2020-2021学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1,下列四个数中是负数的是（）

A.1B.-（-1）C.-1D.|-1|

2.已知2x=3y（xK0,yK0）,则下面结论成立的是（）

A』B[二C-=-D.-=-

A232X=>3yx

3.若一个直角三角形的两边长为12、13,则第三边长为（）

A.5B.17C.5或17D.5^7313

4.把抛物线y=3/先向上平移2个单位，再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是（）

A.y=3（%+3）2—2B.y=3（%+2）2-卜2

C.y—3（x—3）2—2D.y3（x—3）2-卜2

A

5.如图，DE//BC,贝必4DE与A4BC的面积比等于（）八

/\

BL--------------AC

D-

k

.若双曲线y=无的两个分支在第二、四象限内,则抛物线V=上/-2X+A：2的图象大致

是图中的（）

工

1[W

「Ay

DZ

C-ALOX-X-op=

A

7.如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，2D=BC.若Nb4c=45。，

AB=75。，则下列等式成立的是（）

A.AB=2CD

B.AB=43CD

C.AB=-CD

2

D.AB=V2CD

8.设？n,九分别为一元二次方程/+2x-1=0的两个实数根，则zn+ri+mn的值为（）

A.-3B.3C.-2D.2

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.若方程组匕°；二贝1]3（尤+/（3%-5/）的值是.

10.为了测量某小球的直径，技术人员将小球放到透明烧杯上，如图是过球心。作为《

截面图，已知烧杯的高度是13cm,测得/=8cm,h=11cm,则小球的直径为\

11.有一个直角梯形零件4BCD,4B〃CD,斜腰2D的长为10cm,乙D=120°,则该零件另一腰BC的

长是cm.（结果不取近似值）

CB

12.如图，在O。中，G=釜＞弧4C=弧8。/AOB=40。，贝比COD的一'

AMB

13.如图，在四边形力BCD中，乙4=90。，AB=8,AD=6,M、N分别是边4B、BC上的动点，点

E、F分别为MN、DN的中点，连接EF,则EF长度的最大值为.

14.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，y/m

在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：血）与它距离喷头

的水平距离%（单位：m）之间满足函数关系式y=-2/+4%+1喷

出水珠的最大高度是m.\

15.定义：给定关于％的函数y,对于该函数图象上任意两点（右,月），万厂

（x2,y2）,当巧＜工2时，都有旷1＜丫2,称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的

函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号）.

①y="；@y=-2x+1；©y=x2-3（x＞0）；@y=-|

16.如图，在^ABC中，D是4B边上一点，连接CD.要使△ADC^LABC相似，应XA

添加的条件是.（只需写出一个条件即可）J\

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.捍卫祖国海疆是人民海军的神圣职责。我海军在相距20海里的四、愚•两地设立观测站（海岸线

是过■、点的直线）.按国际惯例，海岸线以外12海里范围内均为我国领海，外国船只除特许外，

不得私自进入我国领海.某日，观测员发现一外国船只行驶至部处，在,通观测站测得

/谭网部=僦费，同时在藏观测站测得.一脚部=.问此时是否需要向此未经特许的船只发出警

告，命令其退出我国领海？

醺

（参考数据：赢iu豳〜—，悔isv疆"涓裔端姆察)

四、解答题（本大题共8小题，共46.0分）

；<1

18.解不等式组:

2(x-1)<3x-1

19.计算：

(1)-V27+J(-3/-

(2)V5(V5-1)+|2-V5|

20.如图，在△ABC中，分别画出：

(1)28边上的高CD；

(2)4C边上的高BE；

(3)/C的角平分线CF；

(4)BC上的中线AM.

21.已知四边形2BCD中.AD=AB,AD//BC,乙4=90。，M为边4。的中点，尸为边BC上一点，连

接MF,过射点作交边4B于点E

(1)如图1,当NADC=90。时，求证：4AE+2CF=CD；

(2)如图2,当N4DC=135。时，线段4E、CF、CD的数量关系为

(3)如图3,在(1)的条件下，连接EF、EC,EC与FM相交于点K,线段FM关于FE对称的线段与4B相

交于点N.若NE=g,FC=AE,求MK的长.

22.如图，在RtAABC中，/.CAB=90°,以48为直径的。。交BC于点。，点E是4C的中点，连接

DE.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)点P是而上一点，连接2P,DP,若BD:CD=4:1,求sin乙4PD的值.

23.如图，已知一次函数为=kx+b图象与久轴相交于点4,与反比例函数=(的图象相交于

B(-1,5)、C(|,d)两点.点是一次函数月=依+b的图象上的动点.

(1)求晨b的值；

(2)设-1<m<|,过点P作无轴的平行线与函数为=?的图象相交于点O.试问△PAD的面积是否存在

最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)设rn=l-a,如果在两个实数rn与n之间(不包括小和切有且只有一个整数,求实数a的取值范围.

24.已知：AC=BC,乙ACB=90。,将线段AC绕点4逆时针旋转a(0。<a<90。)得至U线段4D,射线CD

交4B于点G,点B关于射线CD的对称点为E,连接AE,BE(如图1),BE交射线CD于F点，

(1)求证：CD=BE；

(2)如图2,若G为FD中点，求弱

(3)若a=30。，器=______(直接写出结果，不需要解答过程).

25.如图，已知BDEF是正方形且边长为2,点C在边BD上，作NPCQ=90。.

(1)如图1,CQ经过点E,点H在射线CP上，CH=CE,过点H作射线的垂线凡4垂足为4过点H作

射线BF的垂线HG垂足为G,求证：四边形4BGH为正方形；

(2)如图2,已知CM=2,SHACH：SAD”。=4：1,点H在射线CP上，过点H作射线的垂线凡4垂足

为4连接求四边形4DM”面积的最大值.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：W：1•--1<o,

二—1是负数.

故选：c.

大于0的是正数，小于0的是负数.

此题主要考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比。大还是比0小.

2.答案：D

解析：解：4由内项之积等于外项之积，得3x=2y,故A不符合题意；

B、由内项之积等于外项之积，得6=xy,故2不符合题意；

C、由内项之积等于外项之积，得3久=2y,故C不符合题意；

D、由内项之积等于外项之积，得2x=3y,故D符合题意；

故选：D.

根据比例的性质，把比例式写成等积式即可得出结论.

本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握内项之积等于外项之积.

3.答案:D

解析：解：当12,13为两条直角边时，

第三边=V122+132=V313,

当13,12分别是斜边和一直角边时，

第三边=V132-122=5.

故选：D.

本题考查了勾股定理的知识，题目中渗透着分类讨论的数学思想.根据告诉的两边长，利用勾股定

理求出第三边即可.注意13,12可能是两条直角边也可能是一斜边和一直角边，所以得分两种情况

讨论.

4.答案:D

解析：按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可.

解：y=3/先向上平移2个单位，得到y=3%2+2,再向右平移3个单位y=3(久一3/+2.

故得到抛物线的解析式为y=3(%—3)2+2.

故选D

5.答案：D

解析：

通过证明MDj.,可得寰=（第2,

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键.

解：.嗡=5

AD1

AB3

•・•DE//BC,

.S"DE_CAD\2—1

••S“BC--9'

故选：D.

6.答案：A

解析：试题分析：本题考查二次函数的图象；反比例函数的性质。根据双曲线丫=k/%（人工0）的图

象位置可知k<0;再根据k的符号判断抛物线的开口方向及对称轴。・・・双曲线丫=攵/%（左。0）的两个

分支在第二、四象限内，即上<0,・•・抛物线开口向下，对称轴％=2/2/c=l/c<0,对称轴在y轴的

左边。故选A。

考点：二次函数的图象；反比例函数的性质

7.答案：B

解析：解：连接8。交/C于E,

vAD=BC,

AD=BC,

・••乙ACD=2LBAC=45°,

由圆周角定理得，^BDC=ABAC=45°,

・•・乙DEC=90°,

・•・乙4BO=45°,

•••Z-B=75°,

••・乙EBC=30°,

•••Z-BDC=Z.BAC,Z-ABD=Z-ACD,

ABE^L.DCE,

:.空=里=陋,

CDEC

AB=y/3CD>

故选：B.

连接BD,根据圆心角、弦、弧之间的关系定理、圆周角定理得到NDEC=90。，/.EBC=30°,得到

=V3,根据相似三角形的性质性质解答即可.

EC

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键.

8.答案：A

解析：解：・・・加，九分别为一元二次方程/+2支一1=0的两个实数根，

m+n=­2,mn=-1,

则TH+几+mn=—2—1=—3.

故选：A.

根据一元二次方程根与系数的关系即可得出tn+几=一2,mn=-1,将其代入TH+几+nm中即可求

出结论.

本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出血+n=-2,mn=-1是解题

的关键.

9答案:—63

解析：解：由题意可知：％+y=7与3%—5y=—3

・•・原式=3x7x(-3)=-63

故答案为：—63

将％+y=7与3%-5y=-3代入原式即可求出答案.

本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型.

10.答案：10

解析：解：如图所示，连接48,过点。作。。148于点O,设。8=厂,

I=8cm,h=11cm,

i

BD=一x8=4cm.

2

•••烧杯的高度是13cm,

OD=r-(13-11)=r-2,

OB2=OD2+BD2,BPr2=(r—2)2+42,解得r=5cm,

小球的直径为10cm.

故答案为：10.

连接2B,过点。作12B于点D,根据垂径定理求出BD的长，设小球的半径为r,在RtADOB中

根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论.

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答

此题的关键.

11.答案：5V3

解析：解：如图所示，过点。作。E,48于点E,C|<

■.■BCLAB,：\

••・四边形BCDE是矩形，Dl_____________

BE，

BC=DE.

AD=10cm,Z-D=120°,

・••^ADE=30°,

•••DE=AD-cos30°=10Xy=5V3(cm).

故答案为：5-\/3.

过点。作DELAB于点E,根据BCLAB可知四边形8CDE是矩形，故BC=DE,^ADE=30°,再由

锐角三角函数的定义即可得出结论.

本题考查的是直角梯形，根据题意画出图形，作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题

的关键.

12.答案：40°

解析：解：••・在。。中，AC=BD,

•■AB=CDt

：.乙COD=AAOB=40°.

故答案为：40°.

13.答案：5

解析：

本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的

思想，属于中考常考题型.

根据三角形中位线定理可知EF=求出DM的最大值即可.

解：如图，连结DM,

•••DF=FN,EN=EM,

1

EF=-DM,

2

当点M与点B重合时，DM的值最大，此时EF最大，

在中，•••ZX=90°,AD=6,AB=8,

BD=y/AD2+AB2=10,

1

•••EF的最大值=58。=5.

故答案为5.

14.答案:3

解析：解：,.1y=-2x2+4x+1=-2(x—I)2+3,

・•・当x=l时，y有最大值为3,

••・喷出水珠的最大高度是37n,

故答案为：3.

先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度.

本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题,

借助二次函数解决实际问题.

15.答案：①③

解析：解：函数y=：x,y随x的增大而增大，因此①符合题意；

函数y=-2x+Ly随x的增大而减小，因此②不符合题意；

抛物线y=/-3(x>0),在对称轴久=0的右侧，y随x的增大而增大，因此③符合题意；

双曲线y=-1在每个象限内,y随尤的增大而增大，不在同一象限不具有这个性质，因此④符合题意；

故答案为：①③

根据各个函数的性质，这个进行判断，得出答案.

考查反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，掌握“增函数”的意义以及反比例函数、一

次函数、二次函数的性质是正确判断的前提.

AC)

16.答案：z.ACD=4B,z.ADC=z.ACB,--=-----

ACAB

解析：本题考查相似三角形的判定定理.AaDC与AaBC有一对公共角乙4,因此，只要再添加任意

一对对应角相等或添加N4的夹边对应成比例均可使两个三角形相似.

17.答案：解：作FC1工3TC,设FC=x,在电△P4C中，ZP^C=63°,

tan63°里.•心工二

ACtan6302

PC

在及△咏中'"3C=34.，33*正

X熹「2x3

•=—X

2

3

'：AC+BC=AB=20<

.13-

••2X+2X=2°・.・X=10<12.

二•需要向其发出警告.

解析：本题考查解直角三角形的实际应用。要求是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退

出我国领海，只需判断点P到海岸线的距离是否大于12,若大于12,则不需要；若小于等于12,则

需要。因此过P点向2B边作垂线。依据三角函数值求点P到海岸线的距离。

18.答案：解：解不等式;<1,得：x<2,

解不等式2(x—1)<3%—1,得：x>—1,

则不等式组的解集为-1<x<2.

解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小

小无解了确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.答案：解：(1)原式=—3+3—(―1)

=-3+3+1

=1：

(2)原式=5-有+逐一2

=3.

解析：(1)原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；

(2)原式利用二次根式乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.

此题考查了实数的运算，平方根，立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

20.答案：解：(1)如图，CD为所作；

(2)如图，BE为所作；

(3)如图，CF为所作；

(4)如图，AM为所作.

解析：(1)利用基本作图(过一点作已知直线的垂线)作出垂线段CD即可;

(2)利用基本作图(过一点作已知直线的垂线)作出垂线段BE即可；

(3)利用基本作图(过一个角的平分线)作出CF即可；

(4)利用基本作图(作线段的垂直平分线)作出BC的垂直平分线得到的中点，贝IMM为所作.

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本

性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

21.答案：8AE+4FC=3V2CD

解析：(1)证明：过点尸作FNLAD,垂足为N.

■：AD//BC,N4=90。，

Z-B=Z-A=90°,

vZ.ADC=90°,AD=AB,

••・四边形是正方形，

・•.NF=CD=AD.

・••M为边4。的中点，

・•・AD=2AM=2MD,

NF=CD=2AM.

在△AME与△”?可中，

乙4=90°=乙MNF=乙EMF,

・••^AME+乙NMF=90°=乙NMF+乙MFN,

・•.LAME=乙MFN,

••△AME〜ANFM,

tAM_AE_1

••NF-MN-2’

MN=2AE,

ii

•・•MD=-AD=-CD=MN+DN=2AE+FC,

22

••・2MD=4AE+2CF,

・•・4AE+2FC=CD；

(2)解：如图2,过点C作CD'14。于。'，过点F作FN14D于N,

则四边形ABFN与四边形FND'C都是矩形，

/.D'C=NF=AB=AD,NDf=FC.

•・•^ADC=135°,

•••乙D'DC=45°,

•••乙CD'D=90°,

.•.△CD'D是等腰直角三角形，

CD'=DD'=—CD,

2

•••AB=—CD.

2

在△AME与中，

•••AA=乙MNF=90°,AAME=乙MFN=90°一乙NMF,

:.bAMEsbNFM,

.AM_AE_1

“NF-MN2'

・•.MN=2AEf

・•.MD+DD'-ND'=2AE,

■-MD=-AD=-AB=-x—CD=—CD,DD'=—CD,ND'=FC,

222242

■.—CD+-CD-FC=2AE,

42

84E+4FC=3A/2CD;

(3)解：如图3,AE=FC=a,贝l]CD=4AE+2FC=6a,

AM=DM=3a,AD=CD=6a,

222

在RMZME中，EM=AM+AE9

EM=VTOa,

由(1)得FM=2EM=2V10a.

在Rt△MEF中，tanZ_MFE=—=-=tanZ-EFyV.

FM2

过N作NP1EF于P,设NP=%,则PF=2%,

•・•BE=AB-AE=BC-FC=BF,ZB=90°,

是等腰直角三角形，

•••乙BEF=45°,

在AENP中，NE=三,

A/P=—X—=-V2=%=EP,

323

EF=EP+PF=3x=5V2=y/2BE=V2X5a,

a=1,

•••EM2+FM2=EF2,

FM=2710,

延长CE、相交于点R,

在RM4ER中，vAR//BC,

Z-R=Z-ECB,

•・•Z-AER=乙BEC,

AER~ABEC,

,AR_AE_a_AR

BCBE5a6a'

AR=1a,

21

vRM=AR+AM=^-a.

•・•RM//FC,

・•・Z-R=乙KCF,

•・•"KM=乙CKF,

・•.△RMK~ACFK,

.MK_RM_Ya_21

**FK~CF~a~5

•・•MK+FK=FM=2V10,

MK=—FM=—V10.

2613

(1)过点尸作FN14D,垂足为N,先证明四边形力BCD是正方形，再由两角对应相等的两三角形相似

得出△AMEsANFM,根据相似三角形的性质得出边的关系，从而得出结论；

(2)过点C作CD'，于。'，过点F作FNLAD于N,则四边形4BFN与四边形FND'C都是矩形，D'C=

NF=AB=AD,ND'=FC.证明△CD'D是等腰直角三角形，得出=也CD,AB=-CD,

22

再证明△AMES/XNFM,得到MN=24E,即MD+DD'-ND'=2AE,然后将MD=0CD,DD'=

4

—CD,ND'=FC代入,即可得出84E+4FC=3/C。；

2

(3)设4E=FC=a,贝！|CD=44E+2FC=6a,AM=DM=3a,AD=CD=6a,在RtAAME中，

由勾股定理求得EM=VlOa,则FM=2VT0cz,在Rt△MEF中，根据正切函数的定义得到tan/MFE=

整=；=tan/EFM再过N作NP1EF于P,设NP=x,贝l]PF=2X，证明△BEF是等腰直角三角形,

FM2

得出＜BEF=45。，在AENP中，求出NP=|/=x=EP,由EF=EP+PF,得出a=l.在AEFM

中由勾股定理求出FM=2VIU,延长CE、D4相交于点R,由两角对应相等的两三角形相似得出4

AER-ABEC,根据相似三角形的性质得出AR=①，贝ijRM=AR+AM=ga,然后证明△RMTOA

本题考查了矩形、等腰直角三角形、正方形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数

的定义，综合性较强，难度较大.准确地作出辅助线，运用数形结合思想是解题的关键.

22.答案：(1)证明：连接OD,AD,

C

・.TB为。。的直径,

•••^ADB=90°,

•••/LADC=90°,

•・,点E是4c的中点,

・•・DE=-AC=CE,

••・Z.C=zl,

OB=OD,

Z-B=Z2,

在Rt△ABC中，

•・•Z.CAB=90°,

ZC+ZB=90°,

・•・Zl+z2=90°,

・•・(ODE=180°-(Zl+Z2)=90°.

・••OD1DE,

・•.DE是。。的切线；

(2)解：设BD=4%,则CD=%,

•・•Z.CAB=乙ADC=AADB=90°,

・•.ZB+ZC=90°,zf+/.CAD=90°,

Z.B=Z-CAD,

.MADB〜工CDA,

AD_CD

••BD-AD9

AD=7BD•CD=Vx,4%=2%,

AB=y/AD2+BD2=V4x2+16x2=2国

•・•Z.APD=乙B,

•••sinZ-APD=sinZ.B=­•

5

解析：本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅

助线是解题的关键.

(1)连接。。，AD,由2B为。。的直径，得到NADB=90。，得至!U4DC=90°,根据点E是4C的中点,

得到DE=^AC=CE,根据平角的定义得到NODE=180°-(zl+z2)=90。.于是得到结论；

(2)设BD=4%,则CD=x,根据相似三角形的性质得到4。=7BD-CD=V%71%=2x,根据三角

函数的定义即可得到结论.

23.答案：解：(1)将B点的坐标代入%=*得c=—5,

则力=

把％=［代入得y=-2,

则C(|,—2)

将B、C代入直线%=依+b得:长二2；

(2)存在.

令yi=0,x=|,则4的坐标是：(|,0);

由题意，点P在线段4B上运动(不含4B),

设点P(子,团,

•••DP平行于%轴，

:.D、P的纵坐标都是几，

二。的坐标是：

n

、、

Sc=-1.n-PD=1-x(3-—-7-1-,F5-)xn=——1/(n——3)22H,—49；

22v2ny4V2716

而一2m+3=n,得0V九V5；

所以由s关于n的函数解析式，所对应的抛物线开口方向决定，当几=3即p(：,|),S的最大值是：1

Z4Z16

(3)由已知P(1—a,2a+1),易知，mn,1—a2a+1,a。0；

若a>0,m<1<n,由题设TH>0,n<2,

则CH，

解不等式组的解集是：0<a*；

若a<0,n<1<m,由题设九>0,m<2,

则eUo,

解得：一3Wa<0；

,__-11

综上：。的取值范围是：—5<a<0,0<a<-.

解析：（1）8、C两点在反比例函数图象上，根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等，可求d的

值，将8、C两点坐标代入yi=kx+b中，列方程组可求k、b的值；

（2）存在，根据直线解析式可求4点坐标，点P在直线上，点「（与匕①，PD〃x轴，则。、P的纵坐标

都是小止匕时，。（一）），则PD=U+,,由S制"PD,可求"4。的面积表达式，利用二次

函数的性质求最大值；

（3）点P（?n,九）在一次函数图象上，由一次函数解析式可知，设7H=l-a,则P（1-a,2a+1）,依题

意mWn,可知aH0,根据。>0和a<0两种情况，分别求实数a的取值范围.

本题考查了反比例函数的综合运用.关键是根据反比例函数图象上点的横纵坐标积相等求C点坐标,

由“两点法”求直线解析式，根据平行于%轴直线上点的坐标特点，表示三角形的面积，根据二次函

数的性质求最大值，本题还考查了分类讨论的思想.

24.答案：（1）证明：过4作AMICO于M.

・•.CM=DM,乙ACB=乙4MC=90°,

・•・^ACM+乙BCF=90°,

・・•点8关于射线CD的对称点为E,

・•・CF1EB,EF=FB,

・•・乙CFB=90°,

・••乙BCF+乙CBF=90°,

・•・Z.ACM=乙CBF,

在和ACB尸中,

2AMe=Z.CFB

/-ACM=乙CBF,

AC=CB

ACM=ACBF,

・•.CM=BF,

•・•CD=2cM,BE=2BF,

•••CD=BE.

(2)解:延长CF到N,使得FN=CM,

由(1)可知，AACM三XCBF,

・•.AM=CF,BF=CM=DM=FN,设FN=BF=a,AM=b,

vCM=FN,

1h

MN=AM=b,FG=DG=-(b-2a),GM=DM+DG=

BF“AM,

.BF_GF_BG

''AM~GM-AG"

a_1(^-2a)

b=

・•・b=3a,

BGci1

ZG-3a-3,

AGr

••・——=3.

BG

V6+V2

⑶

2

解析：

(1)见答案

(2)见答案

(3)解：连接CE、在线段CF上取一点M,使得CM=BM,连接BM.

^CAD=30°,AC=AD,

•••4ACD=75°,­••^ACB=90°,

乙BCF=乙ECF=15°,

•••4BCE=30°,

•••AACE=60°,

vCB=CE=CA,

•■•AACE是等边三角形，

•••AE=CE=BC,设BE=2a,贝1JBF=a,

在RtABMF中，•••4BMF=4MCB+乙MBC=30°,

•1•CM=BM=2a,MF=V3a，

•••BC=VBF2+CF2=a2+(2a+43a)2=(V6+V2)a)

AE(V6+V2)ciV6+V2

(1)过4作AM1CD于M.只要证明△ACM三△CBF,推出CM=BF,由CD=2CM,BE=2BF,即可

推出CD=BE.

(2)延长CF到N,使得FN=CM,由△ACMmaCBF,推出4M=CF,BF=CM=DM=FN,设FN=

BF=a,AM=b,由CM=FN,推出MN=AM=b,FG=DG=|(/?-2a),GM=DM+DG=

由BF〃4M,推出