离散型随机变量及其分布列同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

.2离散型随机变量及其分布列（同步练习）一、选择题1.(多选)已知下列随机变量，其中X是离散型随机变量的是()A.10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数XB.6张奖券中只有2张有奖，从这6张奖券中随机的抽取3张，用X表示抽到有奖的奖券张数C.某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩XD.在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X2.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如表，则q＝()ξ－101Peq\f(1,4)2q－1qA.eq\f(1,12)B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)4.袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A.取到的球的个数B.取到红球的个数C.至少取到1个红球D.至少取到1个红球的概率5.若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为()A.0B.1C.2D.36.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是()A.ξ＝4B.ξ＝5C.ξ＝6D.ξ≤57.若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A.(－∞，2]B.[1,2]C.(1,2]D.(1,2)8.设随机变量X的分布如下表，则P(|X－3|＝1)＝()X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)A.eq\f(7,12)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)二、填空题9.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________10.设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________11.连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是____________12.已知随机变量ξ的分布列为ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________三、解答题13.如表所示，记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在表中以X表示．甲组991111乙组X8910如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．14.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq\f(i,a)(i＝1，2，3，4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))．15.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X．(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X．参考答案及解析：一、选择题1.ABD解析：C中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．2.B解析：根据题意可得eq\f(1,4)＋2q－1＋q＝1，解得q＝eq\f(7,12)，故选B．3.C解析：设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为ξ01Pp2p即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)．故选C．4.B解析：A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．5.A解析：由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不可能取0.6.C解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C.7.C解析：由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．8.B解析：因为|X－3|＝1，所以X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).二、填空题9.答案：300，100，－100，－300解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．10.答案：eq\f(2,3)解析：依题意有P(ξ>8)＝eq\f(1,12)×8＝eq\f(2,3)．11.答案：前3次未击中目标，第4次击中目标解析：由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．12.答案：eq\f(1,3)解析：由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3).三、解答题13.解：当X＝9时，由题表可知，甲组同学的植树棵数分别是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数分别是9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17，18，19，20，21．事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)．同理可得P(Y＝18)＝eq\f(1,4)；P(Y＝19)＝eq\f(1,4)；P(Y＝20)＝eq\f(1,4)；P(Y＝21)＝eq\f(1,8)．所以随机变量Y的分布列为Y1718192021Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)14.解：(1)∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＋eq\f(4,a)＝1，∴a＝10，则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＝eq\f(3,10)．(2)由a＝10，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)．15.解：(1)X可取0，1，2，3．X＝0表示