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文档简介
安徽省安庆第一中学2023-2024学年数学高一下期末质量检测模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知平面向量=(1,-3),=(4,-2),与垂直,则是()A.2 B.1 C.-2 D.-12.函数的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度3.某赛季中,甲、乙两名篮球队员各场比赛的得分茎叶图如图所示,若甲得分的众数为15,乙得分的中位数为13,则()A.15 B.16 C.17 D.184.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C.-1 D.15.四棱锥中,平面,底面是正方形,且,则直线与平面所成角为()A. B. C. D.6.已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为()A. B.C. D.7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元8.设满足约束条件,则的最小值为()A.3 B.4 C.5 D.109.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)关于平面的对称点的坐标为()A.(−3,4,5) B.(−3,−4,5)C.(3,−4,−5) D.(−3,4,−5)10.已知平面向量,,若,则实数()A.-2 B.-1 C. D.2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.若点为圆的弦的中点,则弦所在的直线的方程为___________.12.一条河的两岸平行,河的宽度为560m,一艘船从一岸出发到河对岸,已知船的静水速度,水流速度,则行驶航程最短时,所用时间是__________(精确到).13._____14.如图,已知圆,六边形为圆的内接正六边形,点为边的中点,当六边形绕圆心转动时,的取值范围是________.15.数列满足,当时,,则是否存在不小于2的正整数,使成立?若存在,则在横线处直接填写的值;若不存在,就填写“不存在”_______.16.设为数列的前项和,则__三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.有n名学生,在一次数学测试后,老师将他们的分数(得分取正整数,满分为100分),按照,,,,的分组作出频率分布直方图(如图1),并作出样本分数的茎叶图(如图2)(图中仅列出了得分在,的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值;(2)分数在的学生中,男生有2人,现从该组抽取三人“座谈”,求至少有两名女生的概率.18.已知数列是递增的等比数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设为数列的前n项和,,求数列的前n项和.19.如图,已知平面是正三角形,.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的正切值.20.在三棱锥中,平面平面,,,分别是棱,上的点(1)为的中点,求证:平面平面.(2)若,平面,求的值.21.如图,在三棱锥中,平面平面,,点,,分别为线段,,的中点,点是线段的中点.求证:(1)平面;(2).
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】
试题分析:,由与垂直可知考点:向量垂直与坐标运算2、D【解析】
先根据图象确定A的值,进而根据三角函数结果的点求出求与的值,确定函数的解析式,然后根据诱导公式将函数化为余弦函数,再平移即可得到结果.【详解】由题意,函数的部分图象,可得,即,所以,再根据五点法作图,可得,求得,故.函数的图象向左平移个单位,可得的图象,则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象,故选:D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及三角函数的图象变换的应用,其中解答中熟记三角函数的图象与性质,以及三角函数的图象变换是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3、A【解析】
由图可得出,然后可算出答案【详解】因为甲得分的众数为15,所以由茎叶图可知乙得分数据有7个,乙得分的中位数为13,所以所以故选:A【点睛】本题考查的是茎叶图的知识,较简单4、A【解析】
根据投影的定义和向量的数量积求解即可.【详解】解:∵,,∴向量在向量方向上的投影,故选:A.【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算,属于基础题.5、A【解析】
连接交于点,连接,证明平面,进而可得到即是直线与平面所成角,根据题中数据即可求出结果.【详解】连接交于点,因为平面,底面是正方形,所以,,因此平面;故平面;连接,则即是直线与平面所成角,又因,所以,.所以,所以.故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法,在几何体中作出线面角,即可求解,属于常考题型.6、B【解析】
由平行线间的距离公式求出圆的直径,然后设出圆心,由点到两条切线的距离都等于半径,求出,即可求得圆的方程.【详解】因为两条直线与平行,所以它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以.设圆心坐标为,则点到两条切线的距离都等于半径,所以,,解得,故圆心为,所以圆的标准方程为.故选:.【点睛】本题主要考查求解圆的方程,同时又进一步考查了直线与圆的位置关系,圆的切线性质等.本题也注重考查审题能力,分析问题和解决问题的能力.难度较易.7、B【解析】∵,∵数据的样本中心点在线性回归直线上,
回归方程中的为9.4∴线性回归方程是y=9.4x+9.1,
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5,
故选B.8、B【解析】
结合题意画出可行域,然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域,改写目标函数得,当取到点时得到最小值,即故选【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题,一般步骤:画出可行域,改写目标函数,求出最值,需要掌握解题方法9、A【解析】
由关于平面对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标和竖坐标相等,即可得解.【详解】关于平面对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标和竖坐标相等,所以点P(3,4,5)关于平面的对称点的坐标为(−3,4,5).故选A.【点睛】本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法,属于基础题.10、A【解析】
由题意,则,再由数量积的坐标表示公式即可得到关于的方程,解出它的值【详解】由,,则,即解得:故选:A【点睛】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,向量的数量积坐标表示,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、;【解析】
利用垂径定理,即圆心与弦中点连线垂直于弦.【详解】圆标准方程为,圆心为,,∵是中点,∴,即,∴的方程为,即.故答案为.【点睛】本题考查垂径定理.圆中弦问题,常常要用垂径定理,如弦长(其中为圆心到弦所在直线的距离).12、6【解析】
先确定船的方向,再求出船的速度和时间.【详解】因为行程最短,所以船应该朝上游的方向行驶,所以船的速度为km/h,所以所用时间是.故答案为6【点睛】本题主要考查平面向量的应用,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.13、【解析】
将写成,切化弦后,利用两角和差余弦公式可将原式化为,利用二倍角公式可变为,由可化简求得结果.【详解】本题正确结果:【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题,涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.14、【解析】
先求出,再化简得即得的取值范围.【详解】由题得OM=,由题得由题得..所以的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的运算和数量积运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、70【解析】
构造数列,两式与相减可得数列{}为等差数列,求出,让=0即可求出.【详解】设两式相减得又数列从第5项开始为等差数列,由已知易得均不为0所以当n=70的时候成立,故答案填70.【点睛】如果递推式中出现和的形式,比如,可以尝试退项相减,即让取后,两式作差,和的部分因为相减而抵消,剩下的就好算了。16、【解析】
当时,;当时,,即,若为偶数,则为奇数);若为奇数,则,故是偶数).因为,,所以,同理可得,,,所以,应选答案.点睛:本题运用演绎推理的思维方法,分别探求出数列各项的规律(成等比数列),再运用等比数列的求和公式,使得问题简捷、巧妙获解.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),,;(2)【解析】
(1)利用之间的人数和频率即可求出,进而可求出、;(2)列出所有基本事件,再找到符合要求的基本事件即可得解.【详解】(1)由题意可知,样本容量,,.(2)由题意知,分数在的学生共有5人,其中男生2人,女生3人,分别设编号为,和,,,则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件:,,,,,,,,,,共计10个.记事件A“至少有两名女生”,则事件A包含的基本事件有:,,,,,,,共计7个.所以至少有两名女生的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法,属于基础题.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)设等比数列的公比为q,,根据已知由等比数列的性质可得,联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得(2)根据等比数列的求和公式,有所以,裂项求和即可试题解析:(1)设等比数列的公比为q,所以有联立两式可得或者又因为数列为递增数列,所以q>1,所以数列的通项公式为(2)根据等比数列的求和公式,有所以所以考点:等比数列的通项公式和性质,数列求和19、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取的中点的中点,证明,由根据线面垂直判定定理可得,可得平面,结合面面垂直的判定定理,可得平面平面;
(2)过作,连接BM,可以得到为二面角的平面角,解三角形即可求出二面角的正切值.【详解】解:(1)取BE的中点F.
AE的中点G,连接GD,CF∴,GF∥AB又∵,CD∥AB∴CD∥GF,CD=GF,∴CFGD是平行四边形,∴CF∥GD,又∵CF⊥BF,CF⊥AB∴CF⊥平面ABE∵CF∥DG∴DG⊥平面ABE,∵DG⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ADE;(2)∵AB=BE,∴AE⊥BG,∴BG⊥平面ADE,过G作GM⊥DE,连接BM,则BM⊥DE,则∠BMG为二面角A−DE−B的平面角,设AB=BC=2CD=2,则,在Rt△DCE中,CD=1,CE=2,∴,又,由DE⋅GM=DG⋅EG得,所以,故面角的正切值为:.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理及二面角的平面角的作法,重点考查了空间想象能力,属中档题.20、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)根据等腰三角形的性质,证得,由面面垂直的性质定理,证得平面,进而证得平面平面.(2)根据线面平行的性质定理,证得,平行线分线段成比例,由此求得的值.【详解】(1),为的中点,所以.又因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)∵平面,面,面面∴,∴.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理,考查线面平行的性质定理,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.21、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)连AF交BE于Q,连QO,推导出Q是△PAB的重心,从而FG∥QO,由此能证明FG∥平面EBO.(2)推导出BO⊥AC,从而BO⊥面PAC,进而BO⊥PA,再求出OE⊥PA,由此能证明PA⊥平面EBO,利用线面垂直的性质可证PA⊥BE.【详解】(1)连接AF交BE于Q,连接QO,因为E,F分别为边PA,PB的中点,所以Q为△PAB的重心,可得:2,又因为O为线段AC的中点,G是线段CO的中点,所以2,于是,所以FG∥QO,因为FG⊄平面EBO,QO⊂平面EBO,所以FG∥平面EBO.(2
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