2024年四川省成都市树德实验中学东马棚校区中考数学二诊试卷　

第1页（共1页）2024年四川省成都市树德实验中学东马棚校区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若水位上升5m记为+5m，那么水位下降2m应记为（）A．+5m B．+2m C．﹣2m D．﹣5m2．（4分）今年“五一”假期，我市接待游客1461.3万人次，实现旅游收入115.6亿元.115.6亿用科学记数法表示为（）A．115.6×108 B．1.156×109 C．1.156×1010 D．1.156×10113．（4分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a2b）3＝a6b34．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接OD，BC，CD，若∠C＝25°，则∠AOD的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（3，2）6．（4分）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB′：B′B＝3：2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（）A．3：5 B．4：9 C．4：25 D．9：257．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托、折回索子却量竿，却比竿子短一托”．其大意为：有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设竿子的长为x尺，依题意可列方程为（）A． B． C． D．8．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，下列说法正确的是（）A．ac＞0 B．b2＜4ac C．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线与x轴的两个交点间的距离大于3二、填空题.（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）因式分解：y3﹣16y＝．10．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为．11．（4分）九年级举行百科知识竞赛，对成绩不低于90分的学生人数统计如下：成绩（分）9092949698100人数11148863则成绩不低于90分的学生的成绩的众数是分，中位数是分．12．（4分）如图，将直角三角形ABC沿BC边向右平移得到直角三角形DEF，AC交DE于点G．若AB＝10，BE＝3，DG＝6，则图中阴影部分的面积为．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交NC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线AP交边BC于点D．若CD＝8，，则AB的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：．（2）化简：．15．（8分）为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A书法；B绘画；C摄影；D泥图；E剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题：（1）张老师调查的学生人数是，其中选择“D泥塑”选修课的人数是，“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为；（2）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A书法”的概率．16．（8分）“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为45°，登上斜坡BD的C处测得无人机A的仰角为31°．若斜坡BD的坡比为1：4，C处的铅垂高度CN为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度AM．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，D为⊙O上一点，连接AD交BC于点E，且AB＝BE，连接OD．（1）求证：∠ABC＝∠COD；（2）若⊙O的半径为2，E是OC的中点，求AC和AD的长．18．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，0）．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当AP∥x轴时，△PAB的面积为．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，当点P在射线OA上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与△OAB相似，求点Q的坐标；（3）若点P是使△PAB的面积取得最小值的点，将线段AB沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为CD，CD的垂直平分线恰好经过点P，求n的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知x+2y＝5，3a﹣4b＝7，则代数式（9a﹣4y）﹣2（6b+x）的值为．20．（4分）对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，交BC的延长线于点C'，过点C'作C'D'⊥AD，交AD的延长线于点D'，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABC'D'，若AB＝4，则CC'的长为．21．（4分）现从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为．22．（4分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点F在边CD上，连接BF，沿BF折叠△BCF，点C落在点E处，连接AE，则AE长度的最小值为．23．（4分）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数y＝（其中m是常数，且m≠0），该函数的图象记为G．当m＝1时，图象G与x轴的交点坐标为；若直线y＝m与G恰有两个交点，则m的值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：“读书节“活动计划书书本类别科普类文学类进价（单位：元）1812备注（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；（2）科普类图书不少于600本；…（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；（2）经市场调查后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，P（4，﹣2）是抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴上一点，且抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E在对称轴右侧的抛物线上，点F在x轴上，若△PEF是以P为直角顶点的直角三角形，且PE＝2PF，求点E和点F的坐标；（3）如图2，A，B是抛物线上的两个动点（点A在点B的左侧），点A，B，P在同一直线上，过点M（0，m）（m＜﹣6）作y轴的垂线l，交直线AB于点Q，是否存在实数m，使得QA•PB＝QB•AP总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．26．（12分）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP＝CQ．（2）变式探究；如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．（ⅰ）求证：△ABP∽△ACQ；（ⅱ）若∠ABC＝α，求的值．（用含α的式子表示）．（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．已知AP＝a，CQ＝b，求△APC的面积．

2024年四川省成都市树德实验中学东马棚校区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若水位上升5m记为+5m，那么水位下降2m应记为（）A．+5m B．+2m C．﹣2m D．﹣5m【分析】根据水位上升5m记为+5m，得出下降记为﹣，进行作答即可．【解答】解：依题意，水位上升5m记为+5m，∴水位下降2m应记为﹣2m，故选：C．【点评】本题考查了正数负数的意义，掌握正数负数的意义是解题的关键．2．（4分）今年“五一”假期，我市接待游客1461.3万人次，实现旅游收入115.6亿元.115.6亿用科学记数法表示为（）A．115.6×108 B．1.156×109 C．1.156×1010 D．1.156×1011【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：115.6亿＝11560000000＝1.156×1010，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（4分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a2b）3＝a6b3【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式的运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；B．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意；D．（a2b）3＝a6b3，故本选项符合题意；故选D．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接OD，BC，CD，若∠C＝25°，则∠AOD的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】先利用圆周角定理可得：∠BOD＝50°，然后利用平角定义进行计算即可解答．【解答】解：∵∠C＝25°，∴∠BOD＝2∠C＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（3，2）【分析】根据“关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6．（4分）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB′：B′B＝3：2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（）A．3：5 B．4：9 C．4：25 D．9：25【分析】根据位似图形的概念得到A′B′∥AB，△A'B'C'∽△ABC，根据题意求出＝，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵OB′：B′B＝3：2，∴OB′：OB＝3：5，∵△A'B'C'与△ABC是位似图形，∴A′B′∥AB，△A'B'C'∽△ABC，∴△OA′B′∽△OAB，∴＝＝，∴△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比＝（）2＝，故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托、折回索子却量竿，却比竿子短一托”．其大意为：有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设竿子的长为x尺，依题意可列方程为（）A． B． C． D．【分析】设竿子的长为x尺，则绳索长为（x+5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”列出方程即可．【解答】解：设竿子的长为x尺，则绳索长为（x+5）尺，根据题意列出方程为：，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据题意找出等量关系，正确列出方程．8．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，下列说法正确的是（）A．ac＞0 B．b2＜4ac C．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线与x轴的两个交点间的距离大于3【分析】根据图象结合二次函数的性质逐个分析判断即可．【解答】解：因为抛物线开口向下，所以a＜0，因为与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，所以抛物线与x轴的另一一个交点在（0，0）和（1，0）之间，所以c＞0，所以ac＜0，所以A错误，因为二次函数的图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，∴B错误，由顶点坐标及图象知，当x＞﹣l时，y随x的增在而减小，所以C正确，因为与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，所以抛物线与x轴的另一一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴抛物线与x轴的两个交点间的距离不大于3，所以D错误，\故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题.（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）因式分解：y3﹣16y＝y（y+4）（y﹣4）．【分析】原式提取y，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝y（y+4）（y﹣4），故答案为：y（y+4）（y﹣4）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为m＞．【分析】先根据一次函数的性质得出关于m的不等式2m﹣1＞0，再解不等式即可求出m的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，∴2m﹣1＞0，解得m＞．故答案为：m＞．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．11．（4分）九年级举行百科知识竞赛，对成绩不低于90分的学生人数统计如下：成绩（分）9092949698100人数11148863则成绩不低于90分的学生的成绩的众数是92分，中位数是93分．【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可．【解答】解：∵92出现了14次，出现的次数最多，∴众数是92分；把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，则中位数是：＝93（分）．故答案为：92，93．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．12．（4分）如图，将直角三角形ABC沿BC边向右平移得到直角三角形DEF，AC交DE于点G．若AB＝10，BE＝3，DG＝6，则图中阴影部分的面积为21．【分析】根据AB的长度求出EG的长度，再利用梯形的面积公式求解即可．【解答】解：∵将直角三角形ABC沿BC边向右平移得到直角三角形DEF，AB＝10，∴DE＝AB＝10，AB∥DE，∠B＝90°，即阴影部分为梯形，∵DG＝6，∴EG＝DE﹣DG＝10﹣6＝4，∴阴影部分的面积为：，故答案为：21．【点评】本题考查了平移的性质以及梯形的面积，根据平移的性质确定出EG的长度是解题的关键．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交NC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线AP交边BC于点D．若CD＝8，，则AB的长为30．【分析】过点D作PE⊥AB于E，根据角平分线的性质求得DE＝8，在Rt△BDE中，解直角三角形求得BD＝10，cosB＝，在Rt△ABC中，解直角三角形即可求出AB．【解答】解：过点D作PE⊥AB于E，∵AP平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝8，在Rt△BED中，tanB＝＝，设DE＝4x，则BE＝3x，∴BD＝＝5x，∴cosB＝＝＝，∴4x＝8，∴x＝2，∴BD＝10，∴BC＝18，在Rt△ABC中，cosB＝＝，∴AB＝＝30．故答案为：30．【点评】本题考查作图﹣基本作图以，解直角三角形，角平分线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等及灵活解直角三角形．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：．（2）化简：．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：（1）＝﹣2×+2﹣（﹣1）＝﹣+2﹣+1＝；（2）＝•＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，实数是运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．（8分）为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A书法；B绘画；C摄影；D泥图；E剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题：（1）张老师调查的学生人数是50人，其中选择“D泥塑”选修课的人数是12人，“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为57.6°；（2）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A书法”的概率．【分析】（1）由A的人数除以所占百分比即可得出总人数，用总人数减去其它项目的人数求得泥塑人数，用360°乘以剪纸人数所占比例即可得出答案；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）调查的学生人数是10÷20%＝50（人），其中选择“D泥塑”选修课的人数是50﹣（10+6+14+8）＝12（人），“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为360°×＝57.6°，故答案为：50人，12人，57.6°；（2）把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，∴所选2人都是选修书法的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．16．（8分）“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为45°，登上斜坡BD的C处测得无人机A的仰角为31°．若斜坡BD的坡比为1：4，C处的铅垂高度CN为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度AM．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【分析】过点C作CE⊥AM，垂足为E，根据题意可得：CN＝EM＝1.5米，CN⊥BN，再根据已知易得：BN＝4CN＝6米，然后设BM＝x米，则EC＝MN＝（x+6）米，分别在Rt△ABM和Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CE⊥AM，垂足为E，由题意得：CN＝EM＝1.5米，CN⊥BN，∵斜坡BD的坡比为1：4，∴＝，∴BN＝4CN＝6（米），设BM＝x米，∴EC＝MN＝BM+BN＝（x+6）米，在Rt△ABM中，∠ABM＝45°，∴AM＝BM•tan45°＝x（米），在Rt△ACE中，∠ACE＝31°，∴AE＝CE•tan31°≈0.6（x+6）米，∵AE+EM＝AM，∴0.6（x+6）+1.5＝x，解得：x＝12.75，∴AM＝12.75≈12.8（米），∴此时无人机的高度AM约为12.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，D为⊙O上一点，连接AD交BC于点E，且AB＝BE，连接OD．（1）求证：∠ABC＝∠COD；（2）若⊙O的半径为2，E是OC的中点，求AC和AD的长．【分析】（1）根据等边对等角得出∠BAE＝∠BEA，∠OCD＝∠ODC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAE＝∠OCD，分别在△BAE和△OCD中根据三角形内角和定理即可证得∠ABC＝∠COD；（2）先求出OE的长，即可求出BE的长，于是得出AB的长，根据勾股定理即可求出AC的长；先证△CED∽△CDO，求出CD的长，即可得出DE的长，再证△BAE∽△DCE，求出AE的长，即可求出AD的长．【解答】（1）证明：如图，连接CD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵，∴∠BAE＝∠OCD，在△ABE中，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠BEA＝180°﹣2∠BAE，在△OCD中，∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝180°﹣2∠OCD，∴∠ABC＝∠COD；（2）解：∵⊙O的半径为2，E是OC的中点，∴OE＝CE＝1，BC＝4，∴BE＝OB+OE＝2+1＝3，∵AB＝BE，∴AB＝3，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，由勾股定理得；由（1）知∠BAE＝∠BEA＝∠OCD＝∠ODC，∵∠CED＝∠BEA，∴∠CED＝∠ODC，∴△CED∽△CDO，∴，即CD2＝OC•CE＝2×1＝2，∴，∵∠CED＝∠OCD，∴，∵∠BAE＝∠DCE，∠BEA＝∠DEC，∴△BAE∽△DCE，∴，∴，∴，∴．【点评】本题考查了圆周角定理及推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．18．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，0）．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当AP∥x轴时，△PAB的面积为．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，当点P在射线OA上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与△OAB相似，求点Q的坐标；（3）若点P是使△PAB的面积取得最小值的点，将线段AB沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为CD，CD的垂直平分线恰好经过点P，求n的值．【分析】（1）设点P（m，），根据△PAB的面积为，列出方程，解得m＝，求出反比例函数解析式即可；（2）先求出点P坐标及OP长，分两种情况①当AB∥PQ时，△OAB∽△OPQ，②当AB与PQ不平行时，△OAB∽△OQP讨论求出点Q坐标即可；（3）先求出当△PAB面积最小时点P坐标（3，），再求出线段AB的垂直平分线解析式为：y＝2x﹣，根据平移法则得到y＝2（x﹣n）﹣，代入点P坐标求出n值即可．【解答】解：（1）设点P（m，），∵AP∥x轴，∴AP＝m﹣1，∵△PAB的面积为，∴，解得m＝，∴P（，1），∵点P在反比例函数图象上，∴k＝，∴反比例函数解析式为：y＝；（2）∵点A（1，1），∴直线OA解析式为y＝x，∵点P是射线OA与反比例函数交点，∴P（，），∴OP＝3，①当AB∥PQ时，△OAB∽△OPQ，∴，即，∴OQ＝，∴Q（，0）；②当AB与PQ不平行时，△OAB∽△OQP，∴，即，∴OQ＝，∴Q（，0）．综上分析，符合条件的点Q坐标为Q（，0）或Q（，0）；（3）设直线AB解析式为y＝kx+b，点A（1，1），B（3，0），，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣，设直线AB向上平移m个单位与双曲线相切，则有﹣+m＝，整理得：x2﹣（3+2m）x+9＝0，Δ＝（3+2m）2﹣36＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），当m＝时，x2﹣6x+9＝0，解得x＝3，即点P是使△PAB的面积取得最小值的点坐标为（3，），此时PB⊥x轴，∵点A（1，1），B（3，0），∴线段AB的中点C坐标为（2，），∴线段AB的垂直平分线解析式为：y＝2x﹣，将线段AB沿着x轴向右平移n个单位长度，即将线段AB的垂直平分线向右平移n个单位长度，∴平移后线段AB的垂直平分线解析式为：y＝2（x﹣n）﹣，此时解析式过点P（3，），∴＝2（3﹣n）﹣，解得：n＝．【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握相似三角形判定及函数平移法则是关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知x+2y＝5，3a﹣4b＝7，则代数式（9a﹣4y）﹣2（6b+x）的值为11．【分析】把（9a﹣4y）﹣2（6b+x）变形为3（3a﹣4b）﹣2（x+2y），再代入求值即可．【解答】解：∵x+2y＝5，3a﹣4b＝7，∴（9a﹣4y）﹣2（6b+x）＝9a﹣4y﹣12b﹣2x＝（9a﹣12b）﹣（2x+4y）＝3（3a﹣4b）﹣2（x+2y）＝3×7﹣2×5＝21﹣10＝11，故答案为：11．【点评】本题考查了整式的加减，整体求值思想，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．20．（4分）对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，交BC的延长线于点C'，过点C'作C'D'⊥AD，交AD的延长线于点D'，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABC'D'，若AB＝4，则CC'的长为2﹣2．【分析】先利用黄金矩形的定义可得＝，从而可得BC′＝2+2，然后根据正方形的性质可得AB＝BC＝4，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵正方形ABCD延伸为黄金矩形ABC'D'，∴＝，∵AB＝4，∴BC′＝2+2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∴CC′＝BC′﹣BC＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．（4分）现从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为．【分析】先求出使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值，然后即可计算出相应的概率．【解答】解：由分式方程，可得x＝﹣a﹣3，∵分式方程的解是负数，∴﹣a﹣3＜0，解得a＞﹣3；由不等式组可得：，∵关于x的不等式组无解，∴2＞，解得a＜2.5；由上可得，a的取值范围为﹣3＜a＜2.5，∴从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值为﹣2，﹣1，0，1，2，∴现从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为，故答案为：．【点评】本题考查概率公式、解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，解一元一次不等式组和概率公式是解答本题的关键．22．（4分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点F在边CD上，连接BF，沿BF折叠△BCF，点C落在点E处，连接AE，则AE长度的最小值为．【分析】结合题意，得BE＝BC＝4；当点F和点D重合时，∠ABE取最小值，过点A作AM⊥BD交BD于点M，过点E作EN⊥BD交BD于点N，得∠AMB＝∠END＝90°，AM∥EN；根据轴对称和矩形性质，得△ABD∽△MBA，△EDB∽△NDE，根据相似比性质，计算得AM，BM，ENDN，通过证明四边形AMNE为平行四边形，得AE；当∠ABE取最小值时，AE长度取最小值，从而完成求解．【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，点F在边CD上，连接BF，沿BF折叠矩形使点C落在点E处，∴BE＝BC＝4，如下图，当点F和点D重合时，∠ABE取最小值，过点A作AM⊥BD交BD于点M，过点E作EN⊥BD交BD于点N，∴∠AMB＝∠END＝90°，AM∥EN，∵沿BF折叠矩形使点C落在点E处，∴DE＝CD＝AB＝3，∠BED＝∠BCD，∵矩形ABCD，∴∠BAD＝∠BED＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，，BD＝＝5，∴△ABD∽△MBA，△EDB∽△NDE，∴，∴AM＝＝，BM＝×AB＝，EN＝＝，DN＝＝，AM＝EN＝，MN＝BD﹣BM﹣DN＝5﹣，又∵AM∥EN，∴四边形AMNE为平行四边形，∴AE＝MN＝，当∠ABE取最小值时，AE长度取最小值，AE长度的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了轴对称、三角形边角关系、相似三角形、勾股定理，平行四边形、矩形的角形边角关系、相似三角形、平行四边形、矩形的性质，从而完成求解．23．（4分）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数y＝（其中m是常数，且m≠0），该函数的图象记为G．当m＝1时，图象G与x轴的交点坐标为（﹣4，0）；若直线y＝m与G恰有两个交点，则m的值为﹣或．【分析】令y＝0，则x2+3x﹣4＝0（x＜0），﹣x2+3x﹣4＝0（x≥0），解方程即可求得图象G与x轴的交点坐标；求得函数y＝mx2+3m﹣4（x＜0）和函数y＝﹣mx2+3m﹣4（x≥0）的顶点坐标，把顶点代入y＝m得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：当m＝1时，函数y＝，令y＝0，则x2+3x﹣4＝0（x＜0），﹣x2+3x﹣4＝0（x≥0），解x2+3x﹣4＝0得，x1＝﹣4，x2＝1，∵x＜0，∴x＝﹣4，方程﹣x2+3x﹣4＝0中，Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣7＜0，∴函数y＝﹣x2+3x﹣4（x≥0）与x轴没有交点，∴当m＝1时，图象G与x轴的交点坐标为（﹣4，0）；∵y＝mx2+3m﹣4＝m（x+）2﹣m﹣4，∴函数y＝mx2+3m﹣4（x＜0）的顶点为（﹣，﹣m﹣4），∵y＝﹣mx2+3m﹣4＝﹣m（x﹣）2+m﹣4，∴函数y＝﹣mx2+3m﹣4（x≥0）的顶点为（，m﹣4），当﹣m﹣4＝m或m﹣4＝m时，直线y＝m与G恰有两个交点，由﹣m﹣4＝m，解得m＝﹣，由m﹣4＝m，解得m＝，∴若直线y＝m与G恰有两个交点，则m的值为﹣或，故答案为：（﹣4，0）；﹣或．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：“读书节“活动计划书书本类别科普类文学类进价（单位：元）1812备注（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；（2）科普类图书不少于600本；…（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；（2）经市场调查后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w＝总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，根据题意可得，化简得：540﹣10x＝360，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，则A类图书的标价为：1.5x＝1.5×18＝27（元），答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5），由题意得，，解得：600≤t≤800，则总利润w＝（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t）＝（9﹣a）t+6（1000﹣t）＝6000+（3﹣a）t，故当0＜a＜3时，3﹣a＞0，t＝800时，总利润最大，且大于6000元；当a＝3时，3﹣a＝0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；当3＜a＜5时，3﹣a＜0，t＝600时，总利润最大，且小于6000元；答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，P（4，﹣2）是抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴上一点，且抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E在对称轴右侧的抛物线上，点F在x轴上，若△PEF是以P为直角顶点的直角三角形，且PE＝2PF，求点E和点F的坐标；（3）如图2，A，B是抛物线上的两个动点（点A在点B的左侧），点A，B，P在同一直线上，过点M（0，m）（m＜﹣6）作y轴的垂线l，交直线AB于点Q，是否存在实数m，使得QA•PB＝QB•AP总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝4，可求a的值，再将点（0，2）代入y＝x2﹣4x+c，即可确定函数的解析式；（2）设对称轴与x轴的交点为G，过点E作EH⊥PG交于H点，则△PGF∽△EHP，能得到PH＝2GF，HE＝2PG，设E（t，t2﹣4t+2），F（s，0），则|t﹣4|＝4，|﹣2﹣t2+4t﹣2|＝2|s﹣4|，即可求E（8，2），F（2，0）；（3）过点A作AS⊥l交于S点，过点B作BT⊥l交于T点，设对称轴与l的交点为H，由题意可知＝，再由AS∥BT∥PH，则＝，设直线AB的解析式为y＝k（x﹣4）﹣2，当k（x﹣4）﹣2＝x2﹣4x+2时，xA+xB＝8+2k，xA•xB＝8k，求出Q（4+，m），可得等式＝，整理后可得m＝﹣14．【解答】解：（1）∵P（4，﹣2）是抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴上一点，∴抛物线的对称轴为直线x＝4，∴﹣＝4，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+c，将点（0，2）代入y＝x2﹣4x+c，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2