2025版新高考版高考总复习数学二项式定理（十年高考）

2025版新高考版高考总复习数学10.2二项式定理考点二项式定理1.(2023北京,5,4分,易)在2x−1x5的展开式中,xA.-40B.40C.-80D.80答案D2x−1x5的展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k·−1xk=C5k25-k(-1)kx5-2k,令5-2k=1,得k=22.(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-41答案B∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,∴a0+a2+a4=12×(1+34)=41.故选B3.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案AT3=C62x4i2=-15x4,易错警示易误认为i2=1而致错.4.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案D∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为Cn3,Cn7,∴Cn从而有C100+C101+C102+C10又C100+C102+…+C1010=C10∴奇数项的二项式系数和为C100+C102+…+评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.5.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7答案C因为(x+1)n的展开式中x2的系数为Cn所以Cnn−2=15,即Cn2=15,亦即n6.(2015课标Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C52(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为C57.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10答案C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=C62·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x38.(2014湖南理,4,5分)12x−2y5的展开式中A.-20B.-5C.5D.20答案A展开式的通项为Tk+1=C5k12x5−k·(-2y)k=(-1)k·22k-5C5kx5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系数为评析本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.9.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案C在(1+x)6的展开式中,xm的系数为C6m,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为C4n,故f(m,n)=C6m·C4n.从而f(3,0)=C63=20,f(2,1)=C62·C410.(2013课标Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案D由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为C52,当r=1时,x2的系数为C51·a,所以C11.(2013辽宁理,7,5分)使3x+1xxn(n∈NA.4B.5C.6D.7答案BTr+1=Cnr(3x)n-r·x−32r=Cnr·3n-r·xn−若Tr+1是常数项,则有n-52r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0,52,不满足条件;当r=2时,n=5,12.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168答案D(1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为C82·C413.(2013课标Ⅰ理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8答案B由题意得:a=C2mm,b=C2m+1m,所以13C2mm=7C2m+1m,∴14.(2012湖北理,5,5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12答案D512012+a=(52-1)2012+a=522012+C20121×522011×(-1)+…+C20122011×52×(-1)2011+(-1)2012+a能被13整除,只需(-1)2012+a=1+a能被13整除即可.∵0评析本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.15.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)1x2A.-3B.-2C.2D.3答案D由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+C51×(-1)4=-2+5=3,16.在的展开式中，项的系数为_________．【答案】【解析】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.17.(2021北京,11,5分)x3−1答案-4解析Tr+1=C4r(x3)4-r−1xr=(-1)rC4rx12-4r,令12-4r=0,得r=3,所以x3−1x18.(2022新高考Ⅰ,13,5分)1−yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答答案-28解析(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86=28,x3y5的系数为C85=56,因此1−yx(x+y)8的展开式中x219.(2022浙江,12,6分)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.

答案8;-2解析由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=C43(-1)3+2C42(-1对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,得a0=2×(-1)4=2;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.20.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).

答案21解析本题主要考查二项展开式.(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为C72=21.(2016天津理,10,5分)x2−1x8的展开式中x7答案-56解析Tr+1=C8rx16-2r(-x)-r=(-1)-rC8rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为易错警示本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.评析本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.22.(2015天津,12,5分)在x−14x6的展开式中答案15解析x−14x6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r−14xr=−14rC6r23.(2015重庆理,12,5分)x3+12x5的展开式中x答案5解析二项展开式的通项为Tr+1=C5r(x3)5-r·12xr=12rC5r·x15−3r−r2,令24.(2015课标Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.

答案3解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴1评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.25.(2014安徽理,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则答案3解析根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得Cn1·126.(2014课标Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)

答案-20解析由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·C87xy7-y·C86x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为C87-27.(2014课标Ⅱ理,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)

答案1解析Tr+1=C10rx10-rar,令10-r=7,∴C103a3=15,即10×9×83×228.(2013浙江理,11,4分)设二项式x−13x5的展开式中常数项为答案-10解析展开式通项为Tr+1=C5r·(x)=C5r(-1)rx52−56r当r=3时,T4=C53(-1)3=-10.29.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=.

答案2解析T3+1=C43a1x3=4ax评析本题考查二项展开式的通项公式,也考查了学生的运算求解能力.30.(2012浙江理,14,4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=.

答案10解析由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=C53(-1)评析本题考查二项式定理的运用,考查整体思想、转化与化归思想,可利用构造法解决问题.31.(2012大纲全国理,15,5分)若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中答案56解析由Cn2=Cn6得n=8,Tr+1=C8rx8-r·1xr=C8rx8-2r评析本题考查了二项式定理,运用二项展开式的通项公式求指定项的系数.32.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+x)5的展开式