人教版初中（九年级）数学：锐角三角函数知识点总结

榆林第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳有(1)图表记忆法三角角函数三角值函数1-231(2)规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库1(3)口诀记忆法二，切比三，分根号不能删.”前三句中的1,2,3;3,2,1;3,9,27,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2,正切丢掉.,这种方法有趣、简单、易记.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库2已知和解法三角形类型已知条件解法步骤两边两直角边(如a,b)求∠A;求∠A;BB6QAbC一边一角一直角边和—锐角锐角，邻边(如∠A,锐角，对边(如∠A,斜边，锐角(如c,∠A)b=c·cosA考点三、锐角三角函数的实际应用(高频考点)仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示；坡面与水平线的夹角a叫坡角方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库3小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教察-电课本资料下载仰角水平线俯角视线铅垂线!C北东北方向北偏西60°东西45°东西40°南偏西40°南南偏东25°南偏西40°南二、锐角三角函数常见考法(一)、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、(2016·陕西)已知抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tan∠CAB的值为()算.【解答】解：令y=0,则-x²-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨设A(-3,0),B(1,0),∴顶点C(-1,4),小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库49(二)、锐角三角函数以填空题的形式出现例2、(2016·陕西)请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分.A.一个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8.B.运用科学计算器计算：3√17sin73°52′≈11.9.(结果精确到0.1)【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角.【解析】(1)根据多边形内角和为360°进行计算即可；(2)先分别求得3√17和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果.∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8故答案为：8,11.9例3、(2015·陕西)如图，有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米，铅直高度【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.5小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库5小程序搜索：天浩提优资料知识点总结-试题试卷-课件教察-电课本资料下载故答案为：27.8°.【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大.(结果精确到0.01)【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方.故答案是：10.02.点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D'与CD交于点小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库6【分析】利用正方形和旋转的性质得出A'D=A′E,进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得即可.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键.(三)、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、(12分)(2015·陕西)如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BCCD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库7(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小?若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由.图①图②图③【考点】四边形综合题..【专题】综合题.BE=BC-EC,在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C',连接C′N,C′D,C′B交AD于点N',连接CN',则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△BNC周长的最小值为△BN'C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可；(3)如图③所示，存在点P,使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ的外接圆0,圆0与直线PQ平行，得到圆0与AD相切，根据PQ=DC,判断得到PQ大于BQ,可得出圆心0在BC上方，在AD上任的值最小，连接OB,求出即可.(1)如图①,过A作AE⊥BC,小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库8在Rt△ABE中，∠ABE=60°,BE=4,(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C',连接C'N,C'D,C′B交AD于点N',连接CN',则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,∴△BNC周长的最小值为△BN'C的周长=BN'+CN′+BC=BC′+BC, (3)如图③所示，存在点P,使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接∴圆0与AD相切于点P9在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆0于点M,连接MC,99图①图②【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年陕西省)已知抛物线C:y=-x²+bx+c经过A(-3,0)和B(0,3)两点，将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库10(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到C',抛物线C'的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移?为什么?【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质.菁优网版权所有【分析】(1)直接把A(-3,0)和B(0,3)两点代入抛物线y=-(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；(3)根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示.需要分类讨论.(2)∵由(1)知抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3,小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库11(3)由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能i)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是□MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′;ii)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是□MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′.二次函数的图象与性质等知识点.第(3)问需要分类讨论，避免漏解.例8、(12分)(2014·陕西)问题探究小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库12(1)如图①,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD(2)如图②,在△ABC中，∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高，E、F分问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线60°,就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值.菁优网版权所有【分析】(1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库13(2)以EF为直径作⊙0,易证⊙0与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ(3)要满足∠AMB=60°,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.【解答】解：(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,则PA=PD.∵四边形ABCD是矩形，为半径画弧，交BC于点P′,如图①,.∴△P’AD是等腰三角形.小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库∴△P”AD是等腰三角形.●●EF=6.以EF为直径作⊙0,过点0作0Q⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.∴⊙0与BC相切，切点为Q.∵E0//GQ,EG//0Q,∠EGQ=90°,0E=0Q,∴四边形OEGQ是正方形.∴GQ=EO=3,EG=0Q=3.∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,(3)在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°.理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG,设GP与AK交于点0,以点0为圆心，0A为半径作Q0过点0作OH⊥CD,垂足为H,如图③.∵AB=270,小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库∴⊙0与CD相交，设交点为M,连接MA、MB,如图③.∴∠AMB=∠AGB=60°,0M=0A=9O√3.若点M在点H的左边，则∴点M不在线段CD上，应舍去.∴点M在线段CD上.综上所述：在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,此时DM的长为(400-45√3-30√2)米.【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析：1.对应关系混淆小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库18【1】如图9,先进村准备在坡角为a距离为a米，那么这两树在坡面上的距离AB为()o.米作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则△ABC是直角三角形，且∠C=90°,错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角a的正弦、余弦是哪个边与斜边AB的比，造成错选，也有学生在变式时错2.专用名词不清图10【2】如图10,斜坡AC的坡度(坡比)为1:√3,AC=10米.坡顶有一旗杆BC,解析坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点C作CE⊥AD于E,CE为铅直距离，AE为水平距离，即CE:AE=1:√5。∴,∴<BE=√AB²-AE²=11(m),∴B错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。小程序搜索：天浩提优资料超全学习资料库