必修一第一章第3节3.1不等式的性质学历案学生版

§3不等式3．1不等式的性质【学习主题】不等式的性质【课时安排】1个课时【学习目标】1、会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．（重点）2、掌握不等式的基本性质并且会证明这些性质．(重点)3、运用不等式的性质解决有关问题．(难点)【学习重难点】1、会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)2、会描述不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式；（逻辑推理）【学情分析】学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力．【学法建议】1.学习本节时注意理解记忆不等式的性质.2.掌握利用作差法、作商法及不等式的性质证明不等式一、一、课前预习，发现问题（一）要求：（1）逐字逐句阅读教材第2426页，思考下列问题的答案；并记录预习发现的问题。问题引入：楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为，窗户的面积和为，则楼房的采光率为(其中y>x>0)．问题：显而易见，如果增加窗户的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加的窗户面积为，其中m>0)问题1、回想初中数学中，利用什么方法比较两个实数a、b的大小？问题2、你能独立证明教材24页例2吗？请思考生活中有哪些实例能用例2中的不等式解释？问题3、证明不等式的基本性质1、性质2、性质3。问题4、判断下列命题是否正确？并结合性质1想一想你的感悟？问题5、性质2是否是可逆的？问题6、如果a>b那么ac>bc是否成立？并结合性质3谈一谈你的感悟？问题7、由性质2知不等式的两边同时加上同一个实数不等号的方向不改变，如果加上不同的实数呢？即不等式两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系呢？你有几种方法证明你的猜想呢？证明性质4？问题8、由性质3不等式的两边同时乘以同一个实数，会得到新的不等关系。如果同时乘以不同的实数即不等式两边分别乘以不相等的两个数，能得到什么不等关系呢？证明性质5？问题9、如果a>b>0,c>d>0，a=c,b=d，你有何新结论？问题10、实数有乘方运算，那么在不等式两边进行乘方运算，是否也具有保持不等号不变的特性？举例说明？能否推广到一般情况呢？问题11、利用反证法证明性质6问题12、由性质6的证明过程归纳出什么是反证法？反证法证明问题的一般步骤？（二）基础知识自测1.比较实数a,b大小的依据2.不等式的性质名称表达式性质1(传递性)如果a>b,且b>c,那么a____c.性质2(可加性)如果a>b,那么a+c________b+c.性质3(乘法法则)如果a>b,c>0,那么ac___bc;如果a>b,c<0,那么ac_____bc.性质4(同向不等式可加性)如果a>b,c>d,那么a+c___b+d.性质5(不等式的可乘性)如果a>b>0,c>d>0,那么ac______bd;如果a>b>0,c<d<0,那么ac______bd.乘方法则:当a>b>0时,an________bn,其中n∈N+,n≥2.性质6(开方法则)当a>b>0时,na_____nb其中n∈N+,n迁移与应用1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．()(2)若x－2≤0，则x<2.()(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(4)若eq\f(a,b)>1，则a>b.()(5)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.()2．设M＝，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．与x有关3.、给出下列命题：①a>b⇒>；②a>|b|⇒；③a>b⇒；④|a|>b⇒.其中正确命题的序号是________．4．若且，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．二、二、课中学习，合作探究【学习任务1】比较大小【例1】（1）试比较(x+1)(x+5)?（2）设，则a，b的大小关系为________（3）设a>b>0，比较与eq\f(a－b,a＋b)的大小．【课堂评价1】1、已知x≤1，比较的大小．变式：把本题中“x≤1”改为“x∈R”，再比较的大小．2、设x，y是不全为零的实数，试比较的大小．3、若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋5)＋eq\r(a＋8)(a>－5)，则P，Q的大小关系为()A．P<QB．P＝QC．P>Q D．不能确定4、已知a≥1，试比较M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)和N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)的大小．【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表上台讲解【反思总结】：比较大小的方法？【学习任务2】不等式的性质及应用【例2】若a<b<0，则下列结论正确的是()A．B．C．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．【课堂评价2】已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A.若a>b，则B．若eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，则a>bC．若且ab<0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D．若且ab>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)【课堂活动与展示】由学生分组讨论，组内自行解决。【反思总结】判断关于不等式的命题真假的方法？【学习任务3】利用不等式的性质证明不等式【例3】设a>b>c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.【课堂评价3】若a>b>0，c<d<0，e<0，求证:.【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表上台讲解【反思总结】利用不等式的性质证明不等式的方法和注意事项。【学习任务4】利用不等式的性质求不等式的范围【例4】（1）如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a2b,ab,的取值范围.（2）若1≤ab≤2,2≤a+b≤4,求4a2b的取值范围.【课堂评价4】（1）已知1＜a＜4，2＜b＜8，求的取值范围；（2）已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求eq\f(a,b)的取值范围．（3）已知4≤ab≤1,1≤4ab≤5,求9ab的取值范围.（4）已知－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表上台讲解【反思总结】利用不等式的性质求取值范围的策略？【学习任务5】不等关系的实际应用【例5】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D