江苏省南京市九中2024年高一数学第二学期期末考试试题含解析

江苏省南京市九中2024年高一数学第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，，且，则实数的值为（）A． B． C． D．2．下列各角中，与角终边相同的角是（）A． B． C． D．3．直线xy+1=0的倾斜角是（）A．30° B．60°C．120° D．150°4．已知，则()A．-3 B． C． D．35．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1=1，A．32 B．54 C．6．一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是（）A． B．C． D．7．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30° B．45° C．60° D．90°8．已知一扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为()A． B． C． D．9．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）A． B． C． D．10．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，角,,所对的边分别为，，，若的面积为，且,,成等差数列，则最小值为______．12．如图所示，已知点，单位圆上半部分上的点满足，则向量的坐标为________．13．函数f（x）＝log2（x+1）的定义域为_____．14．已知直线与轴、轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值和最小值之差为．15．已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是______.16．计算__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知三角形ABC的顶点为，，，M为AB的中点．（1）求CM所在直线的方程；（2）求的面积．18．如图，在正中，，.（1）试用，表示；（2）若，，求.19．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等边三角形，为的中点，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，能否在棱上找到一点，使平面平面?若存在，求的长.20．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标是.（1）求；（2）求；21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”.（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由.（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

先求出的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选B【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.2、B【解析】

给出具体角度，可以得到终边相同角的表达式.【详解】角终边相同的角可以表示为，当时，，所以答案选择B【点睛】判断两角是否是终边相同角，即判断是否相差整数倍.3、D【解析】

首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线xy+1=0的斜率，设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°），则tan，∴θ=150°故选：D【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.4、C【解析】

由同角三角函数关系得到余弦、正切，再由两角差的正切公式得到结果.【详解】已知，则,,则故答案为C.【点睛】这个题目考查了三角函数的化简求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化；2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.5、C【解析】

利用前n项和Sn的性质可求S【详解】设Sna+b=116a+4b=16a+8b，故a=1b=0，故S6【点睛】一般地，如果an为等差数列，Sn为其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，则am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn6、B【解析】

直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.7、C【解析】连接，由三角形中位线定理及平行四边形性质可得，所以是与所成角，由正方体的性质可知是等边三角形，所以，与所成角是,故选C.8、C【解析】

根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．【详解】设扇形的弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数是.

则由题意可得：.

可得：，解得：，.可得：故选：C【点睛】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．9、D【解析】

四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.【详解】设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,设，，，，.故选D.【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型10、D【解析】

因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解析】

先根据,,成等差数列得到，再根据余弦定理得到满足的等式关系，而由面积可得，利用基本不等式可求的最小值.【详解】因为,,成等差数列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立.因为，所以，所以即，当且仅当时等号成立.故填4.【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.12、【解析】

设点，由和列方程组解出、的值，可得出向量的坐标.【详解】设点的坐标为，则，由，得，解得，因此，，故答案为.【点睛】本题考查向量的坐标运算，解题时要将一些条件转化为与向量坐标相关的等式，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.13、{x|x＞﹣1}【解析】

利用对数的真数大于，即可得解.【详解】函数的定义域为：,解得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查对数函数定义域，考查学生对对数函数定义的理解，是基础题.14、15【解析】

解：设作出与已知直线平行且与圆相切的直线，

切点分别为，如图所示

则动点C在圆上移动时，若C与点重合时，

△ABC面积达到最小值；而C与点重合时，△ABC面积达到最大值

∵直线3x＋4y−12＝0与x轴、y轴相交于A（4，0）、B（0，3）两点

可得∴△ABC面积的最大值和最小值之差为

，

其中分别为点、点到直线AB的距离

∵是圆（x−5）2＋（y−6）2＝9的两条平行切线与圆的切点

∴点、点到直线AB的距离之差等于圆的直径，即

因此△ABC面积的最大值和最小值之差为

故答案为：1515、【解析】

根据题意，可令，结合，再进行整体代换即可求解【详解】令，则，，，则，，，则函数值域为故答案为：【点睛】本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题16、【解析】

采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.【详解】.【点睛】本题考查分离常数法求极限，难度较易.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）先求出点M的坐标，再写出直线的两点式方程化简即得解；（2）求出和点A到直线CM的距离即得解.【详解】（1）AB中点M的坐标是，所以中线CM所在直线的方程是，即．（2），因为直线CM的方程是，所以点A到直线CM的距离是，又，所以．【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查两点间的距离的计算和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、（1）；（2）-2【解析】

（1）由，可得，整理可求出答案；（2）用、分别表示和，进而求出即可.【详解】（1）因为，则，所以.（2）当时，，因为，所以为边的三等分点，则，故.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）连接,根据三角形性质可得,由底面菱形的线段角度关系可证明,即证明平面,从而证明.（Ⅱ）易证平面平面,连接交于点,过作交于,即可证明平面,在三角形【详解】（Ⅰ）证明：连接,是等边三角形,为的中点,所以；又底面是菱形,,所以,,所以平面,平面,所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以平面,又平面即平面平面平面平面,又,所以平面连接交于点,过作交于,如下图所示:所以平面,又平面所以平面平面因为,所以,即在等边三角形中,可得在菱形中,由余弦定理可得在中,可得所以【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定方法,平面与平面垂直的判定及性质的应用,余弦定理在解三角形中的用法,属于中档题.20、（1），（2）【解析】

（1）求得点到原点的距离，根据三角函数的定义求值；（2）同（1）可求出，然后用诱导公式化简，再代入值计算．【详解】（1）（2），为第四象限，【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．21、（1）；（2）不存在，理由见详解；（3）见详解.【解析】

（1）根据题意，得到，求解即可得出结果；（2）先假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，根据等差数列求和公式，结合题中条件，得到，即对任意都成立，判断出，推出矛盾，即可得出结果；（3）设等比数列的公比为，根据为“阿当数列”，推出在数列中，为最小项；在数列中，为最小项；得到，，再由数列每一项均为正整数，得到，或，；分别讨论，和，两种情况，结合数列的增减性，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：，，即，解得或；所以实数的取值范围是；（2）假设存在等差数列为“阿当数列”，设公差为，则，由可得：，又，所以对任意都成立，即对任意都成立，因为，且，所以，与矛盾，因此，不存在等差数列为“阿当数列”；（3）设等比数列的公比为，则，且每一项均为正整数，因为为“阿当数列”，所以