2021-2022学年沪教版必修一数学暑假提升第17讲 函数的基本性质三（函数的最值）教师版

第17讲函数的基本性质（3）（函数的最值）

【基础知识】

一、函数的最值

定义函数》=/（才）在彳0处的函数值是/（Zo）,如果

对于定义域内任意给定的才，都成立不等式八］）》/（彳。），

那么/（70）就叫做函数的最小值（minimum）；相

反，如果都成立不等式"7）〈/（才。），那么/（1。）就叫做函

数y=/（z）的最大值（maximum）.

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；

3、闭区间的连续函数必有最值。

二、函数的值域的求法

1.直接观察

2.配方

3.基本不等式/耐克函数

4.判别式法

5.分离常数法/部分分式法

6.换元

7.数形结合

8.单调性

9.奇偶性（*）

【考点剖析】

一、特殊方法

考点一：.直接观察

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数y=3-«的值域；

【难度】★【答案】•••五20二一《4°，3-爪＜3故函数的值域是：［―8,3］

注2|例2-求函数y=|2x—l|+|x—3|的值域

【难度】★★【答案】

2

考点二：配方法

主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

对于求二次函数y=ax1+Z?x+c(awO)或可转化为形如/(x)=a[g(x)]~+bg(x)+c(a丰0)的函数的

值域(最值)一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解；

[、1例3.求函数y=f—2x+5,xG[―1,2]的值域；

痂度】★

2

[答案】将函数配方得：y=(x-D+47xG[-l,2]

由二次函数的性质可知：当X=1时，Vmm=4,当X=—l时，ymax=8

故函数的值域是：[4,8]

「、口例4.求二次函数y=—d+4x—2,XG[1,4]的值域；

诞度】★

【答案】函数的定义域为[1,4],y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,从而函数为对称轴为x=2的开口向下

的二次函数，.•一min=—4?+4x4—2=-2,Wax=2.即函数的值域为[―2,2].

注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。主要就是和二次函数有关的求值域问题用此方法。

f例5.求/(x)=/+6/—5,xe[-1,2]的最大值

【嘘度】★★【答案】35

△^1例6.设X2+4>2+8*+7=0,求％2+y2的最值

【难度】★★【答案】[1,49]

例7.求函数/(x)=――_-的值域

【难度】★★【答案】[一8，一gU(o,+s)

考点三：.基本不等式

对形如(或可转化为)f(x)=ax+-,可利用巴心2疝,。2+尸》2"求得最值。注意“一正、二定、

x2

三相等”；

例1.求函数y=2x+」,xe[2,4]的值域;

933

【难度】★【答案】

25T

V2+2

例2.求函数y=的值域。

V%2+1

【难度】★【答案】定义域无eH,y=4xr+i+-p^>2,满足取等号的条件。

V77T

例3.求函数>=必。一2x),xe0,1的值域;

【难度】★★【答案】0,—

27

f例4.求/(%)=—的值域;

1+x+x2

【难度】★★【答案】—12

3

f例5.求/(x)=的值域;

J%之+1

【难度】★★【答案】。<2时，［a,+8)；a»2时，［2，1斤,+oo)

考点四：判别式法

一般地，形如/(x)=ax+b±［ex1+dx+e,/(x)=Jax+6+Jcx+d,/(x)=的函数,我

们可以将其转化为My)*2+q(y)"+r(y)=°，My)w。的形式，再通过

A=［q(y)『-4P(y)"(y)20求得，的范围；但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出y的范

围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误；

5丫2_LQr4-5

例1.求函数y=的值域；

x-+1

【难度】★★

5«Ior!c

［答案］y=,可化为(y_5)x/_8x+(y_5)=0

x~+1

当y—5=0即y=5时，方程在实数范围内有唯一解X=0；

y-5w0

当y—5w0即时，・；xsR,/.A>0,即<

64-4(y-5)2>0

解得l<y<9,.•.函数的值域为［1,9］

例2.设函数y=［等的值域为［—1,5］,求

【难度】★★

【答案】化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解.

yx2-ax+2y-b-Q

A=a~-4y(2y-Z?)=-8y2+4by+a2NO解集为［一1,5］,解得a=±2-710,Z?=8

考点五：分离常数法/部分分式法

对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域

较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分

式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.

1—Y

例1.求函数Y=--的值域；

2x+5

【难度】★★

77

i—(2x+5)+—

-12，因为一--N0,则yH,

【答案】yf:2“22+2x+52x+52

故函数丫=2*的值域为|yly/J

2x-l炉+2x+2

例2.(1)y~(2)y

-2x+lx+1

【难度】★★

【分析】对于分式函数一般采用分离常数的方法，先将分式函数变为基本函数，再通过基本函数的图像和

“n

性质求值域。分式函数分离之后可能变为：反比例型y=—(4wO)函数；耐克函数丁=%+—(。>0)；二

xX

次型函数y=a(-)2+A(工)+c(aH0)等。

XX

2x—12x+1—2

【解答】(1)y1

2x+l2x+l*

所以原函数的值域是(-8,l)U(l,w)

x2+2x+2

(2)因为y=X+1H-------

x+1x+1

当x>—1时,x+l>0,所以yN2当且仅当x=0时等号成立;

当x<—1时,x+l<0,所以y<—2当且仅当％=-2时等号成立;

所以函数的值域为(-8,-2]U[2,+8)。

二、通用方法

考点六：换元法

有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量，通过换元，我们

常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露己知与

未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法.在求值域时，我们可以通过换元将所

给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.

例1.求/(%)=X+Jl-x的值域；

【难度】★

【答案】令7Tzi=/20,则x=l—产020),===+|<|,

所以函数值域为1-8,1.

例2-求函数y=2x+4j匚1的值域;

【难度】★

【答案】设贝

x=1-尸代入得y=f(t)=2X(l-t2)+4t=-2l2+4t+2=-2(t-1)2+4

TOW4所求值域为(-oo,4]

考点七：数形结合

对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图像来观察其函

数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程

大大简化；

「干例1.求函数/'(x)=1,的值域.

I--------1p-2x-3(0<x<3)

【难度】★

【答案】求分段函数的值域可作出它的图像，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地

求出其值域.

解：作图像如图所示.

V/(-l)=/(1)=-4,/(-2)=-3,/(3)=0,/(0)=-3,

.•.函数的最大值、最小值分别为。和-4,即函数的值域为[-4,0].

P例2.求函数y=Jx?+4x+5+y/x2-4%+8的值域；

询度】★★

【答案】原函数变形为于⑺=Jo+2)2+1+J(x—2)2+2?作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割

成12个单位正方形。设HK=X，则EK=2-九，

KF=2+x,AK=,KC=J(无+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KCNAC=5。

当A、K、C三点共线时取等号。.•.原函数的知域为｛y|y25｝。

例3.求函数y=3x+J2-5x的值域；

谦度】★

(2~|2-t2

【答案】函数的定义域为-oo,W,令"J2-5x,那么/NO,%==一

»3.工,二63：975/-----547

+—«.•.当，=-即J2—5x=区也即x=—时，函

-5535516066180

9797一

数有最大值二；函数无最小值.，函数的值域为—00,——

6060

点评：对于形如f(x)=ax+b±dcx+d(a、b、c、d为常数，acwO)的函数，我们可以利用换元法

求其值域.

35

例4.已知函数/(尤)的值域为

【难度】★★

,____________1^21-t21,1

【答案】令—2/(%)=t,贝炉⑴=-yy=----+t=——t+t+-

222

35

—</(%)<—_3”、11J_7

由<89得：-</(%)<-/.0<r<-•••・・・所求值域为

l-2/(x)>08222,828

评注：利用引入的新变量人使原函数消去了根号，转化成了关于/的一元二次函数，使问题得以解决.用

换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围,它是新函数的定义域.

例5.求函数/(x)=J/+2尤+5-G+2x+2的最大值；

【难度】★★

【答案】

/(%)=J%?+2兀+5-J%:+2尤+2=J(x+1)2+4-+Ip+1=

4+1)2+(0—2)2—小+1)2+(0—广

显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,O)分别到BHL,2),4-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示:

J(x+1)2+(0-2)2=|ABI,J(x+iy+(0_])2=|ACI,且IBCI=1.

显然f(x)=|AB|-|AC|2|BC|=1当且仅当A,B,C三点共线时取到等号，即当X=-l时,[/(刈侬=1•

三、函数性质

考点八：单调性

单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确

定函数的值域.

对于形如f(x)=ax+b+{cx+d(a>b、c、d为常数，ac>0)或者形如/(x)=g(x)H——-—而使

g(x)

用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

例1.求函数y=2x—3+=I的值域.

【难度】★

【答案】函数的定义域为［1,+8),显然函数在其定义域上是单调递增的，.•.当X=1时，函数有最小值

>*=—1，故函数的值域为［一1,内).

例2.求函数/(x)=的值域;

'-------'yJx2+4

【难度】★★

【答案】/(%)==12+4+-=，若用不等式法,那么等号成立的条件为+4=」—

ylx2+4，尤2+4次+4

即必=—3,显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了.

为了简化函数，我们不妨先进行一下换元，设Jx2+4=1”(2),则函数就转化为y=<+；,fe［2,^o),

现在我们考查一下函数y=7+；的单调性：

函数在［—1,0)、(0,1］上都单调递减；而在(YO,—1］、［1,内)上单调递增.

那么当/G［2,+OO),函数是单调递增函数，故当f=2即,无2+4=2也即％=0时,函数有最小值

"(x)L=/(°)=g,，函数/⑴的值域为

例3.求函数y=2x—3+K万的值域.

说度】★

【答案】函数的定义域为［1,+8)，显然函数在其定义域上是单调递增的，，当x=l时，函数有最小值

>*=—1，故函数的值域为［—L”).

例4.求函数y=JIZT—GT的值域。

口隹度】★★

【答案】y=——2无之1,.♦.而都是增函数，故y=—是减函数，因

A/X+1+\/%—1

此当x=l时，y1mx=正，又：y>0,ye(o,0］。

考点九：奇偶性(*)

适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中,

可以利用奇偶性直接得出答案；

1例1.若9(x),g(x)都是奇函数，/(x)=a9(x)+6-g(x)+2在(0,+co)上有最大值5,则/(x)在

(-8,0)上有()

A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-1D.最大值-3

【难度】★★

【答案】C

【解析】。(x)、g(x)为奇函数，二/(x)—2=a°(x)+"g(x)为奇函数.

又/(x)有最大值5,2在(0,+8)上有最大值3.

.♦•/(龙)―2在(-8,0)上有最小值一3,，/(尤)在(-8,0)上有最小值一1.答案为C.

四、综合及应用

例L已知函数+2二+二,xe[1,+co)；

(1)当a=；时，求函数/(x)的最小值；

⑵若对任意xe[l,+oo),/(力>0恒成立，试求实数a的取值范围；

【难度】★★【答案】错解分析：考生不易考虑把求。的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：解法一运用转化思想把/(力>0转化为关于先的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.

(1)解：当a=—时，f(x)=x-\---F2

22x

7

・・•/(%)在区间[1,+8)上为增函数，.・・/(同在区间[1,+8)上的最小值为〃1)=/.

(2)解法一：在区间[1,+8)上，/(x)>0恒成立o%2+2%+々>0恒成立.

设y=+2%+a,%£[1,+oo)

y=x2+2x+a=(x+l)2+〃一1单调递增，

・•・当x=1时，y而门=o+3>0,故〃>—3

解法二：/(%)=%+—+2,XG[1,+OO)

当a20时，函数/(九)的值恒为正；

当a<0时，函数/(%)递增，故当x=l时，/(尤)1rali=a+3

当且仅当/(x)1A=a+3>0时，函数/(x)>0恒成立，故a>—3

(x-t?)"",x<0

例2.函数/(%)=<，若/'⑼是的最小值，则a的取值范围为()

XH---F6Z,X〉0

X

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]

【难度】★★

【分析】由分段函数可得当x=0时，f(0)=a2,由于f(0)是f(x)的最小值，贝U(-oo,0]为减区间，

即有近0,贝U有a23x+1+a,x>0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a,解不等式a232+a,

X

即可得到a的取值范围.

x-a)-x40

【解答】解：由于f(x)=ii

xJ+a，x>0.

X

则当x=0时，f(0)=a2,

由于f(0)是f(x)的最小值，

则(-8,0]为减区间，即有aK),

则有a2gx+3+a,x>0恒成立，

x

由X+—>2^X*—=2,当且仅当x=l取最小值2,

则a2<2+a,解得-lWaW2.

综上，a的取值范围为[0,2].

故选：D.

。0例3•某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500

元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x—；/(万元乂0WxW5),其中x是产品

售出的数量(单位：百台)

(1)把利润表示为年产量的函数；

(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？

(3)年产量多少时，企业才不亏本？

【难度】★★

【答案】(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当尤W5时,

产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以

2

5X--X-(0.5+0.25X)(0<X<5)L75%_--0,5(0<x<5)

(5x5--X52)-(0.5+0.25X)(%>5)[12-0.25X(X>1)

、2

1k

(2)在0WxW5时，y=——，+4.75%一0.5,当x=一——二4.75(百台)时，)max=10.78125(万元)，当%>5(百

22a

台)时，yV12—0.25X5=10.75(万元)，

所以当生产475台时，利润最大.

0<x<5

x>5

(3)要使企业不亏本，即要求1或

-X2+4.75X-0.5>0'12-0.25%>0

12

解得5》尤》4.75—J21.5625弋0.1(百台)或5Vx<48(百台)时，即企业年产量在10台到4800台之间

时，企业不亏本.

【反思总结】

1、函数值域的问题，也要先求定义域，或者题目给定的范围内求；然后根据解析式的特征选择合适的方法;

2、大多题目都需要各种方法综合运用，所以换元、配方、部分分式、单调性尤其要熟练掌握；

3、不等式的恒成立、方程的有解，本质上都是函数值域和最值的问题，灵活运用参变分离法；

【真题演练】

一、单选题

1.(2019・上海高一期末)一次函数f(x)=(3a—2)x+l—a,在［-2,3］上的最大值是f(―2),则实数a

的取值范围是()

22,22

A.a>—B.a>—C.aV—D.a<—

3333

【答案】D

【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围.

【详解】因为一次函数f(x)=(3a—2)x+l—a,在［-2,3］上的最大值是f(―2),

2

则函数f(x)在［-2,3］上为减函数，贝|3a-2<0,解得a<§,

故选D.

【点睛】本题考查了一次函数的单调性和最值的关系，考查了转化与化归思想，属于基础题.

2.(2018・上海复旦附中高一期末)函数y=V—2x+3在闭区间上有最大值3,最小值为2,加的

取值范围是

A.(-oo,2］B.［0,2］C.［1,2］D.［1,+<»)

【答案】C

【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数/(x)的图象，如图所示，当X=1时，V最小，最小值是2,

当x=2时，>=3,欲使函数/(x)=x2—2x+3在闭区间［0,网上的上有最大值3,最小值2,则实数加

的取值范围要大于等于1而小于等于2即可.

【详解】解：作出函数Ax)的图象，如图所示，

当x=l时，了最小，最小值是2,当％=2时，y=3,

函数/(x)=d-2x+3在闭区间［0,汨上上有最大值3,最小值2,

则实数加的取值范围是口，2］.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题.

二、填空题

2

3.（2021.上海高一期末）已知函数丁=—,xe［l,2］,则此函数的值域是.

【答案】［1,2］

【分析】利用反比例函数的单调性可求得原函数的值域.

22222

【详解】因为函数y=—在区间［1,2］上为增函数，当％目1,2］时，一<—<一,即10—<2.

x2x1x

2

因此，函数y=—,%目1,2］的值域为［1,2］.

故答案为：［L2］.

4.（2021.上海市大同中学高一期末）函数y=|x-l|+|x|,xe［a,2］的最大值为3,则。的取值范围为

【答案】［—1,2）

【分析】将函数化为分段式，再根据函数图象求得参数范围.

【详解】当x<0时，y=1—=1—2%；当OWxWl时，y=l—x+x=l；

当l<x时，y=%—1+%=2%—1；

所以函数式可化为

1-2x,x<0

y=<1,0<X<1

2x-l,x>0

函数图象如图所示:

因为xe［a,2］时最大值为3,又当x=—l时，y=3,当％=2时，y=3；

由图知，ae［-l,2）

故答案为：［—1,2）

4「1一

5.（2021•上海高一期末）函数/'（x）=x+—,xe-,4的值域为__________.

x12_

-17-

【答案】4,—

L2J

【分析】根据对勾函数的单调性分析出/（尤）的单调性，然后即可求解出/（光）的最值，从而/（光）的值域

可确定出.

【详解】由对勾函数的单调性可知：：）=x+—在不,2上单调递减，在（2,4］上单调递减,

所以〃力皿=/（2）=4,

O；+8《，/（4）=4+1=5,

又且.

17

所以/（"max

「17一

所以/（九）的值域为4,万，

-17'

故答案为：4,—.

6.（2021.上海高一期末）已知函数丁=%2+2ax（xe［0,1］）的最小值为-2,则实数a=________

3

【答案】-

2

【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.

【详解】y=f（x）=x2+2ax=（x+a）2-a2,所以该二次函数的对称轴为：％=-〃，

当14一。时，即1<一1,函数/（X）=x2+2ox在％时单调递减，

3

因此丁（%）而「=/（1）=1+2。=—2=，=—5,显然符合〃<—1；

当0<-〃<1时，即一1<〃<0时，/（X）1n=-〃2=一2=>Q=±&，显然不符合一1<。<0；

当一〃<0时，即时，函数/（%）=%2+2〃%在工£［0,1］时单调递增，

3

因此/（%）.=/（0）=0。—2,不符合题意，综上所述：〃=—3，

3

故答案为：—

2

三、解答题

7.（2020•上海高一单元测试）函数y=/（x）是定义在，8,一；Dg,上的奇函数，当x2g,

/（X）=2x—x2.

（1）求当：时，/（X）的解析式；

（2）若函数g（x）="x）T,求g（x）的值域.

【答案】（1）f（x）=2x+x2,x<-1；（2）］一9：.

【分析】（1）由x<—!得-代入已知解析式，由函数奇偶性，即可得出结果；

22

（2）分别讨论x<-,两种情况，根据基本不等式，以及函数单调性，分别求出值域，即可得出

22

结果.

【详解】（1）当尤W—工时，—因为xN,时，f（x）=2x-x2,

所以/（_%）=_2%_（_%）2=-2x-x2,

又函数y=/（x）是定义在1―8,—；D+8）上的奇函数，

所以/(-x)=-/(x)=-2x-x2,贝ij/(%)=2兀+/，

即当九«---时，/(%)=2%+X2；

2

(2)当％2g时，/(x)=2x-x2,

贝ijg⑴="”T=2x-x“T

=2-x--<2-2=0,

XXX

当且仅当x=L,即x=l时，取得最大值0,无最小值;

X

当工时，g（X）=/（"―1=2x+厂_1=2+X_!在X«上显然单调递增,因此

2xxx2

/、O1c7

-2r2-2+2=2

综上，g（x）的值域为

【点睛】方法点睛：

利用函数奇偶性求函数解析式时，一般根据所求解析式对应的自变量范围，求其相反数的范围，再代入已

知解析式，根据函数奇偶性，即可得出结果.

【过关检测】

一、填空题

1.（2020•上海高一期末）已知关于尤的不等式分-440在［1,2］上恒成立，则实数a的取值范围为.

【答案】a<2.

4

【分析】将不等式转化为。V—在口2］上恒成立，再利用反比例函数求出最小值，进而可以得到。的取值

x

范围.

4

【详解】关于x的不等式分-4K0在［1,2］上恒成立，等价于不等式。《一在［1,2］上恒成立，

x

4

令y=—，即a<y*在口，2］上恒成立，

4

利用反比例函数性质知y1nhi=/=2，，〃《2.

故答案为：a<2.

2.(2020•上海市行知中学高一月考)若存在实数aeR,使得不等式x|x—4―匕<0对任意xe［0,2］都成

立，则实数b的取值范围是.

【答案】be(12-8拒,+8)

bb

【分析】当尤=0时，匕>0恒成立，当0<xW2时，由%|%—4—匕<0可得了一一<a<x+-,然后求出

XX

hh

g(x)=x+—的最小值和7i(x)=x--的最大值，然后可解出答案.

XX

【详解】当x=0时，匕>0恒成立

bb

当0vx<2时，由—a\—/?<()可得无—<tz<xH—

XX

A〃

令/z(%)=%——,力⑴在(0,2］上单调递增，a>/z(x)max=g(2)=2——

x2

令g(x)=x+。，g(x)在(0,G)上单调递减，在(6,+可上单调递增

所以当b>4时，g(x)在(0,2］上单调递减，a<g(x)m,n=g(2)=2+-,

bb

此时2——<2+—成立，满足题意

22

当0<bW4时，g(x)在(0,、/］上单调递减，在［扬,2］上单调递增

a<g(x)min=g(6)=2而，此时有2-3<2扬，

解得12-8亚<bK4

综上：be(12—80,+8)

故答案为：be(12—80,+°°)

2x

3.(2020・上海高一单元测试)设函数/(力=川卬区间M=［a回(a<Z?),集合

N={yly=,则使得"实数对(。力)有..对

【答案】3

2。

二,x20-FT=a

2x1+Yi+ld

【分析】由/(x)=「nc，根据单调性，求出函数值域，再由以二N,得到《

i+X2x八2b

-----,x<0——L=b

」一x[1+网

求解即可求出结果.

2x