据题意列代数式即可得到答案；

（2）根据待定系数法求出函数解析式，再列代数式即可得到答案；

（3）根据利润=（售价-进价）X销售件数即可求得卬与x之间的函数关系式，利用配

方法求得函数的最大值，从而可求得答案.

【解答】解：（1）销售该床单每件的利润是（x-60）元，

故答案为：（x-60）；

（2）由题意可设每月的销量卬（件）与售价x（元）的函数解析式为卬=丘+6,

把x=100,w=200和x=110,w=180代入解析式得：［l°°k+b=200,

lU0k+b=180

解得：『=-2,

lb=400

月销量w=-2x+400件；

（3）由题意得，y=（JC-60）（-2x+400）>

即y=-2?+520x-24000=-2（x-130）2+9800,

；-2<0,

...当x=130时，y有最大值,最大值为9800,

售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元.

【点评】此题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式.

23.（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4,0）,点8（0,3）,把△A8O绕点

B逆时针旋转得到AA，8（7,点A、。旋转后的对应点为4、。，，记旋转角为a.

（I）如图①，若a=90°,求44'的长：

(II)如图②，若a=60°,求点。的坐标；

(III)如图③，P为AB上一点，且也：PB=2：1,连接「0\PA',在AABO绕点B逆

时针旋转一周的过程中，求△PO'A’的面积的最大值和最小值(直接写出结果即可).

【分析】(1)利用旋转变换的性质求解即可.

(II)如图②中，过点。'作O'HJ_OB于点解直角三角形求出O'H,0H

(III)如图③-1中，当点0'落在48的延长线上时，△P0'4’的面积最大，如图③

-2中，当点0'落在A8上时，△P。'A'的面积最小，分别求解即可.

【解答】解：(I)如图①中，

.,.08=3,

由旋转的性质可知，BO=BO'=3,NOBO'=90°,

：.O'(3,3),A'(3,7),

=7(4-3)2+72=5^2：

(II)如图②中，过点。‘作O'于点从

在RtZ\O'BH中，BH=O'8・cos60=旦,HO'=MBH=3炳,

22

：.OH=OB-BH=3,

_2

.".O'(3M,

22

(III)存在.

理由：如图③-1中，当点。’落在A8的延长线上时，△P。'A'的面积最大.

由题意，0A=4,08=3,

二"=VOA2+OB2=742+32=5,

：.PA：PB=2：1,

：.PB=k,

3

：.P0'=PB+P0'=4

3

：./\P0'A'的面积的最大值=工*4乂四=段.

233

如图③-2中，当点0'落在AB上时，A’的面积最小，最小值为上X4X(3-

2

1)=1.

33

图③T

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称最短问题，三角形的面积