2020-2021学年皖西南联盟高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年皖西南联盟高二上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数分/Xx)：(1x'为有，3理数数称为

S,久为无理数

狄利克雷函数，则关于函数分/(X)有以下四个命题：

⑴〃⑴)=1

(2)函数/'(X)是奇函数

(3)任意一个非零有理数7,/(x+T)=/(x),对任意X6R恒成立

(4)存在三个点4(Xi，/Qi),B(X2，f(X2),C(X3，f(X3)使得△48c为等边三角形.其中真命题的是()

A.⑴⑶(4)B.(2)C.(2)(4)D.(2)⑶

2.如图，用与底面成45。角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为()

A.立

2

B.在

3

C.里

2

D1

3.已知袋中有“3个红球，71个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是黄，则n=()

A.1B.2C.6D.7

4.在三棱锥。一力BC中，若。为BC的中点，则前=()

A.+B,^OA+^OB+OC

C.|OB+|OC-O7D.|oe+|oc+04

5.过双曲线C：1=1的右顶点作支轴的垂线与C的一条渐近线相交于4若以双曲线C的右焦

a2b2

点尸为圆心、半径为2的圆经过A,。两点(。为坐标原点)，则双曲线C的离心率为()

A.V3B.2C.y/5D.3

6.a,0是两个平面，，是直线，给出以下四个命题：

①若11a,a10,则1〃。,

②若”/a,a〃夕,则〃〃，

③iJLa,a//p,则，10,

@l//a,a1£,贝〃1。，

其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.“a>1”是“函数/（x）=（a?尸在定义域内是增函数”的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.双曲线7n工2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（）

1

A.——B.-4C.4D.

44

9.给出右图所示的算法流程图，若输出的值为遮，则判断框中的率

条件是（）

A.%.<5

B.柴坦您4

I|

C.%•><4

D.黑空碟//

10.已知椭圆盘+，=l（a>0,b>0）的一个焦点与抛物线f=4x的焦点重合，且椭圆的离心率等

于多则该椭圆的方程为（）

A.史+5y2=iB.g+竺=1C.铝+空=1D.：/+3y2=i

5，43534

11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

AW+1+乎B.3f+4C.中D.37+1+苧

12.圆=16上的点到直线％-y=3的距离的最大值为（）

A.延B.4-—C.4+—D.8

222

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量五=(4,一1),b=若@一E)JL五，则瓶=.

14.下列命题结论中错误的有—0

TT1

①命题“若》=；,贝l」S讥X=[”的逆命题为真命题

62

②己知命题p:x=la=1,命题q:x+y=2,则命题。是命题4的必要不充分条件。

③直线左x+2y-4=0与4：那x+(2-m)y-\=0平行的充要条件是加

15.某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图

所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为万元.

(2x+l>0

16.关于x的不等式组x+a>0的解集为{x|x>7n},则皿的最小值为____，此时a的值

[2x+1<(x+a)2

为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知点C(-l,0),以C为圆心的圆与直线=0相切.

(1)求圆C的方程；

(2)如果圆C上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，求的值.

18.如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(

吨标准煤)的几组对照数据

X3456

y2.5344.5

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于％的线性回归方程y=bx+a；

(参考数值：3x2.5+4x3+5x4+6x4.5=66.5)

19.已知三棱柱4DE—BCF如图所示，其中M,N分别是4尸，BC的中点，且平面48co1底面4BEF,

AB=AD=AEBF=BC=2.

(1)求证：MN〃平面C0EF；

(2)求多面体A-CDEF的体积.

20.在四棱锥S-ABCO中，S41平面4BC0,^BAD=AABC=90°,

SA=AB=AD=^BC=1,E为SD的中点.

(1)若F为线段BC上一点，且BF=)BC,求证：EF〃平面S4B；

6

(2)在线段8C上是否存在一点G,使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为左？若存在，求出BG的长

度，若不存在，请说明理由.

21.已知抛物线C：*2=2py(p>0)的焦点为尸，点4(3,1)在抛物线c上,且|4F|=3.

(1)求抛物线C的方程及Xo的值；

(2)设点。为坐标原点，过抛物线。的焦点/作斜率为：的直线/交抛物线于“。1/1),/7。2，、2)01<》2)

两点，点Q为抛物线C上异于M、N的一点，若丽=而+£而，求实数t的值.

22.点4是椭圆捺+/=l(a>b>0)短轴位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点,

B点在y轴上且BP〃x轴，且四.存=9.

(1)若B(0,l),求椭圆的方程：

(2)若B(O,t),求t的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：A

解析:解：⑴/⑴=1,f(/⑴)=1，故(1)正确；

(2)•••有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

.••对任意xeR,都有/(一%)=f(x),故(2)错误；

(3)若%是有理数，则x+7也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，

・•・根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数7,/0+7)=/(为对刀6/?恒成立，故(3)正确；

④取=_1,X2=0,X3=-y>可得f(Xi)=0,f(%2)=1,f(%3)=0,

•••4(一亨，0)，B(0,l)，C(^,0)，恰好AABC为等边三角形，故(4)正确•

故选：A.

①根据函数的对应法则，有/(/(1))=1;

②根据函数奇偶性的定义，可得f(x)是偶函数；

③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；

④取/=_1,X2=0,向=圣可得4(-0,0),C谭,0),三点恰好构成等边三角形.

本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函

数的奇偶性等知识，属于中档题

2.答案:A

解析：解：设圆柱底面圆的方程为％2+y2=R2,

••・与底面成45。角的平面截圆柱，

椭圆的半长轴长是近R,

半短轴长是R,

:,c=R,

cR\[2

：,?=-=~p-=­•

aV2/?2

故选：A.

根据截面与底面所成的角是45。，根据直角三角形写出椭圆的长轴长，而椭圆的短轴长是与圆柱的底

面直径相等，做出c的长度，根据椭圆的离心率公式，代入a,c的值，求出结果.

本题考查平面与圆柱的截线，考查椭圆的性质，考查等腰直角三角形的边长之间的关系，是一个比

较简单的综合题目，题目涉及到的知识比较多.

3.答案：B

解析：解：袋中有3个红球，n个白球，

有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是受，

则「=工乂/-+,*2-=/，

13+n3+n3+n3+n25

解得n=2.

故选：B.

利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果.

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查

运算求解能力，是基础题.

4.答案：C

解析：

本题考查了空间向量的加减运算以及数乘运算，属于基础题.

如图所示，。为BC的中点，OD=l(OB+0C),代入而=而一万5即可得出.

解：如图所示，

A

•••。为BC的中点,

：.OD=^(OB+OC),

...♦一，1,.......♦，，，♦1，，，・1一，，一.

AD=0D-OA=^(OB+OC)-OA=^0B+^0C-OA,

故选C.

5.答案：B

解析：解：因为双曲线的渐近线方程y=±《x,

所以A(a,b)或4(a,-b),因此|4F|=c=2,

即，(3—a)?+万=2,整理可得：a?+82_4。=0,

因为a?+b2=c2=4,解得Q=1,

所以双曲线的离心率为：e=2=2.

故选：B.

求出4的坐标，利用已知条件列出方程，求出a,然后求解双曲线的离心率即可.

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，根据圆的性质先求出半径c=2是解决本题的关键.

6.答案：A

解析：解：若I_La,a1/3,则/u/?或〃/0,故①错误；

若〃/a,a///3,贝！Hu0或〃/0,故②错误;

若/_La,a〃£,由平面平行的性质，我们可得，_L/?,故③正确；

若〃/a,a10,则IJ./?或/〃/?,故④错误;

故选A.

本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现4B,。中由

条件均可能得到〃"，即4B,。三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答

案.

判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定

理(aua,bta,a//b=>a//a)；③利用面面平行的性质定理(a〃0,aua=a///?)；④利用面面平

行的性质(a〃口,aCa,aC,a〃ana〃夕).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这

条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明，其一般规律是

“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理：根据要求证

的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.

7.答案：B

解析：

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，

考查转化思想.属于基础题.

先写出函数/(x)=(a?尸在定义域内是增函数的等价命题，再根据必要条件、充分条件与充要条件的

判断方法，直接作答即可.

解：根据题意，分析可得，

条件："函数f(x)=(a?尸在定义域内是增函数”=a<-1或a>1,

从而条件“a>1"=条件“函数/(x)=(a?)*在定义域内是增函数”.

反之，不能推出.

ua>r是“函数/(x)=(a2尸在定义域内是增函数”的充分条件.

故选8.

8.答案:A

解析：本题考查双曲线的标准方程和性质，虚轴长和实轴长的定义.把双曲线的方程化为标准方程,

根据标准方程求出虚轴长和实轴长，再利用虚轴长是实轴长的2倍求出m值.

解：双曲线m/+y2=1的标准方程为，-二=1

虚轴的长是2」-上，实轴长2.

Vm

由题意知，2J二］=4,

1

4

故选A.

9.答案：A

解析：试题分析：由判断框首先排除B.D,然后一一运算可值A正确。

考点：算法程序框图。

10.答案:D

解析：解：•••抛物线产=4x的焦点为(1,0)

・•・C=1

又椭圆的离心率等于更，.•一=9，

2a2

2

"a=方

•・•u_—八CL2—「C2_—1

3

所求椭圆的方程为：/+3y2=1,

故选：D.

先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程.

本题考查抛物线、椭圆的简单性质，以及求椭圆的标准方程的方法，比较基础.

11.答案：c

解析：

本题考查了常见几何体的三视图和表面积计算，属于中档题.

几何体上部为三棱锥，下部为半球，根据三视图得出棱锥的棱长和半球的半径，代入数据计算即可.

解：由三视图可知几何体上部为三棱锥，下部为半球，

三棱锥的底面和2个侧面均为等腰直角三角形，直角边为1,

另一个侧面为边长为企的等边三角形，

半球的直径2r=&，故「=①.

2

S表面积=《xlxlx2+fx(V2)2+|X4?rX(y)2+兀x(y)2-1xlxl=j+y+y,

故选：c.

12.答案：C

解析：

本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题.

求出圆心到直线的距离，是解题的关键.

解：圆心(0,0)到直线x-y=3的距离为粤越，又圆的半径等于4,

V22

故圆+y2=16上的点到直线X-y=3的距离的最大值为4+苧，

故选C.

13.答案：5

解析：

由已知结合向量数量积的坐标表示即可求解.

本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题.

解：因为3=(4,—1),b-(m,3)>

所以五—K=(4—m,—4)>

又0-b)1a，

则4(4-m)+(-1)X(-4)=0,

解可得m=5.

故答案为：5

14.答案：①②

TT11TT

解析：①命题“若X=；,则S讥X=士”的逆命题“若S讥X=W，则X=2”根据终边相同的角

6226

冗

若sinx=3，则+”亢故逆命题为假命题

②由命题p:x=l且7=1能推出命题9：%+y=2成立，故充分条件成立；反之由命

题q:x+y=2推不出命题p:x=l4=1成立，故必要条件不成立，故命题P是命题<?的必

要不充分条件的说法错误

12-42

③根据两条直线在一般式下平行的条件可得^=*—解得痔=-反之也成立，故说法正确

故选①②.

15.答案：10

解析：

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题.

根据频率分布直方图，先求出9时至14时的总销售额，再计算11时至12时的销售额.

解：根据频率分布直方图得：

9时至10时的销售额对应的频率为0.10,

销售额为2.5万元，

9时至14时的总销售额为言=25万元，

11时至12时的销售额为

25X0.40=10万元.

故答案为：10.

16.答案：|；；

解析：解：依题意，zn应为方程2%+1=（%+。）2的根，

利用数形结合可知，当抛物线y=（%+a）2过点（一/0）时,

m最小,此时（Q_》2=O,解得,a=

由方程勿+1=（%+}2,解得，％=|或一点

由于％+g>0,解得，x>—

3

故答案为：|>

机应为方程2尤+1=(x+a)2的根，通过图象观察可得，当抛物线y=(x+a)2过点(一(0)时，血最

小，代入点坐标即可得到a,再由二次方程解得

此题考查利用数形结合思想解不等式组问题，本题的难点在于有两个参数m,a,应充分的利用方程

与不等式的关系、函数与方程的思想、数形结合的思想等等常用的数学思想.

17.答案：解：(1)由题意，「二节哥=2,

故所求圆的方程为Q+1)2+y2=4；

(2)由题意，圆C上存在两点关于直线nix+y+1=0对称，所以直线经过圆心C,

所以，—m+l=0,解得m=l.

解析：(1)利用点到直线的距离公式，求出半径，即可求出求圆C的方程;

(2)圆C上存在两点关于直线7nx+y+1=0对称，所以直线经过圆心C,即可求m的值.

本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础.

18.答案：解：(1)根据题意，作图可得,

⑵由系数公式可知，x=4.5.y=3.5,

由于参考数值：3x2.5+4x3+5x4+6x4.5=66.5,

?66.5—4x4.5x3.5C_

・•・b=---------=0.7,

86-4X4.52

Q

我=3.5-0.7x?=0.35,

2

所以线性回归方程为y=0.7x4-0.35.

解析：(1)依据描点一一描点画图即可得数据的散点图；

(2)先算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求a和b的值，从而求出线性回归方程.

本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直

线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解.

19.答案：（1）证明：由AB=BC=8F=2,DE=CF=272."BF=a

取BF的中点G,连接MG,NG,

由M,N分别为4尸，8c的中点可得，

NG//CF,MG//EF,且NGnMG=G,CFCEF=F,

平面MNG〃平面CDEF,

又MNu平面MNG,

•••MN〃平面CDEF.（6分）

（2）取CE的中点从；AD=AE,AH1DE,

在直三棱柱ADE-"F中，平面ADE1平面CDEF,平面/WEn平面CDEF=DE.

•••AH_L平面COEF.

多面体4-CDEF是以4”为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在AAOE中，AH=6

S矩形CDEF=DE-EF=4巾,,

棱锥4-CDEF的体积为U1-S矩形CDEF-AH=%乂4五x正=，一（12分）

解析：（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可.

（2）根据锥体的体积公式先求出锥体的底面积和高即可.

本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间锥体的体积的计算，根据相应的判定定理和体积

公式是解决本题的关键.

20.答案：证明：（1）取4S的中点G,连接GE,GB,

11

由EG是ASAO的中位线，知EG〃4D,EG=-AD=

•••4BAD=/.ABC=90°,

•••4BAD+乙ABC=180°,

.-.AD//BC,即4D//BF,

由题意，BF=：BC=3,

62

・•・EG=BF

VEG//AD,AD//BF,

・・・EG//BF,

，四边形GEFB为平行四边形.

・•・EF//BG,

又•・・EFC平面SAB,BGu平面S4B,

E尸〃平面S48.

(2)以4为坐标原点，以彳月，而，而所在方向分别为％,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz,

则七(0,及，5(0,0,1),5(1,0,0),C(l,3,0),

假设在线段BC上存在满足题意的点G,设G(l,t,0)(0<t<3).

则EG=(l,t—：,一1),SB=(1,0,—1)>SC=(1,3,—1)'

x—z=0

设元=(x,y,z)为平面SBC的法向量，则n-SB=0即

-n-SC=0久+3y—z=0•

令z=l,则得五=(1,0,1)

1xl+Ox(f-i)+lx(-1)

由题意，

V^'{12+-、产+(一,尸14

解得t=2,或t=一1(舍去),

所以，在线段BC上存在一点G,使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为亚，这时，BG=2.

14

解析：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和转化

思想，建立空间直角坐标系4-xyz,用空间向量法求解是解题的关键，属于中档题.

(1)取4s的中点G,连接GE,GB,可证明AO〃BF,再证明EG〃BF,从而可证EF〃BG,又EF,平

面SAB,BGu平面SAB,即可证明EF〃平面S4B.

(2)以A为坐标原点，以荏,AD，而所在方向分别为久,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系4-xyz,

假设在线段BC上存在满足题意的点G,设G(l,t,O)(O<t<3).设有=(x,y,z)为平面SBC的法向量，

由日零二;，可解得H=(I,O,I),由卜w的用卜彳，即可解得t的值，从而得解.

21.答案：解：(1)由题意知，抛物线的准线方程为：y=-p

根据抛物线的定义，|AF|=l+£