河南省洛阳第一高级中学第一附属初级中学2023-2024学年七年级下学期竞赛班选拔数学试卷(含解析)

2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学第一附中七年级（下）竞赛班选拔数学试卷一、选择题（每小题3分，共6小题，总分18分）1．（3分）设n（n≥2）个正整数a1，a2，a3…an，任意改变它们的顺序后，记作b1，b2，b3…bn，若P＝（a1﹣b1）（a2﹣b2）（a3﹣b3）…（an﹣bn），则（）A．P一定是奇数 B．P一定是偶数 C．当n是奇数时，P是偶数 D．当n是偶数时，P是奇数2．（3分）已知青铜含有80%的铜，4%的锌和16%的锡，而黄铜是铜和锌的合金，其中含有74%的铜，16%的锌和10%的锡（）A．13：7 B．15：8 C．16：9 D．17：103．（3分）某裁缝做一件童装，一条裤子，一件上衣，他一天共能做2件童装，3条裤子，则他做2件上衣，10条裤子，需（）天．A．3 B．2 C．5 D．44．（3分）已知一块小立方体木块，每个面上涂有不同颜色．如果要在木块面上分别刻上1、2、3、4、5、6个小点．且1点与6点、2点与5点、3点与4点分别刻在对面，则不同的刻点种数有（）A．64种 B．48种 C．36种 D．18种5．（3分）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，则∠EAF的度数为（）A．40° B．45° C．56° D．37°6．（3分）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，则∠BEG的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°二、填空题（每小题3分，共9小题，总分27分）7．（3分）小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级台阶或两级台阶，若她要从地面（0级）步行到第9级种不同的上楼梯的方式．8．（3分）a，b，c，d为互不相等的有理数，且c＝3，则|a﹣d|＝．9．（3分）已知△ABC的三边长a，b，c都是整数，且满足|b+c﹣1.5a+1|与（b+3c﹣11）2的值互为相反数，那么该三角形的周长等于．10．（3分）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+2y+3z的最大值与最小值的差．11．（3分）如图中，一共能数出个长方形．12．（3分）在三个圆A，B，C中分别有13，17，同时在圆A和B中有4个点，同时在圆A和C中有7个点，同时在三个圆中有2个点．则在三个圆中共有个点．13．（3分）如图，把三角形ABC的AB边延长到D，使BD为AB的3倍，使CE为BC的2倍，把CA边延长到F，则△ABC的面积为．14．（3分）如图，已知∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，若以OA，OC，OD，则∠AOB＝．15．（3分）从变电站到五羊医院的输电线路有一处发生故障，外表看不出，需派人爬到电线杆顶检查．每次检查都可以发现故障出现在线路哪一端．如果输电线路中共有240根电线杆．为加速查出在哪两根相邻电线杆之间，则在最佳方案中，最多次便可以确保查明故障所在．三、解答题（共5小题，总分55分）16．（16分）计算下列各式：（1）；（2）．17．（9分）两个1999位整数相乘：×，求乘积的各位数字之和是多少？18．（10分）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”“﹣”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”，就称数n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为+1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法种数．19．（9分）某人骑自行车从甲地到乙地，先以12km/h的速度下山，再以9km/h的速度通过平路到达乙地；他返回时，先以8km/h的速度通过平路，用了1.5h．求甲、乙两地之间的距离．20．（11分）A、B两地相距13.5千米，甲、乙两人分别从A，B同时出发，B间往返一次，甲比乙先回到出发地，第二次在D地迎面相遇，从出发到两人第二次相遇经过的时间为3小时20分钟，求甲、乙两人的速度．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共6小题，总分18分）1．（3分）设n（n≥2）个正整数a1，a2，a3…an，任意改变它们的顺序后，记作b1，b2，b3…bn，若P＝（a1﹣b1）（a2﹣b2）（a3﹣b3）…（an﹣bn），则（）A．P一定是奇数 B．P一定是偶数 C．当n是奇数时，P是偶数 D．当n是偶数时，P是奇数【解答】解：无论n是奇数偶数，可以假设an＝bn，P＝0为偶数，A、D不能选，现在在B和C中选择，要让P为奇数，也就是每个因式都是一个奇数与一个偶数的差，因为b1，b8…bn都是an变来的，所以原来如果是x个奇数与n﹣x个偶数的话，奇数与偶数的数目必须也是一样的，n＝2x为偶数，也就是说，P若为奇数，可以推出，P必须为偶数．所以B错，C正确．故选：C．2．（3分）已知青铜含有80%的铜，4%的锌和16%的锡，而黄铜是铜和锌的合金，其中含有74%的铜，16%的锌和10%的锡（）A．13：7 B．15：8 C．16：9 D．17：10【解答】解：设黄铜含有铜的百分比是x，锌的百分比是y，由题意得：16%z＝10%，80%×）x＝74%+（1﹣，解得：z＝，x＝64%，∴黄铜中铜和锌的比为64%：36%＝16：2，故选：C．3．（3分）某裁缝做一件童装，一条裤子，一件上衣，他一天共能做2件童装，3条裤子，则他做2件上衣，10条裤子，需（）天．A．3 B．2 C．5 D．4【解答】解：设做一件童装，一条裤子，2t，再设2件上衣，14件童装需x天x（2t+3×2t+5×3t）＝（14t+10×2t+8×3t），整理得20xt＝40t，解得x＝2．本题选B．4．（3分）已知一块小立方体木块，每个面上涂有不同颜色．如果要在木块面上分别刻上1、2、3、4、5、6个小点．且1点与6点、2点与5点、3点与4点分别刻在对面，则不同的刻点种数有（）A．64种 B．48种 C．36种 D．18种【解答】解：三对点选择三个对面则有6种不同选择，对于每一种选择，使对面的数字互换则可有如下几种：①一组对面的数字互换，此时有三种选择；②两组对面的数字互换，此时有三种选择；③三组对面的数字互换，此时有一种选择；综上可得不同的刻点种数有：6+7×（3+3+7）＝48种．故选：B．5．（3分）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，则∠EAF的度数为（）A．40° B．45° C．56° D．37°【解答】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝16°，∴∠DAF＝16°+β，∠BAE＝16°+α，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴16°+β+β+16°+16°+α+α＝90°，∴α+β＝21°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′＝16°+α+β＝16°+21°＝37°．则∠EAF的度数为37°．故选：D．6．（3分）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，则∠BEG的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．二、填空题（每小题3分，共9小题，总分27分）7．（3分）小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级台阶或两级台阶，若她要从地面（0级）步行到第9级55种不同的上楼梯的方式．【解答】解：由题意可知，1级：1种；2级：2种；3级：3+2＝3（种）；6级：2+3＝3（种）；5级：3+6＝8（种）；6级：4+8＝13（种）；7级：8+13＝21（种）；8级：13+21＝34（种）；9级：21+34＝55（种）；故答案为：55．8．（3分）a，b，c，d为互不相等的有理数，且c＝3，则|a﹣d|＝3．【解答】解：∵a、b、c、d为互不相等的四个有理数，|a﹣c|＝|b﹣c|＝1，∴a＝2，b＝7或a＝4，当a＝2，b＝4，d＝3或5，又c＝5，∴d＝5，则|a﹣d|＝3，当a＝8，b＝2，d＝3或2，又c＝3，∴d＝1，则|a﹣d|＝4，∴|a﹣d|＝3．故答案为：3．9．（3分）已知△ABC的三边长a，b，c都是整数，且满足|b+c﹣1.5a+1|与（b+3c﹣11）2的值互为相反数，那么该三角形的周长等于9．【解答】解：∵|b+c﹣1.5a+5|与（b+3c﹣11）2的值互为相反数，∴|b+c﹣3.5a+1|+（b+8c﹣11）2＝0，∴b+c﹣6.5a+1＝8，b+3c﹣11＝0，∴b+c﹣4.5a+1＝b+4c﹣11，∴4c+3a＝24，∵a，c都是整数，∴a＝6，c＝3，∴b＝2，∴三角形的周长等于＝4+3+2＝3．故答案为：9．10．（3分）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+2y+3z的最大值与最小值的差21．【解答】解：|x+1|+|x﹣2|表示数轴上表示x的点到表示﹣6和2的两个点的距离之和，∴|x+1|+|x﹣5|≥3．同理，|y﹣2|+|y+4|≥3，而（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣4|+|z+1|）＝36，∴|x+1|+|x﹣6|＝3，|y﹣2|+|y+5|＝3．∴﹣1≤x≤5，﹣1≤y≤2．∴﹣6≤x+2y+3z≤15．∴x+4y+3z的最大值为15，最小值为﹣6，∴x+8y+3z的最大值与最小值的差为15﹣（﹣6）＝21．故答案为：21．11．（3分）如图中，一共能数出63个长方形．【解答】解：不包括第一行的三个小正方形时，可数出（1+2）（8+2+3+4+5）＝45个长方形，包括时，可数出3×（8+2+3）＝18个长方形．故答案为：63．12．（3分）在三个圆A，B，C中分别有13，17，同时在圆A和B中有4个点，同时在圆A和C中有7个点，同时在三个圆中有2个点．则在三个圆中共有34个点．【解答】解：根据题意作出如图所示图形，则在三个圆中共有34个点，故答案为：34．13．（3分）如图，把三角形ABC的AB边延长到D，使BD为AB的3倍，使CE为BC的2倍，把CA边延长到F，则△ABC的面积为．【解答】解：如图，连接AE、BF，∵AF＝CA，∴S△EAF＝S△EAC，S△ABF＝S△ABC，∵CE＝2BC，∴S△EAC＝2S△ABC，S△DCE＝3S△DBC，∴S△EAF＝2S△ABC，∵BD＝3AB，∴S△DBC＝7S△ABC，S△DBF＝3S△ABF，∴S△DCE＝6S△ABC，S△DBF＝8S△ABC，∵S△DEF＝S△ABC+S△ABF+S△DBF+S△DBC+S△DCE+S△EAC+S△EAF，∴S△ABC+S△ABC+3S△ABC+3S△ABC+8S△ABC+2S△ABC+2S△ABC＝7，即18S△ABC＝1，∴，故答案为：．14．（3分）如图，已知∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，若以OA，OC，OD，则∠AOB＝76°．【解答】解：∵∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，∴以OA为一边的角有：∠AOC＝α，∠AOD＝2α，∠AOB＝4α，以OB为一边的角有：∠BOE＝α，∠BOD＝5α，以OC为一边的角有：∠COD＝α，∠COE＝2α，以OE为一边的角有：∠EOD＝α，又∵以OA，OB，OD，∴α+2α+3α+4α+α+2α+6α+α+2α+α＝380°，解得：α＝19°，∴∠AOB＝4α＝6×19°＝76°．故答案为：76°．15．（3分）从变电站到五羊医院的输电线路有一处发生故障，外表看不出，需派人爬到电线杆顶检查．每次检查都可以发现故障出现在线路哪一端．如果输电线路中共有240根电线杆．为加速查出在哪两根相邻电线杆之间，则在最佳方案中，最多5次便可以确保查明故障所在．【解答】解：240杆子2人爬，可以确定第一个人以前；第二人以后，还有240个杆子，共239段线，但是问题是最佳方案的最多多少次，不会是79那段，一定是80那段．80÷3＝26…8，所以取27，27÷3＝9，4÷3＝3，4÷3＝1，所以最多5次便可以确保查明故障所在．故答案为：5．三、解答题（共5小题，总分55分）16．（16分）计算下列各式：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝++⋯＝+⋯＝×＝15×59＝885；（2）原式＝（2+）+⋯+（）＝6+⋯+（）＝4×2023＝4046．17．（9分）两个1999位整数相乘：×，求乘积的各位数字之和是多少？【解答】解：1×1＝8，数字之和为1，11×11＝121，数字之和为1+7+1＝2×（8+2）﹣2，111×111＝12321，数字之和为8+2+3+4+1＝2×（6+2+3）﹣7，依次类推，×乘积的各位数字之和为：8×（1+2+...+1999）﹣1999＝3×（1+1999）×﹣1999＝3996001．18．（10分）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”“﹣”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”，就称数n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为+1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出