2025版高考数学一轮总复习考点突破第九章概率与统计专题突破17数字特征的性质

专题突破17数字特征的性质核心考点精准突破考点一基本性质例1（1）【多选题】有一组样本数据x1,x2,⋯,xn，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为a1,b1,c1,d1.由这组数据得到新样本数据y1,y2,⋯,yn，其中yiA.a2=2a1+2024 B.解：由yi=2x根据中位数的定义，得b2根据数据方差的性质，得c22=2根据数据极差的定义，得d2=2xmax+2024−2x（2）已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差为s2=15∑5i=A.4 B.5 C.6 D.7解：由s2=15∑5i=1x故数据2x1−1,2x2−1,2x【点拨】①一组数据x1,x2,⋯,xn变为kx1+b，kx2+b变式1（1）[2021年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，⋯，yn，其中A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同解：对于A,Ey=Ex+c=E对于B，若第一组中位数为xi，则第二组中位数为yi=xi对于C，Dy=Dx+对于D，由极差的定义知，若第一组的极差为xmax−xmin，则第二组的极差为ymax故选CD.（2）若一组数据a1,a2,⋯,a10的平均数为3，方差为11，则解：由题意，知a1则a1即a12+a考点二变动样本的数字特征例2（1）已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，则（BA.x=5,s2>3 B.x=5,s2<3解：x=5,s2（2）[2020年全国Ⅲ卷]在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且A.p1=p4=0.1,C.p1=p4=0.2,解：由所有选项，知p1=p4，p2=p3，且p1+p2=0.5，则这组数据的均值为p1+2p另解：也可直接求出标准差再比较大小.故选B.【点拨】①样本数据（不全相等）中增加一个平均值后，极差不变，标准差变小，中位数不确定.②删掉样本数据（不全相等）中的最小值和最大值后，中位数不变，平均数不确定，极差、标准差变小或不变.变式2（1）某校2023年秋季入学考试中，某班数学平均分为125分，方差为s12.分析成绩时发现有三名同学的成绩录入有误，A同学的实际成绩为137分，被错录为118分；B同学的实际成绩为115分，被错录为103分；C同学的实际成绩为98分，被错录为129分.更正后重新统计，得到方差为s22，则s1A.s12=s22 B.解：设班级人数为nn>0.因为118且118−1252+故选C.（2）[2023年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，xB.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，xC.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，xD.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x解：取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，则x2,x3,x4,x5根据中位数的定义，将x1,x2,⋯,x6按从小到大的顺序进行排列，易知x2,x3,x4,x5的中位数与x1,x2,⋯根据极差的定义，知x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,⋯,x6的极差，考点三推断问题例3【多选题】某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：μg/m3A.甲地区：平均数为80，方差为40 B.乙地区：平均数为50，众数为40C.丙地区：中位数为50，极差为60 D.丁地区：极差为10，80%解：设每天的空气质量指数为xii=1对于A，由110∑10i=1xi−802=40，得∑10i对于B，若有8天的空气质量指数为40，有1天的空气质量指数为150，有1天的空气质量指数为30，则平均数为50，众数为40，但该地区环境治理不达标，所以B错误.对于C，若第1天的空气质量指数为110，后面9天的空气质量指数为50，则中位数为50，极差为60，但该地区环境治理不达标，所以C错误.对于D，若最大值超过100，根据极差为10，则最小值超过90，这与80%分位数为90矛盾，故最大值不超过100，D正确.故选AD【点拨】统计推断关键在于利用基本统计知识进行逻辑推理,常用技巧有特值法、极限法等,重在考查数据分析核心素养.变式3四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（A）A.平均数为2，方差为2.4 B.中位数为3，方差为1.6C.中位数为3，众数为2 D.平均数为3，中位数为2解：对于A，若5次结果中有6，则方差s2>152−62=3.2>2.4，矛盾.所以当平均数为对于B，当点数为